资料简介
第三课时球的表面积与体积第三课时球的表面积与体积 你的资源来"备课吧"WWW.123ppt.net （一）教学目标 1．知识与技能 （1）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）. （2）培养学生空间想象能力和思维能力. 2．过程与方法 通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系. 3．情感、态度与价值 让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣. （二）教学重点、难点 重点：球的表面积与体积的计算 难点：简单组合体的体积计算 （三）教学方法 讲练结合教学过程教学内容师生互动设计意图新课引入 复习柱体、锥体、台体的表面积和体积，点出主题. 师生共同复习，教师点出点题（板书）复习巩固探索新知 1．球的体积： 2．球的表面积： 师：设球的半径为R，那么它的体积：，它的面积现在请大家观察这两个公式，思考它们都有什么特点？ 生：这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R惟一确定.其中球的体积是半径R的三次函数，球的表面积是半径R的二次函数.
师(肯定)：球的体积公式和球的表面积公式以后可以证明.这节课主要学习它们的应用.加强对公式的认识培养学生理解能力典例分析 例1如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证： （1）球的体积等于圆柱体积的； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积. 证明：（1）设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R，高为2R. 因为， ， 所以，. （2）因为， ， 所以，S球=S圆柱侧.例2球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之比为（） A．6:13B．5:14 C．3:4D．7:15 【解析】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆O内切于梯形ABCD. 设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1、r2，由平面几何知识知，圆台的高为2R，母线长为r1+r2. ∵∠AOB=90°，OE⊥AB(E为切点)， ∴R2=OE2=AE·BE=r1·r2.由已知S球∶S圆台侧=4R2∶(r1+r2)2=3∶4(r1+r2)2=V球∶V圆台==故选A. 例3在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA=PB=PC=a，求这个球的体积. 解：∵PA、PB、PC两两垂直，
PA=PB=PC=a. ∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体. 又∵P、A、B、C四点是球面上四点， ∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径. ∴. ∴ 教师投影例1并读题，学生先独立完成.教师投影答案并点评（本题联系各有关量的关键性要素是球的半径） 教师投影例2并读题， 师：请大家思考一下这道题中组合体的结构特征. 生：球内切于圆台. 师：你准备怎样研究这个组合体？ 生：画出球和圆台的轴截面. 师：圆台的高与球的哪一个量相等？ 生：球的直径. 师：根据球和圆台的体积公式，你认为本题解题关键是什么？
生：求出球的半径与圆台的上、下底面半径间的关系. 师投影轴截面图，边分析边板书有关过程. 师：简单几何体的切接问题，包括简单几何体的内外切和内外接，在解决这类问题时要准确地画出它们的图形，一般要通过一些特殊点，如切点，某些顶点，或一些特殊的线，如轴线或高线等，作几何体的截面，在截面上运用平面几何的知识，研究有关元素的位置关系和数量关系，进而把问题解决. 教师投影例3并读题，学生先思考、讨论，教师视情况控制时间，给予引导，最后由学生分析，教师板书有关过程.师：计算球的体积，首先必须先求出球的半径.由于PA、PB、PC是两两垂直的而且相等的三条棱，所以P-ABC可以看成一个正方体的一角，四点P、A、B、C在球上，所以此球可视为PA、PB、PC为相邻三条棱的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线.本题较易，学生独立完成，有利于培养学生问题解决的能力.通过师生讨论，突破问题解决的关键，培养学生空间想象能力和问题解决的能力.
本题有两种解题方法，此处采用构造法解题，目标培养学生联想，转化化归的能力.另一种方法，因要应用球的性质，可在以后讨论.随堂练习 1．（1）将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的几倍？ （2）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是acm，求球的体积. （3）一个球的体积是100cm2，试计算它的表面积(取3.14，结果精确到1cm2，可用计算器). 参考答案： 1．（1）8倍；（2）（3）104.学生独立完成 巩固所学知识归纳总结 1．球的体积和表面积 2．等积变换 3．轴截面的应用 学生独立思考、归纳，然后师生共同交流、完善 归纳知识，提高学生自我整合知识的能力.课后作业1.3第三课时习案学生独立完成固化练习提升能力 备用例题例1．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，求球面面积与球的体积．【分析】可以用球的截面性质。即截面小圆的圆心到球心的线段垂直于截面小圆平面．【解析】如图，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于O1，由于OA=OB=OC=R，则O1是△ABC的外心．
设M是AB的中点，由于AC=BC，则O1∈CM．设O1M=x，易知O1M⊥AB，则O1A=，O1C=CM-O1M=-x又O1A=O1C∴．解得则O1A=O1B=O1C=．在Rt△OO1A中，O1O=，∠OO1A=90°，OA=R，由勾股定理得．解得．故．例2．如图所示棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=，且PD是四棱锥的高．（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；（2）求四棱锥外接球的半径．【分析】（1）当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积分割法求解．（2）四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五点的距离均为半径，只要找出球心的位置即可．球心O在过底面中心E且垂直于底面的垂线上．【解析】（1）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R．，，，S□ABCD=a2．VP-ABCD=VS-PDA+VS-PDC+VS-ABCD+VS-PAB+Vs-PBC，，，所以，，即球的最大半径为．（2）法一：设PB的中点为F．因为在Rt△PDB中，FP=FB=FD，
在Rt△PAB中，FA=FP=FB，在Rt△PBC中，FP=FB=FC，所以FP=FB=FA=FC=FD．所以F为四棱锥外接球的球心，则FP为外接球的半径．法二：球心O在如图EF上，设OE=x，EA=，又即球心O在PB中点F上．【评析】方法二为求多面体（底面正多面边形）外接球半径的通法；求多面体内切球半径经常采用体积分割求和方法． 高中任一科任一课的教案、课件、试题、每年的高考试题及答案均可在免费免注册的教学资源网"备课吧"域名123ppt.net（谐音：123皮皮的呐）内搜到。
查看更多
