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1.3.2 奇偶性1．函数奇偶性的概念谈重点对函数奇偶性的理解 (1)定义是判断或讨论函数的奇偶性的依据，由定义知，若x是函数定义域中的一个数值，则－x也必然在该定义域中．因此，函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称．换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性，即这个函数是非奇非偶函数．(2)函数的奇偶性与单调性的差异．奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势．奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇(偶)函数．(3)若奇函数在原点处有定义，则有f(0)＝0．(4)函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．若f(－x)＝f(x)，且f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)既是奇函数又是偶函数，此时f(x)＝－f(x)，即f(x)＝0．因此既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即f(x)＝0，xD，D是关于原点对称的实数集．【例1－1】函数f(x)＝，x(0,1)的奇偶性是( )A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数解析：因为函数f(x)＝，x(0,1)的定义域是(0,1)，不关于原点对称，所以函数f(x)是非奇非偶函数．答案：C【例1－2】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝3，则f(－2)等于( )A．3B．2C．－2D．－3解析：由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－2)＝－f(2)＝－3．答案：D【例1－3】下列说法正确的是( )A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数D．若函数f(x)的定义域为R，且f(0)＝0，则f(x)是奇函数
解析：奇偶函数的定义域一定关于原点对称，但定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如y＝x＋1．由此可判断A、C项错误，B项正确．奇函数若在原点处有定义，则f(0)＝0，反之不一定成立，如y＝x2，因此D项错误．故选B．答案：B2．奇偶函数图象的特点(1)偶函数图象的特点如果一个函数是偶函数，那么它的图象关于y轴对称；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．(2)奇函数图象的特点如果一个函数是奇函数，那么它的图象关于原点对称；反之，若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数．析规律奇偶函数图象的作用 由于偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，因而在研究这类函数的性质时，只需通过研究函数在(－∞，0](或[0，＋∞))上的情形，便可推断出函数在整个定义域上的情形．【例2－1】判断下列函数的奇偶性．解：对于(1)，函数图象不关于原点成中心对称，也不关于y轴对称，故此函数不具有奇偶性．对于(2)，函数图象关于y轴对称，此函数为偶函数．对于(3)，函数图象关于原点成中心对称，此函数为奇函数．对于(4)，函数图象关于y轴对称，此函数为偶函数．【例2－2】如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．分析：(方法一)(方法二)
解：(方法一)∵函数f(x)是偶函数，∴其图象关于y轴对称，如图．由图象可知f(1)＜f(3)．(方法二)由图象可知f(－1)＜f(－3)．∵函数y＝f(x)是偶函数，∴f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)．∴f(1)＜f(3)．【例2－3】设奇函数f(x)的定义域是[－2,2]且图象的一部分如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是__________．解析：由于f(x)是奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，补全其图象，如图所示．从图上可以看出f(x)＜0的解集是(－1,0)(1,2)．答案：(－1,0)(1,2)3．函数奇偶性的判断方法(1)定义法利用定义判断函数f(x)的奇偶性主要分三步进行：①求函数f(x)的定义域，判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；②结合函数f(x)的定义域，化简函数f(x)的解析式；③求f(－x)，可根据f(－x)与f(x)之间的关系，判断函数f(x)的奇偶性：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数；若f(－x)≠±f(x)，则f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．(2)图象法其步骤是：①画出函数f(x)的图象；②判断函数图象关于原点或y轴是否对称；③
