资料简介
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2020－2021 学年度第一学期期中高中二年级质量测试
数学科试题参考答案
一、填空题：
二、多选题
三、填空题
（13）
−−
2
1
2 xx ． （14）0.（15）6 .（16） ,
4
12 −n
2)1(2 1 +−+ nn
四、解答题:
17（本小题满分 10分）
解：（1）由余弦定理得 ,cos2222 Abccba −+= ……………………………………… 1分
又 ,3222 bcacb +=+
∴ 3cos2 =A …………………………………………… 3分
∴
2
3
cos =A ，又 A为三角形 ABC的内角…………………………………………… 4分
∴
2
1
sin =A …………………………………………… 5分
（2）∵ ABC△ 外接圆的面积为 16 ，设该圆半径为 R
∴R=4 …………………………………………… 6分
∴由正弦定理得： 82
sin
== R
A
a
，…………………………………………… 9分
由(1)得 4=a …………………………………………… 10分
18. （本小题满分 12分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B A C D A B
9 10 11 12
ABC BC ACD ABD
6
解（1）证明：∵ 2 3a = ， 2 12 1a a= + ，∴ 1 1a = ，…………………………………… 1分
由题意得 1 0na + ，
1 1 2 2
2
1 1
n n
n n
a a
a a
+ + +
= =
+ +
，…………………………………… 4分
∴ 1na + 是首项为 2，公比为 2的等比数列. …………………………………… 5分
（2）由（1） 1 2n
na + = ，…………………………………………… 6分
∴ 2 1n
na = − . ……………………………………… 7 分
∴
1
12 2
2 2
1 2
n
n
nS n n
+
+−
= − = − −
−
，…………………………………………… 9 分
∴ ( )12 2 2 2 2 1 0n n
n nn S a n n++ − = + − − − − = ，……………………………… 11分
∴ 2n nn S a+ = ，即 n ， na ， nS 成等差数列.………………………………… 12 分
19. （本小题满分 12分）
解：(1)已知 x＜2，∴x-2＜0. …………………………………………… 1分
∴4
2
1
−
+
x
x 8
2
1
)2(4 +
−
+−=
x
x …………………………………………… 2分
4
2
1
)2(4
−
−−−
x
x ，…………………………………………… 3分
当且仅当
2
1
)2(4
−
−=−−
x
x ，即 x＝
2
3
时等号成立．………………… 4分
4
2
1
)2(4 −
−
+−
x
x …………………………………………… 5分
∴4
2
1
−
+
x
x 48
2
1
)2(4 +
−
+−=
x
x …………………………………… 6分
∴x＜2，求 4
2
1
−
+
x
x 的最大值为 4 …………………………………………… 7分
（2）解： ∵ 54 =++ xyyx ，
∴ xyxyyxxy 44245 =+=− …………………………………………… 8分
当且仅当 x＝4y， 54 =++ xyyx
即
=
=
2
2
1
x
y
时，等号成立。…………………………………………… 9分
∴ 054 −+ xyxy …………………………………………… 11分
∴ 1xy
7
∴xy的最大值为 1 …………………………………………… 12分
20 解：由题意知 ( )5 3 3AB = + 海里，
90 60 30 , 45 ,DBA DAB = − = = …………………………………… 1分
105ADB = …………………………………………… 2分
在 DAB 中，由正弦定理得
sin sin
DB AB
DAB ADB
=
…………………………3分
sin 5(3 3) sin 45 5(3 3) sin 45
sin sin105 sin 45 cos60 sin 60 cos 45
AB DAB
DB
ADB
• + • + •
= = =
• + •
=
5 3(1 3)
10 3
(1 3)
2
+
=
+
（海里），…………………………………………… 7分
又 30 (90 60 ) 60 , 20 3DBC DBA ABC BC = + = + − = = 海里，………8分
在 DBC 中，由余弦定理得
2 2 2 2 cosCD BD BC BD BC DBC= + − • •
=
1
300 1200 2 10 3 20 3 900
2
+ − =
…………………………………………… 10分
CD =30（海里），则需要的时间
30
1
30
t = = （小时）．………………… 11分
答：救援船到达 D点需要 1小时．…………………………………………… 12分
21．（本小题满分 12分）
解、(Ⅰ) an＝
1
2
Sn＋1 ①
an-1＝
1
2
Sn-1＋1（n≥2） ②…………………………………………… 1分
①-②得：an＝2an-1（n≥2），又易得 a1＝2 ∴an＝2
n
…………………… 4分
(Ⅱ) bn＝n,
1
( 2)
nc
n n
=
+
1 1 1
( )
2 2n n
= −
+
…………………………… 6分
裂项相消可得
1 1 1 1
(1 )
2 2 1 2
nT
n n
= + − −
+ +
3 1 1 1
( )
4 2 1 2n n
= − +
+ +
……… 8分
∵ 1
3 1 3
,
4 3 4
n nT T T 即 …………………………………………… 10分
8
∴欲
13
24 24
n
k k
T
+
对 n∈N
*
都成立，须
1
3 24
5
3 13
4 24
k
k
k
+
得， ，
又 k 正整数，∴k=5、6、7 …………………………………………… 12分
22 解： 若 a＝0，原不等式等价于－x＋11. ……………………… 2分
若 a0，
解得 x<
1
a
或 x>1. …………………………………………… 4分
若 a>0，原不等式等价于(x－
1
a
)(x－1)
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