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2021年新教材高二上学期期中复习数学试卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：选择性必修第一册RJ-A（2019）第一章、第二章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．对于空间任意一点和不共线的三点、、，有如下关系：，则()。A、四点、、、必共面B、四点、、、必共面C、四点、、、必共面D、五点、、、、必共面【答案】B【解析】由得：，可得四点、、、必共面，故选B。2．已知平面、的法向量分别为、且，则的值为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由已知得，即，则，故选A。3．若()，则直线被圆所截得的弦长为()。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵圆心到直线的距离，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于，∴弦长为，故选D。4．已知三条直线、和中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数的值为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由已知得三条直线必过同一个点，则联立解得这两条直线的交点为，
代入可得，故选A。5．直线：(是不等于的整数)与直线的交点恰好是整点(横坐标和纵坐标都是整数)，那么满足条件的直线有()。A、条B、条C、条D、无数条【答案】B【解析】联立，∴，即，，∴或或或，∵，∴值有个，直线有七条，故选B。6．过点的直线与圆：交于、两点，当时，直线的斜率为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由题意得，则圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与圆相切，不合题意，舍去，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，解得，故选A。7．已知、两点，则直线与空间直角坐标系中的平面的交点坐标为()。A、B、C、D、【答案】B【解析】设连线与平面的交点为，∵、、三点共线，则，则，则，解得，则，故选B。8．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆。若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是()。A、B、C、D、
【答案】D【解析】如图，以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建系，、，设，∵，∴，两边平方并整理得：，∴面积的最大值是，故选D。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数()。A、B、C、D、【答案】BD【解析】∵，∴，解得或，时，符合，当时，符合，故选BD。10．已知、、和为空间中的个单位向量，且，可能等于()。A、B、C、D、【答案】CD【解析】∵，而，∴，又∵、、、是单位向量，且，∴、、一定不共线，∴，故选CD。11．给出下列命题，其中不正确的为()。A、若，则必有与重合，与重合，与为同一线段B、若，则是钝角C、若，则与一定共线D、非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面【答案】ABD【解析】对于A，考虑平行四边形中，满足，不满足与重合，与重合，与为同一线段，故A错，
对于B，当两个非零向量、的夹角为时，满足，但它们的夹角不是钝角，故B错，对于C，当时，，则与一定共线，故C对，对于D，考虑三棱柱，、、，满足与，与，与都是共面向量，但、、不共面，故D错，故选ABD。12．已知圆：，过点向圆作切线，切点为，再作斜率为的割线交圆于、两点，则的面积为()。A、B、C、D、【答案】BD【解析】由题意知，过点作斜率为的割线，则直线的方程为，点到直线的距离为，则弦，过点作圆的切线，其中一条为轴，切点为轴，则点到直线的距离，∴的面积即为的面积，故，又另一条切线为，设直线的方程为，由题意得，且点到直线的距离，解得，则直线的方程为，与圆的方程联立易得，点到直线的距离，
故，综上所述的面积为或，故选BD。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知正方体中，，若，则，。（本小题每空2.5分）【答案】【解析】∵，∴，∴，。14．已知直线及直线截圆所得的弦长均为，则圆的面积是。【答案】【解析】∵已知的两条直线平行且截圆所得的弦长均为，∴圆心到直线的距离为两平行直线距离的一半，即，又直线截圆所得的弦长为，∴圆的半径，∴圆的面积是。15．如图所示，平行六面体中，，，，则线段的长度是。【答案】【解析】∵，∴，∴。16．已知点是直线：()上的动点，过点作圆：的切线，为切点。若最小为时，圆：与圆外切，且与直线相切，则的值为。【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，当与垂直时，的值最小，此时点到直线的距离为，
由勾股定理得，又，解得，圆的圆心为，半径为，∵圆与圆外切，∴，∴，∵圆与直线相切，∴，解得。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）如图所示，三棱柱中，、分别是、上的点，且，。设，，。(1)试用、、表示向量；(2)若，，，求的长。【解析】(1)2分；4分(2)6分，8分即，∴。10分18．（本小题满分12分）过点作直线分别交、轴正半轴于、两点。(1)当面积最小时，求直线的方程。(2)当取最小值时，求直线的方程。
【解析】设直线：(，)，∵直线经过点，∴，2分(1)，∴，当且仅当，时等号成立，4分∴当，时，最小，此时直线的方程为，即；6分(2)∵，，，∴，9分当且仅当，时等号成立，10分∴当取最小值时，直线的方程为。12分19．（本小题满分12分）如图所示，在中，，为边上一点，且，，平面，且。(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值。【解析】(1)证明：∵，，∴，∴，∴，1分又平面，平面，∴，2分又∵平面，，∴平面，即平面，3分又平面，∴平面平面；4分(2)解：以、、所在射线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，，则，，，，
∴，，，6分设平面的一个法向量为，∴，∴，令，则，，∴，9分设与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为。12分20．（本小题满分12分）已知平行四边形的三个顶点的坐标为、、。(1)在中，求边中线所在直线方程；(2)求平行四边形的顶点的坐标及边的长度；(3)求的面积。【解析】如图建系，(1)设边中点为，则点坐标为，1分∴直线，∴直线的方程为：，3分即：，∴边中线所在直线的方程为：；4分(2)设点的坐标为，由已知得为线段的中点，有，解得，∴，6分又∵、，则；8分(3)由、得直线的方程为：，9分∴到直线的距离，∴。12分21．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形中，，，，，是的中点，是
与的交点。将沿折起到的位置，如图2。(1)证明：平面；(2)若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值。【解析】(1)证明：在图1中，∵，，是的中点，，∴，即在图2中，、，1分又，、平面，平面，3分又，∴平面；4分(2)解：由已知，平面平面，又由(1)知，、，∴为二面角的平面角，∴，5分如图，以为原点，、、为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，∵，，∴、、、，∴，，，7分设平面的法向量，则，即，令，则、，则，9分设平面的法向量，则，即，令，则、，则，11分设平面与平面的夹角的平面角为，
∴。12分22．（本小题满分12分）如图所示，直四棱柱的底面是菱形，，，，、、分别是、、的中点。(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值。【解析】(1)由题可得，四边形为菱形，且，连接，则，又∵为的中点，则，∴，即，2分又∵平面，平面，平面，则，，∴以为原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，4分由为中点，为中点，为中点，，，可得，，，5分则，，，则，，则，∴，∴，又∵平面，平面，∴平面；7分(2)由题可得，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，∴，，，，∴由可得：，令，则，，则，9分
∴由可得：，令，则，，则，11分设二面角为，则，则，∴二面角的正弦值为。12分
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