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悬崖跳水安全保障问题摘要本文研究了悬崖跳水安全保障问题，从理论分析与计算的角度探讨水池深度的设定问题，以及跳水运动员脚先入水、还是头先入水，通过建立物理模型，运用物理学、理论力学知识，结合微分方程学方法进行求解。对于问题一：在运动员从空中掉下撞击水面时，水给运动员的抨击力就等于运动员给水面的撞击力，运动员刚接触水面的瞬间，受到竖直向下的重力以及竖直向上的水的阻力。运动员给水的撞击力就是水给运动员的阻力与自身重力之利即F（撞严吨+/水，再根据收集的人体头部与脚部所能承受的压力对比，得岀脚先着水。对于问题二：木文将建立物理模型，将跳水运动员看作圆柱形，用物理动力学理论，将跳水运动看做三个物理过程：1、运动员从跳台至水血过程；2、运动员由水而直金完全进入中的过程；3、运动员由水中直至水池底部的过程。三类过程分别建立动态方程，结合微分方程学求解。最后应用软件绘图展示结果，通过计算得出：男子安全水池深度为17.0558m,女子水池深度为15.0349m。对于问题三：根据物理质量公式，结合运动员悬崖跳水三个貝体物理运动的方程进行分析，得出高度、底而积与质量Z间的联系，从而判断体重不同者与水池深度大小的关系，得到结果：体重越大的人跳水时需要更深的水。关键词：物理动力学；微分方程；MATLAB软件；空气动力学;牛顿第二定律
1问题重述近年來世界上新兴一种跳水比赛叫红牛悬崖跳水世界杯比赛。在这种比赛中运动员从高空悬崖跳下来，身体在重力的作用下快速自由下落。比赛规定男子跳台高度为23至28米，女子为18至23米。我国福建连城的冠务山就举行过这样的比赛，那里的跳台高度是男子28米，女子20米。我们把运动员看成圆柱形，在下落过程中，运动员还未落水之前受到重力和空气阻力的作用，作加速度减小的的加速运动；入水后运动员的身体受到水的阻力与浮力作用，而抵消身体的重力作用，使运动员在水中做减速运动，直至速度达到安全速度。为了保证运动员的人身安全，确定运动员是头先入水还是脚先入水很重要，同时水池建立必须有足够的深度，另一方面，尽量节约水池建设的成本可避免无意义的浪费。所以水池深度设定必须在满足不造成运动员人身伤害的同时达到最低成木消耗的要求。问题一：计算、分析并回答，悬崖跳水选手是脚先入水，还是头先入水。问题二：跳台卜•面的水池跳水要多深才能安全，请大家分两种情况给以计算：（1）在悬崖到水而Z间，考虑空气阻力；（2）在悬崖到水面之间，不考虑空气阻力；问题三：分别就上述两种情况分析两个体重不同的人跳水吋哪个需要更深的水。2模型假设1、跳水运动员跳水状态形似圆柱形下落，质量分布均匀，其中跳水运动员的高度即圆柱形高度，人体的肩宽即圆柱形直径（如下图示）；2、忽略跳水运动员的蹬板过程；3、跳水运动员下落时身体笔直，速度方向垂直向下；4^水速为零，落水时不影响运动员垂直向卜•的速度；5、人水短暂碰撞过程没冇能量损失；6、男女跳水运动员身高、质量及肩宽符合20-25岁跳水运动员国际标准。
7、运动员在水中的安全速度为2m/s,此时的深度为安全深度零界;8、人的平均密度和水的密度相等，即°人二°水。3符号说明编号符号意义说明1跳台距水面的高度（i=l或2）2%运动员的身高（i二1或2）3运动员完全入水后脚底与水池底部的深度（1=1或CX4h人的脚底（岡柱底部）与水面距离51L物体相对应的特征长度即人的高度H6人体的一半肩宽（圆柱半径）7X运动员在跳板至水面段的时间7H；水池深度（i=l或2）8g人体质量9P流体的密度11流体粘滞系数12f流体阻力13V；男运动员落体瞬时速度（i二1,2,3）14V.'女运动员落体瞬时速度（i=l,2,3）15Re雷诺系数16Cd阻力系数17g重力加速度（g二9.8m/s）18a运动员在空中时的加速度19F浮水屮受到的浮力4模型分析悬崖跳水运动涉及的为物理动力学问题。本文需计算分析悬崖跳水运动员是脚先入水，还是头先入水、水池深度的设定问题及考虑不同质量的运动员对水池深度设定的影响。水池深度设定需要在满足不造成运动员人身伤害的情况下同时达到消耗最低成木的耍求。设定男子跳台的最高高度为28米，女子跳台的最高
