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天天资源网 / 高中数学 / 教学同步 / 人教A版 / 必修1 / 新教材高中数学高二上学期期中复习 数学试卷三(含解析)

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2021年新教材高二上学期期中复习数学试卷(本卷满分150分,考试时间120分钟)测试范围:选择性必修第一册RJ-A(2019)第一章、第二章一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.对于空间任意一点和不共线的三点、、,有如下关系:,则()。A、四点、、、必共面B、四点、、、必共面C、四点、、、必共面D、五点、、、、必共面【答案】B【解析】由得:,可得四点、、、必共面,故选B。2.已知平面、的法向量分别为、且,则的值为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由已知得,即,则,故选A。3.若(),则直线被圆所截得的弦长为()。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵圆心到直线的距离,因此根据直角三角形的关系,弦长的一半就等于,∴弦长为,故选D。4.已知三条直线、和中没有任何两条平行,但它们不能构成三角形的三边,则实数的值为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由已知得三条直线必过同一个点,则联立解得这两条直线的交点为, 代入可得,故选A。5.直线:(是不等于的整数)与直线的交点恰好是整点(横坐标和纵坐标都是整数),那么满足条件的直线有()。A、条B、条C、条D、无数条【答案】B【解析】联立,∴,即,,∴或或或,∵,∴值有个,直线有七条,故选B。6.过点的直线与圆:交于、两点,当时,直线的斜率为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由题意得,则圆心到直线的距离为,当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时直线与圆相切,不合题意,舍去,当直线的斜率存在时,设直线的方程为,则,解得,故选A。7.已知、两点,则直线与空间直角坐标系中的平面的交点坐标为()。A、B、C、D、【答案】B【解析】设连线与平面的交点为,∵、、三点共线,则,则,则,解得,则,故选B。8.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆。若平面内两定点、间的距离为,动点与、距离之比为,当、、不共线时,面积的最大值是()。A、B、C、D、 【答案】D【解析】如图,以经过、的直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建系,、,设,∵,∴,两边平方并整理得:,∴面积的最大值是,故选D。二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.若平面内两条平行线:与:间的距离为,则实数()。A、B、C、D、【答案】BD【解析】∵,∴,解得或,时,符合,当时,符合,故选BD。10.已知、、和为空间中的个单位向量,且,可能等于()。A、B、C、D、【答案】CD【解析】∵,而,∴,又∵、、、是单位向量,且,∴、、一定不共线,∴,故选CD。11.给出下列命题,其中不正确的为()。A、若,则必有与重合,与重合,与为同一线段B、若,则是钝角C、若,则与一定共线D、非零向量、、满足与,与,与都是共面向量,则、、必共面【答案】ABD【解析】对于A,考虑平行四边形中,满足,不满足与重合,与重合,与为同一线段,故A错, 对于B,当两个非零向量、的夹角为时,满足,但它们的夹角不是钝角,故B错,对于C,当时,,则与一定共线,故C对,对于D,考虑三棱柱,、、,满足与,与,与都是共面向量,但、、不共面,故D错,故选ABD。12.已知圆:,过点向圆作切线,切点为,再作斜率为的割线交圆于、两点,则的面积为()。A、B、C、D、【答案】BD【解析】由题意知,过点作斜率为的割线,则直线的方程为,点到直线的距离为,则弦,过点作圆的切线,其中一条为轴,切点为轴,则点到直线的距离,∴的面积即为的面积,故,又另一条切线为,设直线的方程为,由题意得,且点到直线的距离,解得,则直线的方程为,与圆的方程联立易得,点到直线的距离, 故,综上所述的面积为或,故选BD。