资料简介
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2019-2020 学年湖南省邵阳市邵阳县第二中学高二上学期 12
月月考数学试题
一、单选题
1．已知集合 2 0A x x ， 1,2,3B ，则 A B （ ）
A． 1,2 B． 2 C． 1,2,3 D． 2,3
【答案】D
【解析】先求解出集合 A 中表示元素的范围，然后根据交集的概念求解出 A B 的结果.
【详解】
因为 2 0x ，所以 2x ，所以 2A x x ，
又因为 1,2,3B ，所以 2,3A B ，
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，主要考查学生对交集概念的理解，难度较易.
2．若 (1 i) 2iz ，则 z （ ）
A． 1 i B． 1+i C．1 i D．1+i
【答案】D
【解析】根据复数运算法则求解即可.
【详解】
( )
(
2i 2i 1 i 1 i1 i 1 i 1 i)( )z ．故选 D．
【点睛】
本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．
3．已知向量 2 1, 1 , ( ,3)a m b m ，则“ 3
2m ”是“ a b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】利用向量数量积的坐标表示，求出 a b 对应的 m 的取值范围，再根据充分必
要条件的定义判断即可.
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【详解】
当 3
2m 时， 32, 1 , ( ,3)2a b ， 32 1 3 02a b ，故得 a b ，
由 a b ，得 2 1 ( 1) 3 0a b m m ，即 2 3 ( 1) 0m m ，解得： 1m
或 3
2m ，故“ 3
2m ”是“ a b ”的充分不必要条件，
故选：A
【点睛】
本题结合向量数量积的坐标表示，考查充分必要条件，属于容易题.
4．在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， , 12, 5BC AC AC BC ，若一个球和它各个面
相切，则该三棱柱的表面积为（ ）
A．60 B．180 C．240 D．360
【答案】B
【解析】直三棱柱的内切球的半径等于底面三角形的内切圆的半径，由题意求出三角形
的内切圆的半径即可求解结论.
【详解】
解：由题意知内切球的半径为 R 与底面三角形的内切圆的半径相等，
而三角形 ABC 为直角三角形， , 12, 5BC AC AC BC ，所以 13AB ，
设三角形内切圆的半径为 R ，由面积相等可得： 1 1(12 13 5) 12 52 2R ，
所以 2R ，所以直三棱柱的高为： 2 4h R ，
所以直三棱柱表面积 12 12 5 13 12 5 4 1802S ，
故选： B .
【点睛】
本题考查三棱柱内切球问题，确定内切球的半径为 R 与底面三角形的内切圆的半径相等
是解题关键．
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5．已知
0.5
2 4
1 , log 3, log 72a b c
，则 , ,a b c 的大小关系为（ ）
A． a b c B．b a c C． a c b D． c a b
【答案】C
【解析】根据指数函数的性质，判断出 0 1a ，将 ,b c 化为同底对数比较大小即可.
【详解】
0.5 01 10 2 2 1
，所以 0 1a ， 2 4log 3 g 9lob ，又 4 4log l 1og9 7 ，
所以 a c b .
故选：C
【点睛】
本题主要考查指数函数，对数函数的性质及运算，考查学生转化能力，属于基础题.
6．已知向量 cos , 1 , sin ,2a b ，且 / /a b
，则 tan 4
等于（ ）
A． 3 B． 3 C． 1
3 D． 1
3
【答案】A
【解析】根据向量的共线关系求解出 tan 的值，然后利用两角差的正切公式计算出
tan 4
的值.
【详解】
因为 / /a b
，所以 2cos sin ，所以 tan 2 =- ，
又因为
tan 1 2 1tan 34 1 tan 1 2
，
故选：A.
【点睛】
本题考查向量共线与两角差的正切公式的综合应用，主要考查学生对坐标形式下向量共
线的理解以及对两角差的正切公式的运用，难度一般.已知 1 1 2 2, , ,a x y b x y ，若
/ /a b
，则有 1 2 2 1 0x y x y .
7．函数
2 4( ) xf x x
的最小值为（ ）
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A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】【详解】
2 4 4 2 4 4xf x xx x
，
当且仅当 2x 时，等号成立.
