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第一章 集合与常用逻辑用语1.5全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词；2.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性；3.会写全称量词命题和存在量词命题的否定；4.使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括、转化的能力．1.教学重点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假，全称量词命题和存在量词命题的否定；2.教学难点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假。一、全称量词命题、存在量词命题的基本概念1．全称量词、全称量词命题的概念（1）全称量词及表示:定义：短语“”、、、、在逻辑中通常叫全称量词。表示：用符号表示。（2）全称量词命题及表示:定义：含有的命题，叫全称量词命题。表示：全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立”表示为:。读作:“对任意x属于Ｍ，有p(x)成立”。2.存在量词、存在量词命题的定义（1）存在量词及表示:定义：短语、、、、在逻辑中通常叫做存在量词。表示：用符号表示。（2）存在量词命题及表示：
定义：含有的命题,叫做存在量词命题.表示：存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为.读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.3、命题的否定全称量词命题的否定是命题，存在量词命题的否定是命题。探究一、全称量词命题的含义1.思考:下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?(1)x>3(2)2x+1是整数(3)对所有的xR,x>3(4)对任意一个xZ,2x+1是整数2、归纳新知（1）全称量词及表示:定义：短语“”、、、、在逻辑中通常叫全称量词。表示：用符号表示。（2）全称量词命题及表示:定义：含有的命题，叫全称量词命题。表示：全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立”表示为:。读作:“对任意x属于Ｍ，有p(x)成立”。练习：用量词“”表达下列命题:(1)实数都能写成小数形式;(2)凸多边形的外角和等于2；（3）任一个实数乘以-1都等于它的相反数。例1.判断下列全称量词命题的真假(1)所有的素数都是奇数;
(2),|x|+1≥1(3)对每一个无理数x,x2也是无理数4、思考：如何判断全称量词命题的真假？探究二存在量词命题的含义1.思考：下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?(1)2x+1=3(2)x能被2和3整除;(3)存在一个x∈R,使2x+1=3;(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.2.存在量词、存在量词命题的定义（1）存在量词及表示:定义：短语、、、、在逻辑中通常叫做存在量词。表示：用符号表示。（2）存在量词命题及表示：定义：含有的命题,叫做存在量词命题.表示：存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为.读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.3.练习：下列命题是不是存在量词命题？（1）有的平行四边形是菱形;（2）有一个素数不是奇数4.练习：设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写出存在量词命题“∃x∈R,q(x)”例2下列语句是不是全称量词命题或存在量词命题。(1)有一个实数a，a不能取倒数；
(2)所有不等式的解集A,都是A⊆R；(3)有的四边形不是平行四边形。例3判断下列存在量词命题的真假(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;(3)有些平行四边形是菱形.5.思考：如何判断存在量词命题的真假探究三全称量词命题和存在量词命题的否定1.定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。牛刀小试：说出下列命题的否定。（1）56是7的倍数；（2）空集是集合A={1,2,3}的真子集；2.思考：（2）每一个素数都是奇数；。（2）p:每一个四边形的四个顶点在同一个圆上
3.思考：（2）某些平行四边形是菱形；。（3）有一个偶数是素数.例6写出下列命题的否定，并判断真假；（1）任意两个等边三角形都相似；1．下列说法中，正确的个数是( )①存在一个实数x0，使－2x＋x0－4＝0；②所有的素数都是奇数；③至少存在一个正整数，能被5和7整除．A．0 B．1C．2D．3
2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则命题p的否定为( )A．∀n∈N，n2＞2nB．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n3．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定．(1)有一个奇数不能被3整除；(2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；(3)有些三角形的三个内角都为60°；(4)每个三角形至少有两个锐角；(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．这节课你的收获是什么？参考答案：探究一1.（1）不是(2)不是(3)是（4）是关系：(3)在(1)的基础上,用量词“所有的”对变量x进行限定;(4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对变量x进行限定.3.练习（1）x能写成小数形式;（2）x{x|x是凸n边形},x的外角和等于;(3)x·(-1)=-x.例1（1）∵2是素数,但不是奇数,∴全称命题(1)是假命题;(2)∵,|x|≥0,从而|x|+1≥1,∴全称命题(2)是真命题;（3）∵是无理数,但是有理数，,∴全称命题(3)是假命题;4.若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得P(x)不成立即可。探究二1.(1)不是（2）不是（3）是（4）是关系：(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.
3.都是存在量词命题。4.存在实数x,使x2=x成立；至少有一个x∈R,使x2=x成立；对有些实数x,使x2=x成立；有一个x∈R,使x2=x成立；对某个x∈R,使x2=x成立。例2（1）存在量词命题（2）全称量词命题（3）存在量词命题例3(1)由于，,因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.所以,存在量词命题(1)是假命题.(2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线.所以,存在量词命题(2)是假命题。（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。5.要判断存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题是假命题.探究三牛刀小试（1）否定：56不是7的倍数；（2）否定：空集不是集合A={1,2,3}的真子集。2.(2)存在一个素数表示奇数；。从形式看，全称量词命题的否定是存在量词命题例4.（1）否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.（2）否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上；（3）否定：的个位数字等于3.3.否定:（1）所有实数的绝对值都不是正数;（2）每一个平行四边形都不是菱形;（3）从命题形式看,这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.例5（2）该命题的否定：所有三角形都不是等边三角形（3）该命题的否定：任意一个偶数都不是素数例6（1）该命题的否定：存在两个对边三角形，它们不相似。因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都
相似。因此这是一个假命题。（2）该命题的否定：.所以这是一个假命题。达标检测1.【解析】 ①方程－2x2＋x－4＝0无实根；②2是素数，但不是奇数；③正确．故选B.【答案】 B2.【解析】 因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，¬p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.【答案】 C3.(1)是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除．(2)是全称量词命题，否定为：∃x0∈Z，x与3的和等于0.(3)是存在量词命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.(4)是全称量词命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．(5)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．
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