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5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第1课时 周期性与奇偶性学习目标核心素养1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义．2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．(重点)3．掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点)1.通过周期性的研究，培养逻辑推理素养．2．借助奇偶性及图象的关系，提升直观想象素养.1．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sinxy＝cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函数偶函数1．函数y＝2sin是( )8
A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数B [y＝2sin＝2cos2x，它是周期为π的偶函数．]2．函数f(x)＝sin2x的奇偶性为( )A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数A [f(x)＝sin2x的定义域为R，f(－x)＝sin2(－x)＝－sin2x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．]3．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为________．4 [由已知得f(x)的最小正周期T＝＝4.]4．若函数y＝f(x)是以2为周期的函数，且f(5)＝6，则f(1)＝________.6 [由已知得f(x＋2)＝f(x)，所以f(1)＝f(3)＝f(5)＝6.]三角函数的周期问题及简单应用【例1】 求下列函数的周期：(1)y＝sin；(2)y＝|sinx|.[思路点拨] (1)法一：寻找非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立．法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式计算．(2)作函数图象，观察出周期．[解] (1)法一：(定义法)y＝sin8
＝sin＝sin，所以周期为π.法二：(公式法)y＝sin中ω＝2，T＝＝＝π.(2)作图如下：观察图象可知周期为π.求三角函数周期的方法：(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝.1．利用周期函数的定义求下列函数的周期．(1)y＝cos2x，x∈R；(2)y＝sin，x∈R.[解] (1)因为cos2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos2x，由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π.(2)因为sin＝sin＝sin，由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π.三角函数奇偶性的判断8
【例2】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝sin；(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；(3)f(x)＝.[思路点拨] [解] (1)显然x∈R，f(x)＝cosx，∵f(－x)＝cos＝cosx＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)由得－1＜sinx＜1，解得定义域为，∴f(x)的定义域关于原点对称．又∵f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)，∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sinx)－lg(1－sinx)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．8
1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．2．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝cos＋x2sinx；(2)f(x)＝＋.[解] (1)f(x)＝sin2x＋x2sinx，又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－sin2x－x2sinx＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)由得cosx＝，∴f(x)＝0，x＝2kπ±，k∈Z，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．三角函数的奇偶性与周期性的综合应用[探究问题]1．试举例说明哪些三角函数具有奇偶性？提示：奇函数有y＝2sinx，y＝sin2x，y＝5sin2x，y＝sinxcosx等．偶函数有y＝cos2x＋1，y＝3cos5x，y＝sinx·sin2x等．2．若函数y＝f(x)是周期T＝2的周期函数，也是奇函数，则f(2018)的值是多少？提示：f(2018)＝f(0＋1009×2)＝f(0)＝0.【例3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )A．y＝cos|2x| B．y＝|sin2x|8
C．y＝sinD．y＝cos(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f等于( )A．－ B.C．－ D.[思路点拨] (1)先作出选项A，B中函数的图象，化简选项C、D中函数的解析式，再判断奇偶性、周期性．(2)先依据f(x＋π)＝f(x)化简f；再依据f(x)是偶函数和x∈，f(x)＝sinx求值．(1)D (2)D [(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin2x|是偶函数，y＝sin＝cos2x是偶函数，y＝cos＝－sin2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.(2)f＝f＝f＝f＝f＝f＝sin＝.]1．若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“”，其他条件不变，结果如何？[解] f＝f＝f＝－f＝－sin＝－.2．若本例(2)中的周期“π”改为“”，其他条件不变，求f.8
[解] ∵f(x)的周期为，且为偶函数，∴f＝f＝f＝f＝.1．三角函数周期性与奇偶性的解题策略探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．2．与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．1．“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值，周期函数的图象每隔一个周期重复一次．2．周期函数定义中的“f(x＋T)＝f(x)”是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，不能说T是y＝f(x)的周期．3．在数轴上，定义域关于原点对称，是函数具有奇偶性的一个必要条件．因此，确定函数的奇偶性，先要考查其定义域是否关于原点对称．若是，再判断f(－x)与f(x)的关系；若不是，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数.1．思考辨析(1)若sin＝sin，则是函数y＝sinx的一个周期．( )(2)所有的周期函数都有最小正周期．( )(3)函数y＝是奇函数．( )8
[提示] (1)×.因为对任意x，sin与sinx并不一定相等．(2)×.不是所有的函数都有最小正周期，如函数f(x)＝5是周期函数，就不存在最小正周期．(3)×.函数y＝的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，不关于原点对称，故非奇非偶．[答案] (1)× (2)× (3)×2．如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是( )D [观察图象易知，只有D选项中的图象不是周期函数的图象．]3．若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)＝3，则f(5)＝________.－3 [由已知得f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(5)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.]4．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝－2cos3x；(2)f(x)＝xsin(x＋π)．[解] (1)f(－x)＝－2cos3(－x)＝－2cos3x＝f(x)，x∈R，所以f(x)＝－2cos3x为偶函数．(2)f(x)＝xsin(x＋π)＝－xsinx，x∈R，所以f(－x)＝xsin(－x)＝－xsinx＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．8
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