资料简介
1
定远县育才学校 2020-2021 学年高二上学期第二次月
考理科数学
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.已知 :p Rx ， 2 1 0mx ， :q Rx ， 2 1 0x mx ，若 p q 为假命题，
则实数 m 的取值范围为（ ）
A. 2m B. 2m C. 2m 或 2m D. 2 2m
2.若动点 ),(),( 2211 yxByxA 、 分别在直线 1l ： 011 yx 和 2l ： 01 yx 上移动，
则 AB 中点 M 所在直线方程为
A． 06 yx B． 06 yx
C． 06 yx D． 06 yx
3.已知 、 是两个不同的平面， m 、 n 是两条不同的直线，下列命题中不．正确的是
（ ）
A. 若 m ∥ n ， m ，则 n
B. 若 m ∥ ， n ，则 m ∥ n
C. 若 m ， m ，则 ∥
D. 若 / / , / / ,m n m ，则 n
4.平面内动点 P 到两点 ,A B 距离之比为常数 ( 0, 1) ，则动点 P 的轨迹叫做阿波罗
尼斯圆，若已知 2,0A ， 2,0B ， 1
2
，则此阿波尼斯圆的方程为（ ）
A. 2 2 12 4 0x y x B. 2 2 12 4 0x y x
C. 2 2 20 4 03x y x D. 2 2 20+ 4 03x y x
5.在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，底面 ABCD 为矩形， AB PA ．若 BC
边上有且只有一个点Q ，使得 PQ QD ，求此时二面角 A PD Q 的余弦值（ ）
A. 3
3 B. 30
6 C. 6
6 D. 2
6
6.已知命题 :p x R ， 2 1 0x x ，则（ ）
A. :p x R ， 2 1 0x x B. :p x R ， 2 1 0x x
C. :p x R ， 2 1 0x x D. :p x R ， 2 1 0x x
7. 已 知 点 ( , )P x y 是 直 线 4 0( 0)kx y k 上 一 动 点 ， ,PA PB 是 圆
2 2: 2 0C x y y 的两条切线， ,A B 是切点.若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的
值为（ ）
A. 2 B. 21
2
C. 2 2 D.2
2
8.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
9.在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 是棱 1CC 的中点， F 是侧面 1 1BCC B 内
（包括边）的动点，且 1A F 平面 1D AE ，沿 1A F 运动，将 1B 点所在的几何体削去，则剩
余几何体的体积为（ ）
A. 3
4 B. 23
24 C. 7
8 D. 11
12
10.设椭圆C 的两个焦点是 1F 、 2F ，过 1F 的直线与椭圆C 交于 P 、Q ，若 2 1 2PF F F ，
且 1 15 6PF FQ ，则椭圆的离心率为（ ）
A. 5
3 B. 7
13 C. 2 6
13 D. 9
11
11.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为 1,0F ，离心率等于 1
2
，则C 的方程是
A.
2 2
13 4
x y B.
2 2
14 3
x y C.
2 2
14 2
x y D.
2 2
14 3
x y
12.如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 为 BC 的中点，点 P 在线段 1D E
上，则点 P 到直线 1CC 的距离的最小值为（ ）．
3
A. 4
5 B. 1
2 C. 5
3 D. 2 55
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.命题“若 或 ，则 ”的否命题为__________．
14.以 F1、F2 为焦点作椭圆，椭圆上一点 P1 到 F1、F2 的距离之和为 10，椭圆上另一点 P2 满
足 P2F1＝P2F2，则 P2F1＝________.
15.已知平面 / / 平面 ， P 且 P ，试过点 P 的直线 m 与 ， 分别交于 A ，
C ，过点 P 的直线 n 与 ， 分别交于 B D， 且 6PA ， 9AC ， 8PD ，则 BD
的长为___________.
16.已知直线 1 : 0l ax y a ， 2 : 2 3 0l a x ay a 互相平行，则 a __________.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
17. （ 10 分 ） 已 知 命 题 0:p x R ， 使 得 2
0 02 1 0ax x 成 立 ； 命 题 q ： 方 程
2 3 0x a x a 有两个不相等正实根；
（1）若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围；
（2）若命题“ p 或 q ”为真命题，且“ p 且 q ”为假命题，求实数 a 的取值范围.
18.（12 分）已知 A，B 分别是直线 y＝x 和 y＝－x 上的两个动点，线段 AB 的长为 2 3 ，D
是 AB 的中点．
（1）求动点 D 的轨迹 C 的方程；
（2）若过点(1,0)的直线 l 与曲线 C 交于不同两点 P、Q，当|PQ|＝3 时，求直线 l 的方
程。
19.（12 分）如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ,且
, 是棱 的中点，点 在侧棱 上运动.
（1）当 是棱 的中点时，求证： 平面 ；
（2）当直线 与平面 所成的角的正切值为 时，求二面角
的余弦值.
20.（12 分）已知圆C 过 2,6P ， 2,2Q 两点，且圆心C 在直线3 0x y 上.
（1）求圆C 的方程；
（2）若直线l 过点 0,5P 且被圆C 截得的线段长为 4 3 ，求l 的方程.
4
21.（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中， ABCD 是正方形， PD 平面 ABCD ．
2PD AB ， E ， F ， G 分别是 PC ， PD ， BC 的中点．
（1）求证：平面 PAB 平面 EFG ．
（2）在线段 PB 上确定一点Q ，使 PC 平面 ADQ ，并给出证明．
22.（12 分）已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)y a a ba b
过点 3 , 32
，离心率为 1
2 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的上顶点作直线 交抛物线 2 2x y 于 ,A B 两点， O 为原点.