故选： B
8．已知 m 是两个数 2,8 的等比中项，则圆锥曲线
2
2 1yx m
的离心率为（ ）
A． 3
2
或 5
2
B． 3
2
或 5 C． 3
2
D． 5
【答案】B
【解析】由题意得 2 16m ，解得 4m 或 4m ．
当 4m 时，曲线方程为
2
2 14
yx ，故离心率为
2
2
1 31 1 4 2
c be a a
；
当 4m 时，曲线方程为
2
2 14
yx ，故离心率为
2
21 1 4 5c be a a
．
所以曲线的离心率为 3
2
或 5 ．选 B．
9．已知圆 2 2: 2 0 0M x y ay a 截直线 0x y 所得线段的长度是 2 2 ，则
圆 M 与圆 2 2: 1 1 1N x y 的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【解析】化简圆 22 2
1: 0, ,M x y a a M a r a M 到直线 0x y 的距
离
2
ad
2
2
12 2 0,2 , 2
2
a a a M r
，
又 2 1 21,1 , 1 2N r MN r r MN 1 2r r 两圆相交. 选 B
10．函数 y= 2 x sin2x 的图象可能是
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A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在 π( ,π)2
上的符号，即可判断选择.
详解：令 | |( ) 2 sin 2xf x x ，
因为 , ( ) 2 sin 2( ) 2 sin 2 ( )x xx R f x x x f x ，所以 | |( ) 2 sin 2xf x x 为奇
函数，排除选项 A,B;
因为 π( ,π)2x 时， ( ) 0f x ，所以排除选项 C，选 D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图
象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断
图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判
断图象的循环往复．
11．同时具备以下性质：①最小正周期是 ；②图像关于直线
3x 对称；③在 ,6 3
上单调递增；④一个对称中心为 ,012
的一个函数是（ ）
A． sin 2 6
xy B． 5sin 2 6y x
C． sin 2 6y x D． sin 2 3y x
【答案】C
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【解析】本题可对题目给出的四个条件依次进行分析，由①可排除 A，由②利用对称性
可排除 D，由③利用三角函数单调性可排除 B，即可得出答案。
【详解】
由①可排除 A；
由②图像关于直线
3x 对称，可得
3x 时,函数取最值，而
5 3sin 2 1 sin 2 1 sin 23 6 3 6 3 3 2
， ， ，可排除 D；
由③，当
6 3
π πx
， 时， 2 6 2 2x
， ，函数 sin 2 6y x
为增函数；
5 32 6 2 2x
， ，函数 5sin 2 6y x
为减函数，排除 B；
故选：C.
【点睛】
本题考查正弦函数和余弦函数的图像和性质，训练了利用排除法求解选择题问题的能
力，由已知函数的性质逐一核对四个函数，逐一排除，即可得到答案，是基础题。
12．（2017 新课标全国卷Ⅰ文科）设 A，B 是椭圆 C：
2 2
13
x y
m
长轴的两个端点，若
C 上存在点 M 满足∠AMB=120°，则 m 的取值范围是
A． (0,1] [9, ) B． (0, 3] [9, )
C． (0,1] [4, ) D． (0, 3] [4, )
【答案】A
【解析】当0 3m 时，焦点在 x 轴上，要使 C 上存在点 M 满足 120AMB ，
则 tan 60 3a
b
，即 3 3
m
，得0 1m ；当 3m 时，焦点在 y 轴上，
要使 C 上存在点 M 满足 120AMB ，则 tan 60 3a
b
，即 3
3
m ，得
9m ，故m 的取值范围为(0,1] [9, ) ，选 A．
点睛:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答
问题的关键是利用条件确定 ,a b 的关系，求解时充分借助题设条件
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120AMB 转化为 tan 60 3a
b
，这是简化本题求解过程的一个重
要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．
二、填空题
13．设等比数列{an}满足 a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则 a4=_______．
【答案】-8
【解析】用基本量法，求出首项和公比即可.
【详解】
设等比数列 na 的公比为 q，很明显 1q ，结合等比数列的通项公式和题意可得方
程组：
1 2 1
2
1 3 1
1 1
1 3
a a a q
a a a q
①
② ，由 ②
① 可得： 2q ，代入①可得 1 1a ，
由等比数列的通项公式可得 3
4 1 8a a q ．
故答案为：-8
【点睛】
等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌
握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前 n 项和
公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.属于基础题.
14．函数 2( ) ln 2 3f x x x 的单调递增区间是________
【答案】 3,+
【解析】根据复合函数单调性的判断方法“同增异减”，求解出内层函数
2 2 3y x x 的单调递增区间后则 f x 的单调递增区间可求，同时注意定义域.
【详解】
因为 2 2 3y x x 的对称轴为 1x ，所以 2 2 3y x x 的单调递增区间为 1, ，
单调递减区间为 ,1 ，
又 2 2 3 0x x 的解集为 , 1 3, ，且 lny x 在 0, 上单调递增，
所以 2( ) ln 2 3f x x x 的单调递增区间为 3,+ ，
故答案为： 3,+ .
