资料简介
1.3.2球的体积和表面积
课标要求:1.了解球的表面积和体积计算公式.2.会求与球有关的简单组合体的体积和表面积.
自主学习知识探究1.球的表面积与体积公式(1)球的体积设球的半径为R,则球的体积V=πR3.(2)球的表面积设球的半径为R,则球的表面积S=4πR2,即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.
2.几何体的“接”“切”问题(1)几何体的“接”“切”关系:①两个几何体相接是指一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上;②两个几何体相切是指一个几何体的各面与另一个几何体的各面相切.(2)解决几何体相切或相接问题,要利用截面来展现这两个几何体之间的相互关系,从而把空间问题转化为平面问题来解决.(3)常用结论:①若长方体的8个顶点在同一个球面上,则长方体的体对角线是球的直径;若球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长;若球与正方体的12条棱均相切,则球的直径是正方体的面对角线.②若球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径.③若球与圆台的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆台的高.
自我检测(教师备用)1.一个球的大圆面积为9π,则它的表面积和体积分别是()(A)9π,27π(B)9π,36π(C)36π,36π(D)36π,48πC2.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为()(A)R(B)2R(C)3R(D)4RD
B4.若两个球的表面积之比是4∶9,则它们的体积之比是.答案:8∶275.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都等于6,且各顶点都在同一球面上,则此球的表面积等于.答案:84π
题型一球的表面积与体积【例1-1】圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是r,圆柱、圆锥的高都是2r,(1)求圆柱、圆锥、球的体积之比;课堂探究
(2)求圆柱、圆锥、球的表面积之比.
【1-2】已知球的两平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且距离为1,则这个球的表面积为.解析:如图所示,设以r1为半径,O1为圆心的截面圆的面积为5π,以r2为半径,O2为圆心的截面圆的面积为8π,球的半径为R,OO2=x,则O1O2=1.
答案:36π
方法技巧球的表面积和体积仅与球半径有关,因此求球的表面积和体积的问题可转化为求球半径的问题.
即时训练1-1:已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )(A)36π(B)64π(C)144π(D)256π
1-2:用与球心的距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,求这个球的体积与表面积.
题型二由与球相关的三视图计算表面积与体积【例2】(1)某器物的三视图如图所示,根据图中数据可知该器物的体积为()
答案:(1)D
(2)某几何体的三视图如图所示,则其表面积为.答案:(2)3π
变式探究:若将上面(1)中的三视图中的俯视图改成如图的图形,又如何呢?
方法技巧由与球有关的三视图求简单组合体的表面积或体积时,最重要的是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义,根据组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积.
即时训练2-1:(1)一个几何体的三视图(单位:m)如图所示,则该几何体的体积为m3.答案:(1)(18+9π)
(2)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为.
2-2:如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得几何体的表面积是()(A)4π+24(B)4π+32(C)22π(D)12π解析:由三视图可知,该几何体的下方是一个长为2宽为2高为3的长方体,上方是半径为1的球,所以其表面积S表=4π×12+2×2+2×2+4×2×3=32+4π.故选B.
题型三与球相关的“切”“接”问题【例3-1】正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为6,底面边长为4,则该球的表面积为()
【3-2】半球内有一个内接正方体,则这个半球的体积与正方体的体积之比为.
方法技巧解决几何体与球相切或相接的策略:(1)要注意球心的位置,一般情况下,由于球的对称性球心在几何体的特殊位置,比如,几何体的中心或长方体对角线的中点等.(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来计算.
即时训练3-1:已知球面上的四点P,A,B,C,PA,PB,PC的长分别为3,4,5,且这三条线段两两垂直,则这个球的表面积为( )
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