如果图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数；如果图象关于原点和y轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果图象关于原点和y轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数．(3)性质法①偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③两个奇函数的积、商(分母不为0)为偶函数；④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．注：常见函数的奇偶性函数奇偶性一次函数y＝kx＋b(k≠0)b＝0时是奇函数；b≠0时既不是奇函数又不是偶函数反比例函数y＝(k≠0)奇函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)b＝0时是偶函数；b≠0时既不是奇函数又不是偶函数【例3－1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x3－2x；(3)f(x)＝x2＋1；(4)f(x)＝．解：(1)函数的定义域为(－∞，－1)(－1，＋∞)不关于原点对称，故函数f(x)既不是奇函数，又不是偶函数．(2)函数的定义域为R．[来源:www.shulihua.net]∵f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－(x3－2x)＝－f(x)，∴函数f(x)＝x3－2x是奇函数．(3)函数的定义域为R．(方法一)∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，∴函数f(x)＝x2＋1是偶函数．(方法二)画出y＝x2＋1的图象如图，由图可知其图象关于y轴对称．故函数f(x)＝x2＋1是偶函数．(4)∵函数的定义域为{－1,1}且f(x)＝0，f(－1)＝0，f(1)＝0，∴f(－1)＝f(1)且f(－1)＝－f(1)．∴函数f(x)＝既是奇函数，又是偶函数．谈重点判断函数奇偶性时易忽略定义域优先的原则 本题(1)易错解为：f(x)＝＝2x，f(－x)＝－2x＝－f(x)，则函数f(x)＝是奇函数，其原因是没有讨论函数的定义域．避免出现此类错误的方法是讨论函数的奇偶性要遵守定义域优先的原则．[来源:www.shulihua.net]【例3－2】函数f(x)，g(x)在区间[－a，a]上都是奇函数，有下列结论：①f(x)＋g(x)在区间[－a，a]上是奇函数；②f(x)－g(x)在区间[－a，a]上是奇函数；③f(x)·g(x)在区间[－a，a]上是偶函数．
其中正确结论的个数是( )A．1B．2 C．3D．0答案：C【例3－3】求证：y＝x2＋的图象关于y轴对称．分析：转化为证明函数f(x)是偶函数．证明：函数f(x)的定义域是(－∞，0)(0，＋∞)，定义域关于原点对称．∵f(－x)＝(－x)2＋＝x2＋＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．∴函数f(x)的图象关于y轴对称．【例3－4】判断f(x)＝|x＋a|－|x－a|(aR)的奇偶性．分析：对a进行分类讨论．解：若a＝0，则f(x)＝|x|－|x|＝0．∵xR，定义域R关于原点对称，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．当a≠0时，∵f(－x)＝|－x＋a|－|－x－a|＝|x－a|－|x＋a|＝－(|x＋a|－|x－a|)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．综上，当a＝0时，函数f(x)既是奇函数，又是偶函数；当a≠0时，函数f(x)是奇函数．4．分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(－x)与f(x)的关系．首先要特别注意的是x与－x的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，f(x)与f(－x)对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．例如：判断函数f(x)＝的奇偶性．解：函数的定义域是(－∞，0](0，＋∞)＝R．∵当x＞0时，有f(x)＝x(x－1)，－x＜0，∴f(－x)＝－(－x)·(－x＋1)＝x(1－x)＝－x(x－1)＝－f(x)．当x＜0时，有f(x)＝－x(x＋1)，－x＞0，∴f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)＝－f(x)．当x＝0时，f(0)＝0，f(－0)＝0＝－f(0)．∴对xR，均有f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．【例4－1】判断函数f(x)＝的奇偶性．解法一：函数的定义域为(－∞，0)(0，＋∞)，当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2－1＝＝－f(x)．当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋1＝＋1＝＝－f(x)．综上所述，在(－∞，0)(0，＋∞)上总有f(－x)＝－f(x)．因此函数f(x)是奇函数．解法二：作出函数的图象，如图所示．
函数的图象关于原点对称，所以是奇函数．点技巧分段函数奇偶性的判断技巧 (1)分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判断函数的奇偶性，否则该分段函数既不是奇函数也不是偶函数；(2)若能画出分段函数的图象，利用图象的对称性去判断分段函数的奇偶性，是一种非常不错的方法．【例4－2】已知函数f(x)＝是奇函数，则m＝__________．解析：∵当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x．∴f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx．∴m＝2．答案：25．抽象函数奇偶性的判断对于抽象函数奇偶性的判断，由于无具体的解析式，要充分利用给定的函数方程关系式，对变量进行赋值，使其变为含有f(x)，f(－x)的式子．