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【点睛】
本题考查对数型复合函数的单调递增区间的求解，解答问题的关键是理解“同增异减”
的含义，难度较易.求解复合函数的单调区间时，要注意分析函数的定义域.
15．曲线 2 1( ) 2xf x e x 在点 0, (0)f 处的切线方程为_____________
【答案】 (2 2)y e x e
【解析】求出导数，进而利用导数的几何意义求出所求切线的斜率，再求出 (0)f 即可
写出切线的点斜式方程.
【详解】
2 1( ) 2 2xf x e ， 0 2 2f e ，
又 (0)f e ，曲线 ( )f x 在点 0, (0)f 处的切线方程为 (2 2)y e x e .
故答案为： (2 2)y e x e
【点睛】
本题考查利用导数求曲线的切线，属于基础题.
16．已知函数 ( ) 20192
x xe ef x x
，则不等式 2(1 ) (5 7) 0f x f x 的解集为
_______________
【答案】 2,3
【解析】先分析函数 f x 的奇偶性和单调性，然后将函数值关系转变为自变量的关系，
从而求解出解集.
【详解】
因为 f x 的定义域为 R 关于原点对称，且 20192
x xe ef x x f x
，所
以 f x 是奇函数，
又因为 , 20192
x xe ey y x
均是 R 上减函数，所以 f x 在 R 上递减，
又因为 2(1 ) (5 7) 0f x f x ，所以 21 7 5f x f x ，
所以 21 7 5x x ，所以 2 3x ，所以解集为 2,3 ，
故答案为： 2,3 .
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【点睛】
本题考查根据函数的奇偶性、单调性解不等式，主要考查学生对函数奇偶性和单调性的
判断，难度一般.对于求解 0f a f b 类型的不等式的解集，可以通过奇偶性将不
等式变形为函数值之间的大小关系，再通过单调性可得自变量之间的关系，则不等式解
集可求.
三、解答题
17． ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足
7, cos 2 cosa a B c b A
（1）求角 A 的大小
（2）若 ABC 的面积为 3 3
2
，求 ABC 周长
【答案】（1）
3
；（2）5 7 .
【解析】（1）利用正弦定理完成边化角，然后根据三角恒等变换的公式求解出角 A 的大
小；
（2）根据余弦定理和三角形面积公式求解出 ,b c ，由此求解出三角形的周长
【详解】
（1）因为 cos 2 cosa B c b A ，所以sin cos 2sin cos sin cosA B C A B A ，
所以sin cos sin cos 2sin cosA B B A C A ，所以sin 2sin cosC C A 且sin 0C ，
所以 1cos 2A ，所以
3A ；
（2）因为 2 2 2 2 cosa b c bc A ，所以 2 2 7b c bc ，
又因为 1 3 3sin2 2ABCS bc A
，所以 6bc ，
所以
2 2 13
6
b c
bc
，所以 2 2 2 5b c b c bc ，
所以 ABC 的周长为： 5 7a b c .
【点睛】
本题考查解三角形的综合应用，其中涉及到正弦定理完成边化角、余弦定理解三角形，
主要考查学生对公式的灵活运用，难度一般.
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18．在数列 na 中， nS 为其前 n 项和，且点 , nSn n Nn
均在函数 3 2y x 的图
像上
（1）求证：数列 na 是等差数列
（2）若 nT 是
1
2
n na a
的前 n 项和，求 nT
【答案】（1）证明见解析；（2） 2
6 1n
nT n
.
【解析】（1）先根据条件求解出 nS ，然后根据 1 2n n na S S n 求解出 na 通项，
根据定义法可证明 na 为等差数列；
（2）先计算出
1
2
n na a
，然后利用裂项相消法对数列
1
2
n na a
求和.
【详解】
（1）因为点 , nSn n Nn
均在函数 3 2y x 的图像上，所以 3 2nS nn
，所以
23 2nS n n ，
又因为 1 2n n na S S n ，所以 223 2 3 1 2 1 6 5na n n n n n ，
当 1n 时， 1 1 1a S ，符合 2n 的情况，所以 6 5na n ，
所以 1 6n na a ，所以数列 na 是首项为1公差为 6等差数列；
（2）因为 6 5na n ，所以 1
2 2 1 1 1
6 5 6 1 3 6 5 6 1n na a n n n n
，
所以 1 1 1 1 1 1 1 1 1...3 1 7 3 7 13 3 6 5 6 1nT n n
，
所以 1 1 213 6 1 6 1n
nT n n
.
