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第1章质量评估试卷[时间：90分钟 分值：120分]一、选择题(每题3分，共30分)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sinA的值为( D )A. B.C.D.2．[2016·无锡]tan45°的值为( B )A. B．1C. D.3．[2016·巴中]一个公共房门前的台阶高出地面1.2m，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图1所示，则下列关系或说法正确的是( B )图1A．斜坡AB的坡比是10°B．斜坡AB的坡比是tan10°C．AC＝1.2tan10°mD．AB＝m4．[2016·南宁]如图2，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC＝10m，∠B＝36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是( C )图2A．5sin36°mB．5cos36°mC．5tan36°mD．10tan36°m【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝10m，
∴DC＝BD＝5m，∵在Rt△ADB中，∠B＝36°，∴tan36°＝，则AD＝BD·tan36°＝5tan36°(m)．故选C.5．[2016·潍坊]关于x的一元二次方程x2－x＋sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( B )A．15° B．30° C．45° D．60°【解析】由题意，得b2－4ac＝2－4sinα＝0，解得sinα＝，∴α＝30°.故选B.6．如图3，在△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝5，则△ABC的面积是( A )图3A.B．12C．14D．217．[2016·益阳]小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图4，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1m，则旗杆PA的高度为( A )图4A.mB.m
C.mD.m【解析】设PA＝PB＝PB′＝x(m)，在Rt△PCB′中，sinα＝，∴＝sinα，∴x＝.故选A.8．[2016·苏州]如图5，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( B )图5A．2mB．2mC．(2－2)mD．(2－2)m【解析】∵在Rt△ABD中，sin∠ABD＝，∴AD＝4sin60°＝2(m)，∵在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，∴AC＝＝2(m)．故选B.9．[2016·达州]如图6，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为( C )A.B．2
C.D.图6 第9题答图【解析】如答图，作直径CD.在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，则OD＝＝4，∴tan∠CDO＝＝，由圆周角定理，得∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC＝.故选C.10．[2016·重庆B卷]如图7，某办公大楼正前方有一根高度是15m的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20m，梯坎坡长是12m，梯坎坡比i＝1∶，则大楼AB的高度约为(精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45.)( D )A．30.6mB．32.1mC．37.9mD．39.4m图7 第10题答图【解析】如答图，AB，DC的延长线交于点G，过点E作EF⊥AB于点F，由图示知AB＝AF＋FB.∵α＝45°，∴∠FAE＝45°，∴AF＝EF.又∵＝，BC＝12m，∴BG2＋(BG)2＝122，∴BG＝6m，CG＝6m．∵FG＝ED＝15m，DC
＝20m，∴EF＝DG＝(20＋6)m，∴AF＝(20＋6)m，BF＝FG－BG＝DE－BG＝15－6＝9(m)，∴AB＝20＋6＋9＝29＋6≈39.4(m)．故选D.二、填空题(每题4分，共24分)11．[2015·成都模拟]如图8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为．
图8【解析】∵AB＝2BC，∴AC＝＝BC，∴sinB＝＝＝.12．如图9，小明爬一土坡，他从A处到B处所走的直线距离AB＝4m，此时，他距离地面高度为h＝2m，则这个土坡的坡角∠A＝__30°__．图913．在△ABC中，如果∠A，∠B满足|tanA－1|＋＝0，那么∠C＝__75°__．【解析】∵在△ABC中，|tanA－1|＋＝0.∴tanA＝1，cosB＝.∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝75°.14．如图10，△ABC内接于⊙O，AO＝2，BC＝2，则∠BAC的度数为__60°__．图10 第14题答图【解析】如答图，连结OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D.
∵OD⊥BC，∴BD＝BC＝×2＝.在Rt△OBD中，OB＝OA＝2，BD＝，∴cos∠OBD＝＝，∴∠OBD＝30°.又∵OB＝OC，∴∠OCB＝30°，∴∠BOC＝120°，∴∠BAC＝∠BOC＝60°.15．[2016·福州]如图11，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是____．图11 第15题答图【解析】要求三角函数，必须有直角三角形，构造直角三角形如答图，延长BC到下一格交点处D，连结AD，△BDA即是直角三角形．∵∠O＝60°，小网格是菱形，∴∠ADE＝30°，∠BDE＝60°.∵在Rt△ADC中，＝，∴tan∠ABC＝＝＝.16．[2016·荆州]全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图12，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为11°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD＝10m，则此塑像的高AB约为__58__m(参考数据：tan78°12′≈4.8)．
图12 第16题答图【解析】如答图，过点C作CE⊥AB于点E，则BE＝DC，∵∠ECB＝11°48′，∴∠EBC＝78°12′，则tan78°12′＝＝≈4.8，∴EC＝48(m)，∵∠ACE＝45°，则AE＝EC，BE＝CD＝10m，∴AB＝AE＋BE＝58(m)．∴此塑像的高AB约为58m.三、解答题(共66分)17．(6分)如图13，在坐标平面内有一点P(－2，5)，连结OP.求OP与x轴的负半轴的夹角α的各个三角函数值．图13解：∵OP＝＝＝＝，∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝，tanα＝＝.
