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【成才之路】2014高中数学3-2-1几类不同增长的函数模型能力强化提升新人教A版必修1一、选择题1．函数y1＝2x与y2＝x2，当x＞0时，图象的交点个数是( )A．0 B．1C．2D．3[答案] C2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )A．y＝50(x∈Z)B．y＝1000xC．y＝0.4·2x－1D．y＝·ex[答案] D[解析] 指数函数增长速度最快，且e>2，因而ex增长最快．3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为( )A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝2xD．y＝2x[答案] A[解析] y＝2×2x＝2x＋1.4．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数[答案] D[解析] 由对数函数图象特征即可得到答案．5．如果寄信时的收费方式如下：每封信不超过20g付邮费0.80元，超过20g而不超过40g付邮费1.60元，依此类推，每增加20g需增加邮0.80元(信的质量在100g以内)．某人所寄一封信的质量为72.5g，那么他应付邮费( )A．3.20元B．2.90元C．2.80元D．2.40元[答案] A5
[解析] 由题意，得20×31，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是________________．[答案] ax>xn>logax三、解答题13．甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到如下两图．5
甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条．乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年30个减少到第6个10个．请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；(2)哪一年的规模(即总产量)最大？说明理由．[解析] (1)由题意，得图1中的直线经过(1,1)和(6,2)两点，从而求得其解析式为y1＝0.2x＋0.8，图2中的直线经过(1,30)和(6,10)两点．从而求得其解析式为y2＝－4x＋34.则当x＝2时，y1＝0.2×2＋0.8＝1.2，y2＝－4×2＋34＝26，y1×y2＝1.2×26＝31.2，所以第2年全县有鱼池26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条．(2)设当第m年时，出产量为n，那么n＝y1·y2＝(0.2m＋0.8)(－4m＋34)＝－0.8m2＋3.6m＋27.2＝－0.8(m2－4.5m－34)＝－0.8(m－2.25)2＋31.25，所以当m＝2时，n有最大值为31.2，即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万条．14．试比较函数y＝x200，y＝ex，y＝lgx的增长差异．[解析] 增长最慢的是y＝lgx，由图象(图略)可知随着x的增大，它几乎平行于x轴；当x较小时，y＝x200要比y＝ex增长得快；当x较大(如x>1000)时，y＝ex要比y＝x200增长得快．15．某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？[解析] 借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．16．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝x5
的图象如下图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，e，a，b，c，d为分界点)．[解析] 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝lnx＋1.由题图知，当xh(x)>g(x)；当1h(x)；当eh(x)；当af(x)；当bf(x)；当cg(x)；当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．5
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