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第二章基本初等函数课题：§2.2.5对数函数及其性质（3）一、学习目标（1）理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对函数的模型化思想的理解．（2）通过作图，体会两种函数的单调性的异同．（3）对体会指数函数与对数函数内在的对称统一．二、重点：难两种函数的内在联系，反函数的概念。三、难点：反函数的概念．四、教学思路设计：问题发现法。五、过程设计：（A班为竞赛班，B班为实验班，C班为基础班）时间问题情景与设计意图教师活动学生活动约6分钟材料一：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：（1）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（2）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（3）这两个函数有什么特殊的关系？（4）用映射的观点来解释P和t之间的对应关系是何种对应关系？（5）由此你能获得怎样的启示？引导学生分析归纳，总结概括得出结论：（1）P和t之间的对应关系是一一对应；（2）P关于t是指数函数；t关于P是对数函数，它们的底数相同，所描述的都是碳14的衰变过程中，碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系；（3）本问题中的同底数的指数函数和对数函数，是描述同一种关系（碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系）的不同数学模型．独立思考完成，讨论展示并分析自己的结果．A班约10分钟B班约12分钟C班约14分钟材料二：由对数函数的定义可知，对数函数是把指数函数中的自变量与因变量对调位置而得出的，在列表画的图象时，也是把指数函数的对应值表里的和的数值对换，而得到对数函数的对应值表，如下：表一．…-3-2-10123……1248…表二．…-3-2-10123…引导学生分析，讲评得出结论，进而引出反函数的概念．仿照材料一分析：与的关系．高一数学Page26/26/2021
第二章基本初等函数…1248…在同一坐标系中，用描点法画出图象．A班约10分钟B班约12分钟C班约14分钟a.反函数的概念：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对数函数互为反函数．b.以与为例研究互为反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联系？说明：（1）互为反函数的两个函数是定义域、值域相互交换，对应法则互逆的两个函数；（2）由反函数的概念可知“单调函数一定有反函数”；（3）互为反函数的两个函数是描述同一变化过程中两个变量关系的不同数学模型．引导学生探索研究b．分组讨论b，选出代表阐述各自的结论，师生共同评析归纳．约4分钟求下列函数的反函数：（1）；（2）巡视辅导独立完成5从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数函数的定义、图象、性质作一小结．提示、引导尝试总结B班6A班10我们知道，指数函数，且与对数函数，且互为反函数，那么，它们的图象有什么关系呢？运用所学的数学知识，探索下面几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！问题1在同一平面直角坐标系中，画出指数函数及其反函数的图象，你能发现这两个函数的图象有什么特殊的对称性吗？问题2取图象上的几个点，说出它们关于直线的对称点的坐标，并判断它们是否在的图象上，为什么？问题3如果P0（x0，y0）在函数的图象上，那么P0关于直线的对称点在函数的图象上吗，为什么？问题4由上述探究过程可以得到什么结论？问题5上述结论对于指数函数，且及其反函数，且也成立吗？为什么？教师巡视辅导；学生练习、讨论B教师给出结论：互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．ABC2布置作业：A创新作业§2.2.4教学反思高一数学Page26/26/2021
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