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第5课时 空间几何体的直观图对应学生用书P9 知识点一斜二测画法的概念1．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( )A．直角三角形的直观图仍是直角三角形B．梯形的直观图是平行四边形C．正方形的直观图是菱形D．平行四边形的直观图仍是平行四边形答案 D解析 由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有D正确．2．如下图，在斜二测画法下，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )答案 C解析 C中前者画成斜二测直观图时，底边AB不变，底边AB上的原高h变为，后者画成斜二测直观图时，边AB上的高OC不变，边AB变为原来的，这两个三角形不是全等三角形．知识点二有关计算问题
3．已知正三角形ABC的边长为4，那么水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′的面积为( )A．4B．2C．4D．答案 D解析 解法一：根据题意，建立如图①所示的平面直角坐标系，再根据斜二测画法画出其直观图，如图②所示．易知，A′B′＝AB＝4，O′C′＝OC＝，作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝O′C′＝，所以S△A′B′C′＝·A′B′·C′D′＝×4×＝，故选D．解法二：通过斜二测画法画出的三角形的直观图的面积与原三角形的面积之比为∶1，因为S△ABC＝×42＝4，所以S△A′B′C′＝S△ABC＝．故选D．4．如图，梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图，若A1D1∥y′轴，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝1，则梯形ABCD的面积是( )A．10B．5C．5D．10答案 B解析 斜二测画法下的梯形的面积S＝×(2＋3)×1×sin45°＝，根据＝，得S梯形ABCD＝×2＝5，故选B．知识点三空间几何体的直观图画法
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图是( )答案 B解析 A项中几何体的正视图与所给三视图不符，排除A；C项中俯视图与所给三视图不符，排除C；D项中几何体的侧视图与所给三视图不符，排除D；经验证，B项中几何体的正视图、侧视图、俯视图与题中所给三视图均符合．故选B．6．有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3cm，高为5cm，画出这个正六棱锥的直观图．解 (1)先画出边长为3cm的正六边形水平放置的直观图，如图①所示．(2)过正六边形的中心O′建立z′轴，画出正六棱锥的顶点V′，如图②所示．(3)连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示．(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．
对应学生用书P10 一、选择题1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )A．原来相交的仍相交B．原来垂直的仍垂直C．原来平行的仍平行D．原来共点的仍共点答案 B解析 根据斜二侧画法，原来垂直的未必垂直．2．已知正方体被过其中一面的对角线和它对面相邻两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的正(主)视图与俯视图如下，则它的侧(左)视图是( )答案 A解析 由题意可知截取三棱台后的几何体是七面体，侧视图中前、后平面是线段，上、下平面也是线段，轮廓是正方形，斜线是虚线，侧视图为．故选A．3．如下图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )A．8cmB．6cmC．2(1＋)cmD．2(1＋)cm答案 A
解析 根据直观图的画法，原几何图形如右图所示，四边形OABC为平行四边形，OB＝2，OA＝1，AB＝3，从而原图的周长为8cm．4．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A．＋B．1＋C．1＋D．2＋答案 D解析 等腰梯形A′B′C′D′为水平放置的原平面图形的直观图，作D′E′∥A′B′交B′C′于点E′，由斜二测直观图的画法规则，等腰梯形A′B′C′D′的原平面图形为直角梯形ABCD，如右图，且AB＝2，BC＝1＋，AD＝1，即S梯形ABCD＝2＋．5．如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′＝4，A′B′∥y′，且△ABO的面积为16，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为( )A．2B．C．16D．1答案 A解析 因为A′B′∥y′轴，所以在△ABO中，AB⊥OB．又△ABO的面积为16，所以
AB·OB＝16．所以AB＝8，所以A′B′＝4．如图，作A′C′⊥O′B′于点C′，所以B′C′＝A′C′，所以A′C′的长为4sin45°＝2．二、填空题6．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________．答案 36解析 在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝3，所以原平面图形为一边长为6，高为6的平行四边形，所以其面积为6×6＝36．7．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于________．答案 2解析 由三视图可知，这是一个三棱柱，内切球在正视图的投影是正视图的内切圆，设其半径为r．根据三角形的面积公式有×(6＋8＋10)r＝×6×8，解得r＝2．8．等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．答案 解析 如图：
作C′H′⊥A′B′．S梯形A′B′C′D′＝(A′B′＋C′D′)·C′H′＝(AB＋CD)··＝(1＋3)·＝．三、解答题9．如图，△O′B′C′是水平放置的三角形OBC的斜二测画法的直观图，其中O′B′＝B′C′＝4，∠O′B′C′＝45°．(1)试画出原三角形OBC；(2)求△OBC与△O′B′C′的面积比．解 (1)过C′作y′轴的平行线交x′轴于D′，则C′D′＝C′B′＝4．画直角坐标系xOy，在x轴上取OB＝O′B′＝4，取OD＝O′D′，过D作y轴的平行线，并截取DC＝2C′D′＝8，连接OC，BC，得△OBC．(2)S△OBC＝·OB·DC＝×4×8＝16，S△O′B′C′＝·O′B′·B′C′sin45°
＝×4×4×＝4，∴＝＝2．10．(1)已知一个等腰梯形的上底和腰均为，且一个底角为45°，求这个图形的直观图的面积；(2)已知一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为的等腰梯形，求原四边形的面积．解 (1)如图，四边形ABCD为等腰梯形，其中AD＝DC＝，∠DAB＝45°，过D作DH⊥AB，交AB于H点，则DH＝AH＝1，∴AB＝＋2，建立如图所示的直角坐标系及对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，画出其直观图梯形A′B′C′D′，则A′B′＝AB＝＋2，C′D′＝，D′H′＝，h′＝D′H′·sin45°＝，∴S梯形A′B′C′D′＝＝．(2)如图是四边形的直观图，则A′B′＝＋cos45°×2＝2＋，A′D′＝，D′C′＝，则其对应的原四边形为直角梯形，如下图所示，
∴AB＝A′B′＝2＋，DC＝，AD＝2A′D′＝2，∴S梯形ABCD＝＝4＋2．
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