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第31讲 数据的分析及其应用1．数据的代表考试内容考试要求 平均数 算术平均数一组数据x1，x2，…，xn，它的平均数x＝_________________．bc加权平均数若n个数x1，x2，…，xn的权分别是f1，f2，…，fn，则其加权平均数x＝____________________.中位数将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，若数据的个数为奇数，则处于的数就是这组数据的中位数；若数据的个数为偶数，则中间两个数据的就是这组数据的中位数．确定中位数时，一定要注意先把整组数据按照大小顺序排列，再确定．众数在一组数据中，出现的数据就是这组数据的众数．(1)一组数据中众数不一定只有一个；(2)当一组数据中出现异常值时，其平均数往往不能正确反映这组数据的集中趋势，就应考虑用中位数或众数来考察．2.数据的波动
考试内容考试要求表示数据波动的量定义意义bc方差设有n个数据x1，x2，x3，…，xn，各数据与它们____________________的差的平方分别是(x1－x)2，(x2－x)2，…，(xn－x)2，我们用它们的平均数，即用____________________来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作S2.方差越大，数据的波动越，反之也成立．标准差我们也用方差的算术平方根来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差标准差越大，数据的波动越，反之也成立．考试内容考试要求基本思想统计的基本思想：利用样本特征去估计总体的特征是统计的基本思想．注意样本的选取要有足够的代表性．c基本方法利用数据进行决策：利用数据进行决策时，要全面、多角度地去分析已有数据，比较它们的代表性和波动大小，发现它们的变化规律和发展趋势，从而作出正确决策．1．(·湖州)数据－2，－1，0，1，2，4的中位数是( ) A．0B．0.5C．1D．22．(·温州)温州某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表：
零件个数(个)5678人数(人)3152210表中表示零件个数的数据中，众数是( )A．5个B．6个C．7个D．8个3．(·绍兴)下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：甲乙丙丁平均数(环)9.149.159.149.15方差6.66.86.76.6根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( )A．甲B．乙C．丙D．丁4．(·台州)有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的( )A．方差B．中位数C．众数D．平均数【问题】某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩(单位：环)相同．小宇根据他们的成绩绘制了如下不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差(见小宇的作业)．甲、乙两人射箭成绩统计表第1次第2次第3次第4次第5次甲成绩94746乙成绩757a7
(1)a＝________，x乙＝________；(2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；(3)①观察图，可看出________的成绩比较稳定(填“甲”或“乙”)．参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断；②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中；(4)通过(1)、(2)、(3)解答体验，数据的分析应运用哪些统计量，这些统计量特点是什么？ 【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理统计量：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差，以及它们的特征；对统计量进行合理地选择和恰当地运用，全面、多角度地去分析已有数据，利用数据进行决策．类型一 平均数、众数和中位数的计算与应用 (·嘉兴模拟)为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民年4月份用电量的调查结果：居民(户)1324月用电量(度/户)40505560那么关于这10户居民月用电量(单位：度)，下列说法错误的是( )A．中位数是55 B．众数是60C．方差是29 D．平均数是54【解后感悟】此题主要运用了平均数、众数、中位数及方差的知识，解题时分别计算出众数、中位数、平均数及方差后找到正确的选项即可．求中位数这类问题一般要把数据从小到大排列，设数据的总数为n，若n为奇数，则中位数为第个数；若n为偶数，则中位数为第个数与＋1个数的平均数． (·衢州)在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，他不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的( )A．众数B．方差C．平均数D．中位数
【解后感悟】此题反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用；解决这类问题的关键是弄清概念，平均数的大小与一组数据里的每一个数据均有关系，其中任何一个数据的变动都会引起平均数的变动；众数着眼于各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的部分数据有关，可以是一个或多个；中位数则与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，计算时要分清数据是奇数个，还是偶数个．1．(1)(·宁波)在端午节到来之前，学校食堂推荐了A，B，C三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购，下面的统计量中最值得关注的是( )A．方差B．平均数C．中位数D．众数(2)(·台湾)图1、图2分别为甲、乙两班学生参加投篮测验的投进球数直方图．若甲、乙两班学生的投进球数的众数分别为a、b；中位数分别为c、d，则下列关于a、b、c、d的大小关系，何者正确？( )A．a＞b，c＞dB．a＞b，c＜dC．a＜b，c＞dD．a＜b，c＜d2．甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：甲：8，8，7，8，9.乙：5，9，7，10，9.(1)填写下表：平均数众数中位数方差甲8____________________80.4乙____________________9____________________3.2(2)教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
(3)如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差____________________．(填“变大”、“变小”或“不变”)． 类型二 方差、标准差的计算与应用 (·吉林)要从甲、乙两名同学中选出一名，代表班级参加射击比赛，如图是两人最近10次射击训练成绩的折线统计图．(1)已求得甲的平均成绩为8环，求乙的平均成绩；(2)观察图形，直接写出甲，乙这10次射击成绩的方差S，S哪个大；(3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选______参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选________参赛更合适．【解后感悟】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，一般地设n个数据，x1，x2，…，xn的平均数为x，则方差S2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．3．(·舟山)已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a－2，b－2，c－2的平均数和方差分别是( )A．3，2B．3，4C．5，2D．5，44．(·郑州模拟)九(3)班为了参加学校举行的“五水共治”知识竞赛，在班里选取了若干名学生，分成人数相同的甲乙两组，进行了四次“五水共治”模拟竞赛，根据成绩优秀的人数和优秀率分别绘制成如下统计图．
