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第1章自我评价一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为(A)A.B.C.D.(第2题)2．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′等于(C)A．1B.C.D．23．如图，点A的坐标为(－1，0)，点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为(A)(第3题)A.B.C.D．(0，0)4．如果sin2α＋cos230°＝1，那么锐角α的度数是(A)A．30°B．45°C．60°D．90°【解】 ∵sin230°＋cos230°＝1，∴α＝30°.5．在△ABC中，若与互为相反数，则∠C等于(A)A．120°B．90°C．60°D．45°【解】 ∵＋＝0，∴sinB＝，cosA＝.∴∠B＝30°，∠A＝30°.∴∠C＝120°.
6．∵sin30°＝，sin210°＝－，∴sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°；∵sin45°＝，sin225°＝－，∴sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°.由此猜想：一般地，当α为锐角时，有sin(180°＋α)＝－sinα，由此可知：sin240°＝(C)A．－B．－C．－D．－7．如图是一束从教室窗户射入的平行光线的平面示意图，光线与地面所成的角∠AMC＝30°，在教室地面的影长MN＝2m，若窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1m，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为(B)A．2mB．3mC．3.2mD.m,(第7题)) ,(第8题))8．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点．若tan∠DBA＝，则AD的长为(A)A．2B.C.D．19．如图，梯形大坝的斜坡AB的坡比i＝1∶2，坝高BC为4m，则斜坡AB的长是(C)A．2mB．2mC．4mD．6m,(第9题)) ,(第10题))10．如图，在300m高的峭壁上测得塔顶与塔基的俯角分别为30°和60°，则塔CD的高为(D)A．100mB．150mC．180mD．200m【解】 延长CD交AE于点F.由题意，得∠CAB＝30°，∴CB＝AB·tan30°＝100.∵AF＝CB，∴DF＝AF·tan30°＝100.∴CD＝CF－DF＝300－100＝200(m)．二、填空题(每小题3分，共30分)11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则cosB的值为____．12．如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为____．
,(第12题)) ,(第13题))13．如图，遭受台风的袭击后，一棵大树在离地面若干米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C12m处，测得∠BAC＝30°，则BC的长是__4___m.14.将一块三角形菜地记为△ABC，量得∠A＝60°，AB＝6m，AC＝4m，则△ABC的面积是6_．15．如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面的高度AC为3m，引桥的坡角∠ABC为30°，则引桥的水平距离BC的长是__5.2__m(精确到0.1m，参考数据：≈1.73)．(第15题)(第16题)16．一山谷的横截面示意图如图，宽AA′为15m．用曲尺(两直尺相交成直角)从山谷两侧测量出OA＝1m，OB＝3m，O′A′＝0.5m，O′B＝3m(点A，O，O′，A′在同一条水平线上)，该谷的深度h为__30__m.17.一个热气球飘浮在离地55m的上空，此时用测倾仪测得它的仰角是30°，则测倾仪与气球之间的距离是__110__m.18．在山坡上种树，要求株距为6m，测得斜坡的倾斜角为30°，则斜坡上相邻两株树间的水平距离是__3___m.19.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，DE＝8cm，sinA＝，则菱形ABCD的面积是80cm2.(第19题) (第20题)20．如图，鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长为3m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为3m，则鱼竿转过的角度是__15°__．【解】 ∵sin∠CAB＝＝，∴∠CAB＝45°.∵sin∠C′AB′＝＝＝，∴∠C′AB′＝60°.∴∠C′AC＝15°.
三、解答题(共40分)21．(6分)计算：(1)cos30°＋tan45°＋sin60°·cos60°；(2)＋2sin60°.【解】 (1)原式＝×＋1＋×＝＋1.(2)原式＝＋2×＝＋＝2－＋＝2.22．(6分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，∠BAC的平分线AD＝，求∠B的度数及边BC，AB的长．(第22题)【解】 在Rt△ADC中，∵AC＝8，AD＝，∴cos∠CAD＝＝，∴∠CAD＝30°.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC＝60°，∴∠B＝30°.∴BC＝AC·tan60°＝8，∴AB＝＝16.(第23题)23．(6分)如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°，已知原滑滑板长为5m，点D，B，C在同一水平地面上．问：改善后滑滑板会加长多少(精确到0.01m，参考数据：＝1.414，＝1.732，＝2.449)?【解】 在Rt△ABC中，∵AB＝5，∠ABC＝45°，∴AC＝AB·sin45°＝5×＝(m)．在Rt△ADC中，∵∠ADC＝30°，∴AD＝2AC＝5≈5×1.414＝7.07(m)，∴AD－AB＝7.07－5＝2.07(m)．
答：改善后滑滑板约会加长2.07m.(第24题)24．(6分)如图，甲、乙两栋高楼的水平距离BD为90m，从甲楼顶部点C处测得乙楼顶部点A处的仰角α为30°，测得乙楼底部点B处的俯角β为60°，问：甲、乙两栋高楼各有多高(结果保留根号)?【解】 由题意，得CE＝BD＝90m.在Rt△ACE中，tanα＝，∴AE＝CE·tanα＝30m.在Rt△BCE中，tanβ＝，∴BE＝CE·tanβ＝90m.∴CD＝BE＝90m，AB＝AE＋BE＝30＋90＝120m.∴甲楼高90m，乙楼高120m.(第25题)25．(8分)在同一时刻的物高与水平地面上的影长成正比例．如图，小莉发现垂直地面的电线杆AB的影子落在地面和土坡上，影长分别为BC和CD，经测量，得BC＝20m，CD＝8m，CD与地面成30°角，且此时测得垂直于地面的1m长的标杆在地面上的影长为2m，求电线杆AB的长度．【解】 过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F.∵∠DCF＝30°，∴CF＝CD·cos30°＝8×＝4(m)，DF＝CD·sin30°＝8×＝4(m)，∴DE＝BF＝BC＋CF＝(20＋4)m，∵垂直于地面的1m长的标杆在地面上的影长为2m，∴＝，∴AE＝DE＝(10＋2)m.∴AB＝AE＋BE＝AE＋DF＝10＋2＋4＝(14＋2)(m)．
答：电线杆AB的长度为(14＋2)m.26．(8分)某校为了解决学生停车难的问题，打算新建一个自行车棚．如图，图①是车棚的示意图(尺寸如图所示)，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图②是车棚顶部的截面示意图，弧AB所在圆的圆心为O，半径OA为3m.(1)求∠AOB的度数(结果精确到1°)；(2)学校准备用某种材料制作车棚顶部，请你算一算；需该种材料多少平方米(不考虑接缝等因素，结果精确到1m2)?(参考数据：sin53.1°≈0.80，cos53.1°≈0.60，π取3.14.)(第26题)【解】 (1)过点O作OC⊥AB，垂足为C，则AC＝2.4.∵OA＝3，∴sin∠AOC＝＝0.8，∴∠AOC≈53.1°.∴∠AOB＝106.2°≈106°.(2)l＝×3≈5.5，∴所需材料面积为5.5×15≈83(m2)．即需该种材料约83m2.
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