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1.3.2球的体积和表面积疱丁巧解牛知识•巧学一、球的体积471.公式：皆一欣3.32.推导：求一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积.由于圆柱的底面圆的半径为R且其高也为R,则V圆柱fFRfF,所挖去的圆锥的底面半径和高也都是R,则Vm=-7iR2R=-7rR\于是V松33=12=二V柱-V谁二加?3——欣3=_叔33再求一个半径为R的半球的体积.它的底面积与组合体的底面积相等，它的高与组合体的高都等于R，即这两个几何体有相等的高与底面积.用一个平行于底面的平面去截这两个儿何体，可以证明其而积总相等，由祖眶原理，知这两个儿何体体积相等.所以整个球的体积公式为V=-^R3.3早在小学时我们就知道一个实验：取一个半径为R的半球，再取一个圆桶和一个圆锥，它们的底面半径与高都是R,将圆锥放入圆桶内，再将半球里装满细沙，把这些细沙倒入圆桶内，这时圆桶恰好装满.这个实验启示我们，一个半球（半径为R）的体积等于一个圆柱（底面半径和高都等于R）与一个圆锥（底面半径和高都等于R）的体积的差，即V半球二V圆桂-V圆惟二兀R，——R’,所以知V球=2X—R’——R’.3333二、球的表面积公式：S二4“R2,即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.对于球的表面积公式的推导我们后面将要学习，实际用的是微分与积分的思想，即先把球体近似地分割成小的准锥体，当这种分割足够小时可以看作锥体,通过求它们的体积和，求出球的表面枳.球的体枳和表面枳公式中均含有31,如不加特殊说明，我们结果中保留n即可.问题・探究问题若球的大圆的面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的儿倍？探究:球的表血积、体积的计算中，由于它们都仅与半径有关，从而只要由条件理顺半径间的关系，即可确定体积或表面积之间的关系•如本题可设变化前后两球半径为r、R,则有432[1V—加31——»所以一=—j=,前球=三=—r=—-j=•所以体积扩大为原来的3^/3倍.尿3RV3$球4^3R?3V33典题・热题例1己知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6,AB=4,求球而而积与球的体积.思路解析：可以用球的截面性质，借助题设给定的等量关系，建立关于球半径的方程来解题.解：如图1-3-20,设球心为0,球半径为R,作00i丄平面ABC于0,,
图1-3-20由于OA二OB二OC二R,则0】是AABC的外心.设M是AB的中点，由于AC=BC,则O£CM・设0】M二x,易知0$丄AB,则0iA=V22+x2,OiC=CM-O）M=^62-22-x.又OiA二OiC,・°・V22+x2=V62—22—x.解得x=了血.4则OiA=OiB=OiC=9V2"T-R在RtAOOiA中,0i0=—,Z00iA=90°,OA=R.2由勾股定理，得（£）J（也）2=r2.24故S球面二4nR2=5z1兀,V球二纟加=27拆龙.3方法归纳计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就要充分利用球的截面的性质进行求解.已知条件中的等量关系往往是建立方程的依据，这种解题的方程思想值得重视.例2矩形ABCD中，AB二4,BC二3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为（）125龙125龙125龙125龙A.B.C.D.12963思路解析：四面体ABCD的外接球的球心到各个顶点的距离相等，所以球心应为线段AC的中点，设球的半径为r,因为AC二5,所以尸仝，代入球的体积公式可得V^=-7T（-）2=12竺.2326答案:C例3有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.思路解析：作出截面图，分别求出三个球的半径.由正方体的对称性，球心一定和正方体的中心重合，可以画出球的大圆的平面图來分析.解：设正方体的棱长为a.（1）正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心,经过四个切点及球心作截面如图1-3-21,所以有2ri=a,rF—.所以Si二4兀rt2=Jia.2
图1-3-21(2)球与正方体的各棱的切点是每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图，2r2=y/la,r2=a,所以S2=4岔？=2na2.(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图1-3-22所示,所以有2r3=y/3a图1-3-22所以S：F4加屮二3兀a2.综上可得Si：S2：S3=l：2：3.深化升华球的组合体问题，关键是正确地作出截面图，用圆的知识把立体问题转化为平面问题来解决•这一转化，往往是利用球的大圆来实现的.
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