根据统计图，解答下列问题：(1)第三次成绩的优秀率是多少？并将条形统计图补充完整；(2)已求得甲组成绩优秀人数的平均数x甲组＝7，方差S＝1.5.请通过计算说明，哪一组成绩优秀的人数较稳定？类型三 利用统计量解决实际问题 (·青岛)甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩/环中位数/环众数/环方差甲a771.2乙7b8c
(1)写出表格中a，b，c的值；(2)分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？ 【解后感悟】本题考查的是条形统计图和方差、平均数、中位数、众数的综合运用；熟练掌握平均数的计算，理解方差的概念，能够根据计算的数据进行综合分析．5．八(1)班五位同学参加学校举办的数学素养竞赛．试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分．赛后A，B，C，D，E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况(E同学只记得有7道题未答)，具体如下表参赛同学答对题数答错题数未答题数A1901B1721C1523D1712E//7(1)根据以上信息，求A，B，C，D四位同学成绩的平均分；(2)最后获知A，B，C，D，E五位同学成绩分别是95分，81分，64分，83分，58分．①求E同学的答对题数和答错题数；②经计算，A，B，C，D四位同学实际成绩的平均分是80.75分，与(1)中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答题情况，请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况(直接写出答案即可)．
【实际探究题】小亮和小红在公园放风筝，不小心让风筝挂在树梢上，风筝固定在A处(如图)，为测量此时风筝的高度，他俩按如下步骤操作：第一步：小亮在测点D处用测角仪测得仰角∠ACE＝β.第二步：小红量得测点D处到树底部B的水平距离BD＝a.第三步：量出测角仪的高度CD＝b.之后，他俩又将每个步骤都测量了三次，把三次测得的数据绘制成如下的条形统计图和折线统计图．请你根据两个统计图提供的信息解答下列问题．(1)把统计图中的相关数据填入相应的表格中：abβ第一次第二次第三次平均值(2)根据表中得到的样本平均值计算出风筝的高度AB.(参考数据：≈1.732，≈
1.414，结果保留3个有效数字)．【方法与对策】本题是实践性应用题，通过社会实践活动来收集数据、整理和分析数据，得出结论；同时该题利用统计图来结合直角三角形，在解直角三角形时，如果有直角三角形直接利用边角关系直接求出，如果没有直角三角形可以构造直角三角形再利用边角关系去解．这类题型解直角三角形与统计结合是中考命题趋向．【忽视选用合适的公式计算平均数】某市号召居民节约用水，为了解居民用水情况，随机抽查了20户家庭某月的用水量，结果如下表，则这20户家庭这个月的平均用水量是 吨.用水量(吨)4568户数3845
参考答案第31讲 数据的分析及其应用【考点概要】1. 中间位置 平均数 次数最多 2.平均数 [(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2] 大 大【考题体验】1．B 2.C 3.D 4.A【知识引擎】【解析】(1)求乙射的总环数→计算表中已知总环数→求a，x乙．故答案4，6. (2)观察乙表中成绩数→在折线图上描点连线．如图．(3)方差的概念→计算乙的方差→比较甲、乙方差大小→结论．①乙，乙的方差＝[(7－6)2＋(5－6)2＋(7－6)2＋(4－6)2＋(7－6)2]＝1.6.由于甲的方差是3.6，所以上述判断正确．②因为两人成绩的平均水平(平均数)相同，乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．(4)平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数；反映数据的离散程度的统计量有极差、方差、标准差．【例题精析】例1 C 例2 因为7名学生进入前3名肯定是7名学生中最高成绩的3名，而且7个不同的分数按从小到大排序后，中位数之后的共有3个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入前3名．故选：D.例3 (1)乙的平均成绩是：(8＋9＋8＋8＋7＋8＋9＋8＋8＋7)÷10＝8(环)；(2)根据图象可知：甲的波动大于乙的波动，则S＞S；(3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选乙参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选甲参赛更合适．故答案为：乙，甲． 例4 (1)甲的平均成绩a＝＝7(环)，∵
乙射击的成绩从小到大重新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，∴乙射击成绩的中位数b＝＝7.5(环)，其方差c＝×[(3－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋2×(7－7)2＋3×(8－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2]＝×(16＋9＋1＋3＋4＋9)＝4.2； (2)从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定；综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大．【变式拓展】1．(1)D (2)A 2.(1)8 8 9 (2)因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛． (3)变小 3.B 4.(1)∵第一次成绩优秀的人数是11人，优秀率为55%，∴选取的学生总人数为＝20(人)．∴第三次成绩的优秀率是×100%＝65%.∴乙组第四次成绩优秀的人数为20×85%－8＝9(人)，补图略． (2)乙组成绩优秀人数的平均数为x乙组＝＝7，方差S＝[(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2]＝2.5.∵两组成绩优秀人数的平均数相同，甲组成绩优秀人数的方差小于乙组成绩优秀人数的方差，∴甲组成绩优秀的人数较稳定．5．(1)x＝＝82.5(分)． (2)①设E同学答对x题，答错y题，由题意得解得∴E同学答对12题，答错1题．②C同学，他实际答对14题，答错3题，未答3题．【热点题型】【分析与解】(1)要根据题中所给的条形统计图和折线统计图完成下列表格.abβ第一次15.711.3129.5°第二次15.831.3330.8°第三次15.891.3229.7°平均值15.811.3230°(2)利用解直角三角形的知识即可求出风筝的高度．由题意得：四边形BDCE为矩形，∴EC＝BD＝15.81m，BE＝CD＝1.32m，∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠β
＝30°，∵tanβ＝.∴AE＝EC·tan30°＝15.81×≈15.81×0.577≈9.122m.∴AB＝AE＋BE＝9.122＋1.32≈10.4(m)．∴风筝的高度AB约为10.4m.【错误警示】平均用水量为x＝＝5.8(吨)，故填5.8.
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