三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知正方体中,,若,则,。(本小题每空2.5分)【答案】【解析】∵,∴,∴,。14.已知直线及直线截圆所得的弦长均为,则圆的面积是。【答案】【解析】∵已知的两条直线平行且截圆所得的弦长均为,∴圆心到直线的距离为两平行直线距离的一半,即,又直线截圆所得的弦长为,∴圆的半径,∴圆的面积是。15.如图所示,平行六面体中,,,,则线段的长度是。【答案】【解析】∵,∴,∴。16.已知点是直线:()上的动点,过点作圆:的切线,为切点。若最小为时,圆:与圆外切,且与直线相切,则的值为。【答案】【解析】圆的圆心为,半径为,当与垂直时,的值最小,此时点到直线的距离为, 由勾股定理得,又,解得,圆的圆心为,半径为,∵圆与圆外切,∴,∴,∵圆与直线相切,∴,解得。四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)如图所示,三棱柱中,、分别是、上的点,且,。设,,。(1)试用、、表示向量;(2)若,,,求的长。【解析】(1)2分;4分(2)6分,8分即,∴。10分18.(本小题满分12分)过点作直线分别交、轴正半轴于、两点。(1)当面积最小时,求直线的方程。(2)当取最小值时,求直线的方程。 【解析】设直线:(,),∵直线经过点,∴,2分(1),∴,当且仅当,时等号成立,4分∴当,时,最小,此时直线的方程为,即;6分(2)∵,,,∴,9分当且仅当,时等号成立,10分∴当取最小值时,直线的方程为。12分19.(本小题满分12分)如图所示,在中,,为边上一点,且,,平面,且。(1)求证:平面平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值。【解析】(1)证明:∵,,∴,∴,∴,1分又平面,平面,∴,2分又∵平面,,∴平面,即平面,3分又平面,∴平面平面;4分(2)解:以、、所在射线分别为、、轴,建立空间直角坐标系,如图所示,设,则,,则,,,, ∴,,,6分设平面的一个法向量为,∴,∴,令,则,,∴,9分设与平面所成的角为,则,即直线与平面所成角的正弦值为。12分20.(本小题满分12分)已知平行四边形的三个顶点的坐标为、、。(1)在中,求边中线所在直线方程;(2)求平行四边形的顶点的坐标及边的长度;(3)求的面积。【解析】如图建系,(1)设边中点为,则点坐标为,1分∴直线,∴直线的方程为:,3分即:,∴边中线所在直线的方程为:;4分(2)设点的坐标为,由已知得为线段的中点,有,解得,∴,6分又∵、,则;8分(3)由、得直线的方程为:,9分∴到直线的距离,∴。12分21.(本小题满分12分)如图1,在直角梯形中,,,,,是的中点,是 与的交点。将沿折起到的位置,如图2。(1)证明:平面;(2)若平面平面,求平面与平面夹角的余弦值。【解析】(1)证明:在图1中,∵,,是的中点,,∴,即在图2中,、,1分又,、平面,平面,3分又,∴平面;4分(2)解:由已知,平面平面,又由(1)知,、,∴为二面角的平面角,∴,5分如图,以为原点,、、为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系,∵,,∴、、、,∴,,,7分设平面的法向量,则,即,令,则、,则,9分设平面的法向量,则,即,令,则、,则,11分设平面与平面的夹角的平面角为, ∴。12分22.(本小题满分12分)如图所示,直四棱柱的底面是菱形,,,,、、分别是、、的中点。(1)证明:平面;(2)求二面角的正弦值。【解析】(1)由题可得,四边形为菱形,且,连接,则,又∵为的中点,则,∴,即,2分又∵平面,平面,平面,则,,∴以为原点,、、为、、轴建立空间直角坐标系,如图所示,4分由为中点,为中点,为中点,,,可得,,,5分则,,,则,,则,∴,∴,又∵平面,平面,∴平面;7分(2)由题可得,,,,设平面的法向量为,平面的法向量为,∴,,,,∴由可得:,令,则,,则,9分 ∴由可得:,令,则,,则,11分设二面角为,则,则,∴二面角的正弦值为。12分 查看更多

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