再利用奇偶性的定义加以判断．例如，函数f(x)，xR，若对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数．分析：为了使等式中出现f(x)和f(－x)，可以令a＝x，b＝－x，则等式变为f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，即有f(x)＋f(－x)＝f(0)．要弄清f(x)与f(－x)的关系，必须求出f(0)．令a＝b＝0，则有f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0．于是f(x)＋f(－x)＝0．这样可以得出f(x)是奇函数．【例5－1】函数f(x)，xR，且f(x)不恒为0．若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数．证明：令x1＝0，x2＝x，则得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)．①又令x1＝x，x2＝0，得f(x)＋f(x)＝2f(x)f(0)．②由①②得f(－x)＝f(x)．故f(x)是偶函数．【例5－2】求证：定义域为R的任何函数f(x)都可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和．[来源:www.shulihua.net]分析：本题主要考查抽象函数的奇偶性，解决本题的关键是如何根据已知的f(x)构造出一个偶函数和一个奇函数，使其和等于f(x)．证明：设F(x)＝，G(x)＝，则F(－x)＝＝F(x)，G(－x)＝＝－G(x)，因此F(x)和G(x)分别是偶函数和奇函数．又∵f(x)＝F(x)＋G(x)，
∴f(x)可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和．6．利用函数的奇偶性求函数解析式奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．当函数f(x)具有奇偶性时，已知函数f(x)在y轴一侧的解析式，就可得到在y轴另一侧的解析式，具体做法如下：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内；(2)要利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)；(4)若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0．若做选择题或填空题还可以采用如下办法：(1)直接代换法：若图象关于原点对称，只需把原函数中的x和y分别换成“－x”和“－y”；若图象关于y轴对称，只需把原函数中的x变为“－x”即可．(2)特殊点对称法：在函数y＝f(x)的图象上找若干个(个数视y＝f(x)的形式而定)特殊点(a，f(a))，(b，f(b))，…，若y＝f(x)为奇函数，则(－a，－f(a))，(－b，－f(b))，…一定在另一半图象上；若y＝f(x)是偶函数，则(－a，f(a))，(－b，f(b))，…也一定在另一半图象上．设出其解析式，利用待定系数法求解．【例6－1】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x(0，＋∞)时，f(x)＝__________．解析：(方法一)由于是填空题，故可采用直接代换法，将x用－x代替，即可得答案为－x－x4．(方法二)设x(0，＋∞)，则－x(－∞，0)，则f(－x)＝－x－(－x)4＝－x－x4．又∵y＝f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)，x(0，＋∞)，从而在区间(0，＋∞)上的函数表达式为f(x)＝－x－x4．答案：－x－x4【例6－2】若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)的解析式．分析：解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝－x(2＋x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(x＋2)．故f(x)＝【例6－3】已知f(x)，g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝3x2－x＋1，试求f(x)和g(x)的表达式．解：以－x代替条件等式中的x，则有f(－x)＋g(－x)＝3x2＋x＋1，又f(x)，g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，故－f(x)＋g(x)＝3x2＋x＋1．又f(x)＋g(x)＝3x2－x＋1，联立可得f(x)＝－x，g(x)＝3x2＋1．7．利用函数的奇偶性求参数的值函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质．奇偶函数的定义域关于原点对称，解析式上则有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，利用上述两式的恒成立，可以求得解析式中所含参数的值．例如：已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，求实数a的值．解：由奇函数的定义得f(－x)＝－f(x)，即a(－x)2＋2(－x)＝－(ax2＋2x)，整理得ax2－2x＝－ax2－2x，即2ax2＝0．故a＝0．
