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集合间的基本关系教学设计教学设计112 集合间的基本关系整体设计教学分析本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集等概念．在安排这部分内容时，本注重体现逻辑思考的方法，如类比等．值得注意的问题：在集合间的关系教学中，建议重视使用Venn图，这有助于学生通过体会直观图示理解抽象概念；随着学习的深入，集合符号越越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如∈
与⊆的区别．三维目标1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力．2．在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想．重点难点教学重点：理解集合间包含与相等的含义．教学难点：理解空集的含义．时安排1时教学过程导入新思路1实数有相等、大小关系，如＝,＜7,＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言，教师不要急于作出判断，而是继续引导学生)欲知谁正确，让我们一起观察、研探．思路2复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填空：(1)0____N；(2)2____Q；(3)－1____R类比实数的大小关系，如＜7,2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(答案：(1)∈；(2)；(3)∈)推进新新知探究提出问题(1)观察下面几个例子：①A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，}；②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；③设＝{x|x是两条边相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}；④
E＝{2,4,6}，F＝{6,4,2}．你能发现两个集合间有什么关系吗？(2)例子①中集合A是集合B的子集，例子④中集合E是集合F的子集，同样是子集，有什么区别？(3)结合例子④，类比实数中的结论：“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，在集合中，你发现了什么结论？(4)升国旗时，每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内，从楼顶向下看，每位同学是哪个班的，一目了然．试想一下，根据从楼顶向下看到的，要想直观表示集合，联想集合还能用什么表示？()试用Venn图表示例子①中集合A和集合B(6)已知A⊆B，试用Venn图表示集合A和B的关系．(7)任何方程的解都能组成集合，那么x2＋1＝0的实数根也能组成集合，你能用Venn图表示这个集合吗？(8)一座房子内没有任何东西，我们称为这座房子是空房子，那么一个集合没有任何元素，应该如何命名呢？(9)与实数中的结论“若a≥b，且b≥，则a≥”相类比，在集合中，你能得出什么结论？活动：教师从以下方面引导学生：(1)观察两个集合间元素的特点．(2)从它们含有的元素间的关系考虑．规定：如果A⊆B，但存在x∈B，且xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB(或B
A)．(3)实数中的“≤”类比集合中的⊆(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的，学生看成集合中的元素，从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内．教师指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．()封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等，没有限制．(6)分类讨论：当A⊆B时，AB或A＝B(7)方程x2＋1＝0没有实数解．(8)空集记为，并规定：空集是任何集合的子集，即⊆A；空集是任何非空集合的真子集，即A(A≠)．(9)类比子集．讨论结果：(1)①集合A中的元素都在集合B中；②集合A中的元素都在集合B中；③集合中的元素都在集合D中；④集合E中的元素都在集合F中．(2)例子①中A⊆B，但有一个元素4∈B，且4A；而例子④中集合E和集合
F中的元素完全相同．(3)若A⊆B，且B⊆A，则A＝B(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部表示集合．()如图1所示表示集合A，如图2所示表示集合B图1图2(6)如图3和图4所示．图3图4(7)不能．因为方程x2＋1＝0没有实数解．(8)空集．(9)若A⊆B，B⊆，则A⊆；若AB，B，则A应用示例思路1例1某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时，该产品才合格．若用A表示合格产品的集合，B表示重量合格的产品的集合，表示长度合格的产品的集合．已知集合A，B，均不是空集．(1)则下列包含关系哪些成立？A⊆B，B⊆A，A⊆，⊆A(2)试用Venn图表示集合A，B，间的关系．活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式．当集合A中的元素都属于集合B时，则A⊆B成立，否则A⊆B不成立．用相同的方法判断其他包含关系是否成立．教师提示学生注意以下两点：(1)重量合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定重量合格；长度合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定长度合格．(2)根据集合A，B，间的关系画出Ven
n图．解：(1)包含关系成立的有：A⊆B，A⊆(2)集合A，B，间的关系用Venn图表示，如图所示．图[:Zxx]变式训练本本节练习3点评：本题主要考查集合间的包含关系．其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么．判断两个集合A，B之间是否有包含关系的步骤是：先明确集合A，B中的元素，再分析集合A，B中的元素之间的关系，得：集合A中的元素都属于集合B时，有A⊆B；当集合A中的元素都属于集合B，集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有AB；当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素也都属于集合A时，有A＝B；当集合A中至少有一个元素不属于集合B，并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时，有AB，且BA，即集合A，B互不包含例2写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．活动：学生思考子集和真子集的定义，教师提示学生空集是任何集合的子集，一个集合不是其本身的真子集．按集合{a，b}的子集所含元素的个数分类讨论．解：集合{a，b}的所有子集为，{a}，{b}，{a，b}．真子集为
，{a}，{b}变式训练已知集合P＝{1,2}，那么满足Q⊆P的集合Q的个数是( )A．4 B．3 ．2 ．1解析：集合P＝{1,2}含有2个元素，其子集有22＝4个，又集合Q⊆P，所以集合Q有4个．答案：A点评：本题主要考查子集和真子集的概念，以及分类讨论的思想．通常按子集中所含元素的个数写出一个集合的所有子集，这样可以避免重复和遗漏．思考：集合A中含有n个元素，那么集合A有多少个子集？多少个真子集？解：当n＝0时，即空集的子集为，即子集的个数是1＝20；当n＝1时，即含有一个元素的集合如{a}的子集为，{a}，即子集的个数是2＝21；当n＝2时，即含有两个元素的集合如{a，b}的子集为，{a}，{b}，{a，b}，即子集的个数是4＝22…集合A中含有n个元素，那么集合A有2n个子集，由于一个集合不是其本身的真子集，所以集合A有(2n－1)个真子集思路2例1已知集合A＝{－1,3,2－1}，集合B＝{3，2}．若B⊆A，则实数＝________活动：先让学生思考B⊆A的含义，根据B⊆A，知集合B中的元素都属于集合A，由集合元素的互异性，列出方程求实数的值．因为B⊆A，所以3∈A，2∈A对2的值分类讨论．解析：∵B⊆A，∴3∈A，2∈A∴2＝－1(舍去)或2＝2－1解得＝1∴
＝1答案：1[:学科网ZXX]点评：本题主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互异性．本题容易出现2＝3，其原因是忽视了集合元素的互异性．避免此类错误的方法是解得的值后，再代入验证．讨论两集合之间的关系时，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解方程或解不等式变式训练已知集合＝{x|2－x＜0}，集合N＝{x|ax＝1}，若N，求实数a的取值范围．分析：集合N是关于x的方程ax＝1的解集，集合＝{x|x＞2}≠，由于N，则N＝或N≠，要对集合N是否为空集分类讨论．解：由题意得＝{x|x＞2}≠，则N＝或N≠当N＝时，关于x的方程ax＝1无解，则有a＝0；当N≠时，关于x的方程ax＝1有解，则a≠0，此时x＝1a，又∵N，∴1a∈∴1a＞2∴0＜a＜12综上所得，实数a的取值范围是a＝0或0＜a＜12，即实数a的取值范围是a0≤a或＋1≤2－1，2－1
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