【点睛】
本题考查等差数列的证明以及裂项相消法求和，其中涉及到利用 1 2n n na S S n
求通项公式，难度一般.
19．某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据（单位： 3m ）和使用了节水龙
头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表
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日用水量 0,0.1
0.1,0.2 0.2,0.3 0.3,0.4 0.4,0.5 0.5,0.6 0.6,0.7
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表
日用水量 0,0.1 0.1,0.2
0.2,0.3 0.3,0.4 0.4,0.5 0.5,0.6
频数 1 5 13 10 16 5
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50 天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 30.35m 的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组
中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
【答案】（1）直方图见解析；（2） 0.48；（3） 347.45m .
【解析】（1）根据题中所给的使用了节水龙头50 天的日用水量频数分布表，算出落在
相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，
从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；
（2）结合直方图，算出日用水量小于 0.35的矩形的面积总和，即为所求的频率；
（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得 50 天日用水量的平均值，作差乘以 365天得
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到一年能节约用水多少 3m ，从而求得结果.
【详解】
（1）频率分布直方图如下图所示：
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 30.35m 的频率为
0.2 0.1 1 0.1 2.6 0.1 2 0.05 0.48 ；
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 30.35m 的概率的估计值为 0.48；
（3）该家庭未使用节水龙头50 天日用水量的平均数为
1
1 0.05 1 0.15 3 0.25 2 0.35 4 0.45 9 0.55 26 0.65 5 0.4850x
．
该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为
2
1 0.05 1 0.15 5 0.25 13 0.35 10 0.45 16 0.55 5 0.3550x ．
估计使用节水龙头后，一年可节省水 30.48 0.35 365 47.45 m ．
【点睛】
该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分
布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过
程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.
20．已知椭圆 ：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的离心率为 3
2
，椭圆的四个顶点围成的四
边形的面积为 4.
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（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）直线 l 与椭圆 交于 A ，B 两点，AB 的中点 M 在圆 2 2 1x y 上，求 AOB （ O
为坐标原点）面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）
2
2 14
x y .
（Ⅱ）1.
【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由题意知， 3
2
c
a
，得 3
2c a ， 1
2b a ，代入
椭圆的方程，再由椭圆 的四个顶点围成的四边形的面积得 2 4ab ，求得 ,a b 的值，
即可得到椭圆的方程；
（Ⅱ）当直线 l 的斜率不存在时，得到 3
2AOBS ，
当直线l 的斜率存在时，设l : y kx m ，联立方程组，求得 1 2 1 2,x x x x ，求得 AB 中
点的坐标，代入圆的方程，得
2 2
2
2
(1 4 )
16 1
km k
，再由弦长公式和点到直线的距离公式，
即可得到 AOBS 的表达式，即可求解面积的最大值．
试题解析：
（Ⅰ）由题意知 3
2
c
a
，得 3
2c a ， 1
2b a ，
所以
2 2
2 2
3 3 14
x y
c c
，
由椭圆 的四个顶点围成的四边形的面积为 4，得 2 4ab ，
所以 2a ， 1b ，椭圆 的标准方程为
2
2 14
x y .
（Ⅱ）当直线 l 的斜率不存在时，
令 1x ，得 3
2y ， 1 31 32 2AOBS ，
当直线 l 的斜率存在时，设 l : y kx m ， 1 1,A x y ， 2 2,B x y ， 0 0,M x y ，
由 2 24 4
y kx m
x y
，得 2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m ，
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则 1 2 2
8
1 4
kmx x k
，
2
1 2 2
4 4
1 4
mx x k
，
所以 0 2
4
1 4
kmx k
，
2
0 0 2 2
4
1 4 1 4
k m my kx m mk k
，
将 2 2
4 ,1 4 1 4
km m
k k
代入 2 2 1x y ，得 22
2
2
1 4
16 1
k
m k
，
又因为 22
1 2 1 21 4AB k x x x x 2 2 2
2
41 1 41 4k k mk
，
原点到直线 l 的距离
21
md
k
，
所以 2
2
1 12 1AOB
mS k
k
2 2
2
4 1 41 4 k mk
2 2
2
2 1 41 4
m k mk
2
2 2
2 1 4
1 4 16 1
k
k k
2
2
2
1 41 4 1 16 1
kk k
2 2
22
12 1 4
2
16 1
k k
k
2 2
2
2 12 1 416 1 k kk
2
2
2 1 16 116 1 2
k
k
.