18．(6分)在△ABC中，∠C＝90°.(1)若已知a＝3，∠A＝30°，求∠B和b，c；(2)若已知∠B＝60°，b＝3，求a，c与∠A.解：(1)∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，sinA＝＝＝，∴c＝6，∴b＝＝3；(2)∠A＝30°，a＝，c＝2.19．(8分)计算：(1)＋tan60°；(2)2cos45°·sin45°－2sin30°·tan45°＋·tan60°.解：(1)原式＝＋＝＋；(2)原式＝2××－2××1＋×＝1－1＋3＝3.20．(8分)[2016·梧州]如图14，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：∠A＝90°，∠ABD＝60°，∠CBD＝54°，AB＝200m，BC＝300m.请你计算出这片水田的面积(参考数据：sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376，≈1.732)．图14 第20题答图解：如答图，过点C作CM⊥BD于点M.∵∠A＝90°，∠ABD＝60°，∴∠ADB＝30°，
∴BD＝2AB＝400(m)，∴AD＝AB＝200(m)，∴S△ABD＝×200×200＝20000(m2)，∵∠CMB＝90°，∠CBD＝54°，∴CM＝BC·sin54°＝242.7(m)，∴S△BCD＝×400×242.7＝48540(m2)，∴这片水田的面积为20000＋48540＝83180(m2)．21．(8分)[2016·黄石]如图15，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝800m，BC＝200m，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°.(1)求AB段山坡的高度EF；(2)求山峰CF的高度(≈1.414，CF结果精确到米)．图15 第21题答图解：(1)如答图，过点B作BH⊥AF于点H，∵在Rt△ABH中，sin∠BAH＝，∴BH＝800·sin30°＝400(m)，∴EF＝BH＝400m；(2)∵在Rt△CBE中，sin∠CBE＝，∴CE＝200·sin45°＝100＝141.4(m)，∴CF＝CE＋EF＝141.4＋400≈541(m)．答：AB段山坡高度为400m，山峰CF的高度约为541m.22．(10分)[2016·资阳]如图16，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点
C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B，C两地相距120海里．(1)求出此时点A到岛礁C的距离；(2)若“中国海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离(注：结果保留根号)．图16 第22题答图解：(1)如答图，延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D.由题意，可得∠CBD＝30°，BC＝120海里，则DC＝60海里，cos30°＝＝＝，解得AC＝40.答：点A到岛礁C的距离为40海里．(2)如答图，过点A′作A′N⊥BC于点N，A′E⊥AD于点E.可得∠1＝30°，∠BA′A＝45°，则∠2＝15°，即A′B平分∠CBA，∴A′N＝A′E.设AA′＝x海里，则A′E＝x海里，CA′＝2A′N＝2×x＝x(海里)，∴x＋x＝40，解得x＝60－20.答：此时“中国海监50”的航行距离为(60－20)海里．23．(10分)[2016·苏州]如图17，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使得CD＝BD，连结AC交⊙O于点F，连结AE，DE，DF.(1)证明：∠E＝∠C；(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数；
(3)设DE交AB于点G，若DF＝4，cosB＝，E是的中点，求EG·ED的值．图17 第23题答图解：(1)证明：如答图，连结AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠B＝∠AED，∴∠AED＝∠C；(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°－∠AED，又∵∠CFD＝180°－∠AFD，∴∠CFD＝∠AED＝55°，又∵∠AED＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°；(3)如答图，连结OE.∵∠CFD＝∠AED＝∠C，∴FD＝CD＝BD＝4，∵在Rt△ABD中，cosB＝，BD＝4，∴AB＝6，∵E是的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE＝90°，∵AO＝OE＝3，∴AE＝3，∵E是的中点，∴∠ADE＝∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴＝，即EG·ED＝AE2＝18.
24．(10分)[2015·济宁]在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b.解：在△ABC中，∵＝，∴b＝＝＝＝3.理解应用：如图18，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20min后到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？图18解：(1)△A1A2B2是等边三角形．证明：由已知，得A2B2＝10海里，A1A2＝30×＝10(海里)，∴A1A2＝A2B2，又∵∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形；
(2)∵△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝10海里，∵∠CB1A1＝180°－105°＝75°，∴∠B2B1A1＝75°－15°＝60°，又∵∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，∴在△A1B2B1中，＝，B1B2＝·sin45°＝×＝(海里)，∴乙船的速度为÷＝20(海里/时)．答：乙船每小时航行20海里．
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