①求证： OA OB ；
②设 OA、 OB 分别与椭圆相交于 C 、 D 两点，过原点O 作直线CD 的垂线OH ，垂足为
H ，证明: OH 为定值.
5
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A D B D A C D B B D D D
13.若 或 ，则
14.5
15. 24
5
或 24
16. 3
17.(1) 1a ；(2) 1 0a 或 1a .
解析：
（1） :p x R ， 2 2 1 0ax x 不恒成立.
由 0{ 0
a
得 1a .
（2）设方程 2 3 0x a x a 两个不相等正实根为 1 2x x、
命题q 为真 1 2
1 2
0
{ 0 0 1
0
x x a
x x
由命题“ p 或q ”为真，且“ p 且q ”为假，得命题 p q、 一真一假
①当 p 真q 假时，则 1{ 0 0 1
a
a
或 得 1 0a 或 1a
②当 p 假q 真时，则 1{ 0 1
a
a
无解；
∴实数a 的取值范围是 1 0a 或 1a .
18.（1）x2＋y2＝3.（2） 3 1y x .
解析： (1)设 D(x，y)，A(a，a)，B(b，－b),
∵ D 是 AB 的中点， ∴x＝ ，y＝ ，
∵ |AB|＝2 ，∴(a－b)2＋(a＋b)2＝12，
∴(2y)2＋(2x)2＝12，∴点 D 的轨迹 C 的方程为 x2＋y2＝3.
(2) ①当直线 l 与 x 轴垂直时，P(1， )，Q(1，－ )，
此时|PQ|＝2 ，不符合题意；
当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，
由于|PQ|＝3，所以圆心 C 到直线 l 的距离为 ，
由 ＝ ，解得 k＝ .故直线 l 的方程为 y＝ (x－1).
19.
解：（1）取线段 的中点 ，连结 .
6
∵ ,∴ ，且 .
又 为 的中点，∴ ,且 .
∴ ,且 .∴四边形 是平行四边形.∴ .
又 平面 平面 ,∴ 平面 .
（2）∵ 两两垂直，∴以 为原点， 所在直线分别为
轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系 ，如图,
∵三棱柱 中， 平面 ，∴ 即为直线 与
平面 所成的角.
设 ，则由 ，得 .
∴ .∴
,
设平面 的一个法向量为 ，
则
令 ，得 ，即 .又平面 的一个法向
量为 ,∴ ,
又二面角 的平面角为钝角，∴二面角 的余弦值为
.
20.（1） 2 2 4 12 24 0x y x y ；（2） 0x 或3 4 20 0x y
解析：
（ 1 ） 设 圆 的 方 程 为 2 2 0x y Dx Ey F ， 圆 心 ,2 2
D E
， 根 据 题 意 有
7
2 6 0
{ 2 2 8
3 02 2
D E F
D E F
D E
，计算得出
4
{ 12
24
D
E
F
，
故所求圆的方程为 2 2 4 12 24 0x y x y .
（2）如图所示， 4 3AB ，设 D 是线段 AB 的中点，
则CD AB ，
∴ 2 3AD ， 4AC .
在 Rt ACD 中，可得 2CD .
当直线l 的斜率不存在时，满足题意，
此时方程为 0x .
当直线l 的斜率存在时，设所求直线l 的斜率为 k ，则直线l 的方程为： 5y kx ，
即 5 0kx y ，由点C 到直线 AB 的距离公式：
2
2 6 5 2
1
k
k
，得 3
4k ，此时直线l 的方程为3 4 20 0x y .
∴所求直线 l 的方程为 0x 或3 4 20 0x y
21.解析：（1）∵ PCD 中， E ， F 分别是 PC ， PD 的中点，∴ EF CD ，又∵四边
形 ABCD 为正方形，得 AB CD ，∴ EF AB ，∵ EF 平面 PAB ， AB 面 PAB ，
∴ EF 面 PAB ．同理 EG 面 PAB ，∵ EF ， EG 是面 EFG 内相交直线，∴平面
PAB 平面 EFG ． Q 为 PB 中点时， PC 面 ADQ ．
（2） Q 为线段 PB 中点时， PC 平面 ADQ ，证明：取 PB 中点Q ，连接 DE ， EQ ，
AQ ，∵ EQ BC AD ，且 AD QE ，∴四边形 ADEQ 为梯形，由 PD 面 ABCD ，
AD 面 ABCD ，得 AD PD ，∵ AB CD ， PD CD D ，∴ AD 面 PDC ，
又 PC 面 PDC ，∴ AD PC ．∵ PDC 为等腰直角三角形， E 为斜边中点，
∴ DE PC ，∵ AD ， DE 是面 ADQ 内的相交直线，∴ PC 面 ADQ ．
22. 解 析 ： (1)
2 2
2
2 21c be a a
， 所 以 ， 又 ， 解 得 ，
，
所以椭圆的方程为
（2）①证明：设 、 ，依题意，直线 一定有斜率 ， 的方程为
，
8
联 立 方 程 消 去 得 ， ， 又
， ，
②证明：设 、 ，直线 的方程为 ， ，
， ， 联 立 方 程 消 去 得
，
， ，
而
由 得
， 即
. 所以 为定值.
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