当且仅当 2 212 1 4k k ，即 2
4k 时取等号.
综上所述， AOB 面积的最大值为 1.
点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问
题,解答此类题目，通常利用 , , ,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通
过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，
得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变
形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、
分析问题解决问题的能力等．
21．如图，在四棱锥 P−ABCD 中，AB//CD，且 90BAP CDP .
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（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD；
（2）若 PA=PD=AB=DC， 90APD ，求二面角 A−PB−C 的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2） 3
3
.
【解析】【详解】
（1）由已知 90BAP CDP ，得 AB⊥AP，CD⊥PD．
由于 AB//CD ，故 AB⊥PD ，从而 AB⊥平面 PAD．
又 AB 平面 PAB，所以平面 PAB⊥平面 PAD．
（2）在平面 PAD 内作 PF AD ，垂足为 F ，
由（1）可知， AB 平面 PAD ，故 AB PF ，可得 PF 平面 ABCD .
以 F 为坐标原点，FA 的方向为 x 轴正方向， AB 为单位长，建立如图所示的空间直角
坐标系 F xyz .
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由（1）及已知可得 2 ,0,02A
， 20,0, 2P
， 2 ,1,02B
， 2 ,1,02C
.
所以 2 2,1,2 2PC
， 2,0,0CB ， 2 2,0,2 2PA
， 0,1,0AB
.
设 , ,n x y zr 是平面 PCB 的法向量，则
0,
0,
n PC
n CB
即
2 2 0,2 2
2 0,
x y z
x
可取 0, 1, 2n .
设 , ,m x y z 是平面 PAB 的法向量，则
0,
0,
m PA
m AB
即
2 2 0,2 2
0.
x z
y
可取 1,0,1m .
则 3cos , 3
n mn m n m
，
所以二面角 A PB C 的余弦值为 3
3
.
【名师点睛】
高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：
①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；
②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；
③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需
点的坐标是解题的关键.
22．设 f(x)=xln x–ax2+(2a–1)x，aR.
（Ⅰ）令 g(x)=f'(x)，求 g(x)的单调区间；
（Ⅱ）已知 f(x)在 x=1 处取得极大值.求实数 a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）当 0a 时，函数 g x 单调递增区间为 0, ，当 0a 时，函数 g x
单调递增区间为 10, 2a
（ ），单调递减区间为 1 ,2a
（ ）； （Ⅱ） 1
2a
【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出 g x ，然后讨论当 0a 时，当 0a 时的两种情况
即得.
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（Ⅱ）分以下情况讨论：①当 0a 时，②当 10 2a 时，③当 1
2a 时，④当 1
2a
时，综合即得.
试题解析：（Ⅰ）由 ln 2 2 ,f x x ax a
可得 ln 2 2 , 0,g x x ax a x ，
则 1 1 22 axg x ax x
，
当 0a 时，
0,x 时， 0g x ，函数 g x 单调递增；
当 0a 时，
10, 2x a
（ ）时， 0g x ，函数 g x 单调递增，
1 ,2x a
（ ）时， 0g x ，函数 g x 单调递减.
所以当 0a 时， g x 单调递增区间为 0, ；
当 0a 时，函数 g x 单调递增区间为 10, 2a
（ ），单调递减区间为 1 ,2a
（ ）.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 1 0f .
①当 0a 时， 0f x ， f x 单调递减.
所以当 0,1x 时， 0f x ， f x 单调递减.
当 1,x 时， 0f x ， f x 单调递增.
所以 f x 在 x=1 处取得极小值，不合题意.
②当 10 2a 时， 1 12a
，由(Ⅰ)知 f x 在 10, 2a
（ ）内单调递增，
可得当当 0,1x 时， 0f x ， 11, 2x a
（ ）时， 0f x ，
所以 f x 在(0,1)内单调递减，在 11, 2a
（ ）内单调递增，
所以 f x 在 x=1 处取得极小值，不合题意.
③当 1
2a 时，即 1 12a
时， f x 在(0,1)内单调递增，在 1, 内单调递减，
所以当 0,x 时， 0f x ， f x 单调递减，不合题意.
④当 1
2a 时，即 10 12a
，当 1 ,12x a
（ ）时， 0f x ， f x 单调递增,
当 1,x 时， 0f x ， f x 单调递减，
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所以 f(x)在 x=1 处取得极大值，合题意.
综上可知，实数 a 的取值范围为 1
2a .
【考点】应用导数研究函数的单调性、极值,分类讨论思想
【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论
思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导是基
础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好地
考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力及分类讨论思想等.
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