【例7－1】若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1,2a]，则a＝__________，b＝__________．解析：∵偶函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝－2a，解得．∴f(x)＝＋bx＋b＋1为二次函数．∵函数f(x)为偶函数，∴对称轴x＝＝0，即b＝0．答案： 0【例7－2】若函数f(x)＝是奇函数，求实数a的值．解：∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝a(－x)2＋(－x)＝ax2－x，∴－f(x)＝ax2－x，即f(x)＝－ax2＋x．又∵x＞0时，f(x)＝－x2＋x，∴－ax2＋x＝－x2＋x．∴a＝1．8．函数的奇偶性与单调性的综合应用(1)函数y＝f(x)的奇偶性与其单调性的关系：①如果函数y＝f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a，b)(0＜a＜b)和(－b，－a)上具有“相同”的单调性．证明：当f(x)在区间(a，b)上是增函数时，设－b＜x1＜x2＜－a，则a＜－x2＜－x1＜b．由于f(x)在区间(a，b)上是增函数，则有f(－x1)＞f(－x2)．又函数y＝f(x)是奇函数，所以－f(x1)＞－f(x2)．所以f(x1)＜f(x2)．所以f(x)在区间(－b，－a)上也是增函数．同理可证，当f(x)在区间(a，b)(0＜a＜b)上是减函数时，f(x)在区间(－b，－a)上也是减函数．综上所得，如果函数y＝f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a，b)和(－b，－a)上具有相同的单调性．②如果函数y＝f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a，b)(0＜a＜b)和(－b，－a)上具有“相反”的单调性．证明略，与(1)的证明类似．(2)利用函数的奇偶性和单调性我们可以解决以下两种问题：①比较大小奇函数、偶函数单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大．对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值化归到同一个单调区间内，然后再根据单调性判断．②解抽象不等式解抽象不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响．(3)两个重要结论
①若f(x)为奇函数且在x＝0处有定义，则必有f(0)＝0．证明：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．令x＝0，则f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝－f(0)．∴f(0)＝0．②若f(x)为偶函数，则必有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．证明：∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)．1°当x≥0时，f(|x|)＝f(x)，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)成立；2°当x＜0时，f(|x|)＝f(－x)，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)成立．综上，f(x)＝f(－x)＝f(|x|)成立．【例8－1】设偶函数f(x)的定义域为R，当x[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)由大到小的关系是__________．解析：利用函数f(x)为R上的偶函数，将f(－2)，f(－3)转化到区间[0，＋∞)上，利用f(x)在此区间上是增函数比较大小．因为f(x)为R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)．又因为当x[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π＞3＞2，所以f(π)＞f(3)＞f(2)，故f(π)＞f(－3)＞f(－2)．答案：f(π)＞f(－3)＞f(－2)【例8－2】已知函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式＜0的解集．解：∵f(1)＝0，∴不等式可转化为＜f(1)．又函数f(x)在(0，＋∞)上递增，∴0＜＜1，解得＜x＜或＜x＜0．又f(x)是奇函数，∴它在对称区间上的单调性相同，且f(－1)＝－f(1)＝0，于是又得＜f(－1)，即＜－1，解得x．∴原不等式的解集是．【例8－3】设定义在区间[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)单调递减，若g(1－m)＜g(m)成立，求m的取值范围．解：∵g(x)是定义在区间[－2,2]上的偶函数，且在区间[0,2]上单调递减，∴g(x)在区间[－2,0]上单调递增．又∵g(1－m)＜g(m)，
∴解得－1≤m＜．【例8－4】函数f(x)＝是定义在区间(－1,1)上的奇函数，且．(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明：f(x)在区间(－1,1)上是增函数；(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)＜0．分析：本题考查通过函数的单调性与奇偶性来确定f(x)的解析式，求a，b的值是解决本题的关键．解：(1)由题意知即解得故f(x)＝．(2)任取－1＜x1＜x2＜1，则x2－x1＞0，f(x2)－f(x1)＝＝．[来源:www.shulihua.net]∵－1＜x1＜x2＜1，∴－1＜x1x2＜1,1－x1x2＞0．于是f(x2)－f(x1)＞0，∴f(x)为区间(－1,1)上的增函数．(3)f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)，∵f(x)在区间(－1,1)上是增函数，∴－1＜t－1＜－t＜1，解得0＜t＜．
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