高度为20米。问题一：在运动员撞击水面时，水给运动员的抨击力就等于运动员给水面的撞击力，运动员刚接触水面前的一瞬间，受到竖直向卜•的重力以及竖直向上的空气阻力。运动员给水的撞击力就是自身的重力加上速度所产生的冲击力，即F(拯严吨+.f水,再根据收集的人体头部与脚部所能承受的压力对比，所能承受压力大的作为先落水的部位。问题二：根据空气运动学定理，运动员在空气中的阻力和速度二次方成正比。由于跳台高度一定，运动员落水过程做变加速度运动，到达水面时速度最大，整个过程符合了能量守恒定律。(1)在考虑空气阻力的情况下：将悬崖跳水运动的物理过程细化为以下三个过程：跳台至水面过程：运动员从跳台跳下，在空屮完成动作后落入水屮。在这个过程中运动员受到竖直向下的重力与竖直向上的空气阻力影响，重力为恒定不变的，空气阻力随速度的增大而逐渐增大。运动员在空屮做加速度减小，速度增大的加速运动，当到达水面时速度达到最大，此时空气阻力也达到最人，整个过程符合了能量守恒定律。刚进入水面至完全入水之前过程：运动员以最大速度，身体笔直入水，在这个过程中运动员进入水中的部分身体受到水的竖直向上的浮力和阻力作用，整个身体受到竖直向下的重力作用，此时运动员做加速度增大的减速运动。由于入水身休高度为变化的，所以在计算时需考虑动态求浮力与阻力。完全入水至水池底部过程：运动员身体全部进入水中后，做加速度增大的减速运动直至速度减为安全速度时达到水池底部。在此过程中，运动员受到竖直向上的水的浮力、阻力和竖直向下的重力作用，重力与浮力为恒定的，水的阻力随着运动员速度的减小而逐渐减小，由于人的密度近似于水的密度，可把人的密度看做和水的密度相等。(2)在不考虑空气阻力的情况下：将悬崖跳水运动的物理过程具体化为以下三个过程。跳台至水面过程：运动员从跳台跳下，在空中完成动作后落入水中。在这个过程屮只受到竖直向下的重力影响，重力为恒定不变的，运动员在空屮做加速度增大的加速运动，当到达水面时速度达到最大。刚进入水面至完全入水之前过程：运动员以最大速度，身体笔直入水，在这个过程中运动员进入水中部分身体受到水的竖直向上的浮力和阻力，整个身体受到竖直向下的重力，运动员做加速度极大的减速运动。由于入水身体高度为变化的，所以在计算时需考虑动态求浮力与阻力。
完全入水至水池底部过程：运动员身体全部进入水中，做加速度增大的减速运动直至速度减为安全速度时达到水池底部。在此过程屮，运动员受到竖直向上的水的浮力、阻力和竖直向卜•的重力作用，重力与浮力为恒定的，水的阻力随着运动员速度的减小而逐渐减小。问题三：运动员所受到的重力与他自身的体重有关，若两人体重不同，由于人体密度保持不变，则存在三种情况：人的底面积相同，高度不同；人的高度相同，底面积不同；人的底而积与高度都不同。结合运动员悬崖跳水三个具体物理运动的总方程进行分析，得出高度、底面积与质量之间的联系，从而判断体重不同者的水池深度大小。5模型的建立与求解5.1问题一：1模型建立：撞击时如下图:H图1运动员与水而撞击的瞬间流体阻力:(1)2模型的求解与分析
通过对20-25岁跳水运动员国际标准查询，男女跳水运动员对应跳台高
度、身高、质量及肩宽平均为：Zj=28m,Hx=1.78m,斤=0.35伽m,=75kg；l2=20/71,H2=1.65m,q~0.25加，m2—60£g；水和空气所对应的密度与粘滞系数以及人的密度如下：p水=lxlO3kg/m3,耳水=1.005xl0_3Pas；°气=1.650kg/加'，7/^=1.870x10?Pa-s；P人二P水"xlO'kg/n?带入⑴式中解得珂娜二44909N通过查找资料得出人体头部造成脑震荡的承受能力是4449.2N,而一•个体重75血的运动员与水面的撞击力是44909N,对于该运动员来说，如果头向下与水面接触的话就会造成严重的伤害。当脚向卜•先着水时，只耍运动员把脚尖、脚掌和小腿仲直，保持一条线，这样于水而接触的的受力而积很小，所以就不会造成伤害综上所述：我们认为运动员跳水吋应该脚先着水。5.2问题二：5.2.1考虑空气阻力的情形1模型的建立运动员由跳台至水面的过程:建立运动状态方程：d2lm——dtmg-f气运动员在空气中的阻力的作用，根据流体力学可知。运动员在空气中所的受流体阻力为：19A=尹气as"m-p）、sH整理可得:d2lm—rdt2°dvmg一人n——=ell
2r图2运动员由跳台至水而过程运动员由空中刚入水至完全入水之前的过程:建立运动状态方程：=/水+伶“昭其中水的浮力为:F浮=shpgm=P^sH,p人=/?水整理可得:cPh=/水+伶呵二＞dv_cdvhgg-—
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水面图3运动员从空气至完全入水之前的过程运动员完全入水直至池底的过程：建立运动状态方程：d2L#12i=^cuP^代入可得:(4)图4运动员完全入水肓至池底的过程
2模型的求解与分析（1）运动员曲跳台至水面的过程:当0
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