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课时作业(二十三) 几类不同增长的函数模型A组 基础巩固1．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)C．y＝D．y＝0.2＋log16x解析：用排除法，当x＝1时，否定B项；当x＝2时，否定D项，当x＝3时，否定A项．答案：C2．某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x年后绿地面积是今年的y倍，则函数y＝f(x)的大致图象是( )A BC D解析：设今年绿地面积为m，则有my＝(1＋10%)xm，∴y＝1.1x，故选D.答案：D3．某种动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，到第7年它们发展到( )A．300只B．400只C．500只D．600只解析：由题设知100＝alog22＝a，所以x＝7时，y＝100log28＝300.答案：A4.四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x
，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2xD．f4(x)＝2x解析：由于指数函数f4(x)＝2x变化最快，故D选项符合题意．答案：D5.据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )A．y＝0.9B．y＝(1－0.1)mC．y＝0.9mD．y＝(1－0.150x)m解析：由题意可知，经过x年后湖水量y与x的函数关系为y＝0.9m.答案：C6．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为( )A．2B．6C．8D．10解析：依题意有(100－10x)×70×≥112.∴2≤x≤8.答案：A7．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A．15B．40C．25D．130解析：令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．故拟录用人数为25人．答案：C8．若a＞1，n＞0，那么当n足够大时，ax，xn，logax的大小关系是__________．答案：ax＞xn＞logax9．如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)通话2分钟，需付电话费__________元；(2)通话5分钟，需付电话费__________元；(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为__________．解析：(1)由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．(2)由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．(3)当t≥3时，y关于t
的图象是一条直线，且经过(3,3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y＝kt＋b，则解得故电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为y＝1.2t(t≥3)．答案：(1)3.6 (2)6 (3)y＝1.2t(t≥3)10．函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图．(1)指出曲线C1，C2分别对应图中哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)f(x)．B组 能力提升11．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)＝(i＝1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x.如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( )A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝2xC．f3(x)＝log2xD．f4(x)＝2x解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大，故选D.答案：D12．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．解析：当t＝0.5时，y＝2，∴2＝ek，∴k＝2ln2.∴y＝e2tln2.当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024.答案：2ln2 102413．如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：(1)骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1h；(2)骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；(3)骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者；(4)骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样．其中正确信息的序号是________．解析：看时间轴易知(1)正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是上线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此(2)正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故(3)正确，(4)错误．答案：(1)(2)(3)14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t
的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题．(1)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．解析：(1)∵药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y与时间t成正比，∴设y＝kt，代入点(0.1,1)，得k＝10，∴y＝10t(0≤t≤0.1)．同理，将点(0.1,1)代入解析式y＝t－a，得a＝0.1，综上可知y＝(2)令y＝0.25，解得t1＝0.025，t2＝0.6，∴从药物释放开始，至少需要0.6小时后，学生才能回到教室．15.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解析：(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题给公式可得：0＝5log2，解得Q＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q＝80代入题给公式得：v＝5log2＝5log28＝15(m/s)．即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15m/s.
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