资料简介
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2019-2020 学年辽宁省本溪高级中学高二 9 月月考数学试题
一、单选题
1.已知集合 { | 1}A x N x ,集合 { | 1 3 }B x Z y x x ,则图中的阴影
部分表示的集合是( )
A.[1,3] B. (1,3] C.{ 1,2,3} D.{ 1,0,2,3}
【答案】C
【解析】图中阴影部分表示的集合为 B Að ,所以先求出集合 A,B 后可得结论.
【详解】
由题意得 , 1 0,1 , 1 3, 1,0,1,2,3A x x N x B x x x Z ,
所以 1,2,3B A ð ,
即图中阴影部分表示的集合为 1,2,3 .
故选 C.
【点睛】
本题考查集合的元素、韦恩图和集合的补集运算,解题的关键是认清图中阴影部分表示
的集合以及所给集合中元素的特征,属于基础题.
2.函数 2 2 3y x x 在闭区间[0, ]m 上有最大值 3,最小值为 2, m 的取值范围是
A. ( ,2] B.[0,2] C.[1,2] D.[1, )
【答案】C
【解析】本题利用数形结合法解决,作出函数 ( )f x 的图象,如图所示,当 1x 时, y
最小,最小值是 2,当 2x 时, 3y ,欲使函数 2( ) 2 3 f x x x 在闭区间[0 , ]m
上的上有最大值 3,最小值 2,则实数 m 的取值范围要大于等于 1 而小于等于 2 即可.
【详解】
解:作出函数 ( )f x 的图象,如图所示,
当 1x 时, y 最小,最小值是 2,当 2x 时, 3y ,
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函数 2( ) 2 3 f x x x 在闭区间[0 , ]m 上上有最大值 3,最小值 2,
则实数 m 的取值范围是[1, 2].
故选:C .
【点睛】
本题考查二次函数的值域问题,其中要特别注意它的对称性及图象的应用,属于中档题.
3.已知 0.32a , 0.12b , 1.30.2c ,则 a ,b , c 的大小关系是( )
A. a b c B. c a b C. a c b D. c b a
【答案】D
【解析】利用指数函数的单调性判断即可.
【详解】
解: 2xy 是 R 上的增函数,
0.3 0.12 2 1 ,而 1.3 00.2 0.2 1 ,
故 a b c ,
故选:D.
【点睛】
本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数性质的合
理运用.
4.已知函数 ( ) ( )( )f x x a x b (其中 )a b ,若 ( )f x 的图象如图所示,则函数
( ) xg x a b 的图象大致为( )
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A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意,易得 ( )( ) 0x a x b 的两根为 a 、b ,又由函数零点与方程的根
的关系,可得 ( ) ( )( )f x x a x b 的零点就是 a 、b ,观察 ( ) ( )( )f x x a x b 的图
象,可得其与 x 轴的两个交点的横坐标分别在区间 ( , 1) 与 (0,1) 上,又由 a b ,可
得 1b , 0 1a ;根据函数图象变化的规律可得 ( ) xg x a b 的单调性及与 y 轴
交点的位置,分析选项可得答案.
【详解】
解:由二次方程的解法易得 ( )( ) 0x a x b 的两根为 a 、b ;
根据函数零点与方程的根的关系,可得 ( ) ( )( )f x x a x b 的零点就是 a 、b ,即函
数图象与 x 轴交点的横坐标;
观察 ( ) ( )( )f x x a x b 的图象,可得其与 x 轴的两个交点的横坐标分别在区间
( , 1) 与 (0,1) 上,
又由 a b ,可得 1b , 0 1a ;
在函数 ( ) xg x a b 可得,由 0 1a 可得其是减函数,
又由 1b 可得其与 y 轴交点在 x 轴的下方;
分析选项可得 A 符合这两点, BCD 均不满足;
故选: A .
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【点睛】
本题综合考查指数函数的图象与函数零点的定义、性质;解题的关键在于根据二次函数
的图象分析出 a 、b 的范围.
5.在下列条件中,可判定平面 与平面 平行的是( )
A. , 都平行于直线 a
B. 内存不共线的三点到 的距离相等
C.l , m 是 内的两条直线,且l // , / /m
D.l , m 是两条异面直线,且 / /l , / /m ,l // , / /m
【答案】D
【解析】【分析】试题分析:通过举反例推断 A、B、C 是错误的,即可得到结果.
【详解】
解:A 中:直线 a 不在 , 内与 , 交线平行,
此时 , 都与直线 a 平行,但两平面相交,A 错误.
B 中:如果这三个点在平面的两侧,满足不共线的三点到β的距离相等,
这两个平面相交,B 错误.
C 中:如果这两条直线平行,那么平面α与β可能相交,所以 C 错误.
故选:D.
6.点 ,M N 是圆 2 2 2 4 0x y kx y 上的不同两点,且点 ,M N 关于直线
1 0x y 对称,则该圆的半径等于( )
A. 2 2 B. 2 C.
3
D.
1【答案】C
【解析】圆上的点关于直线对称,则直线经过圆心,求出圆的圆心,代入直线方程,即
可求出 k,然后求出半径.
【详解】
圆 2 2 2 4 0x y kx y 的圆心坐标 , 12
k
,
因为点 M,N 在圆 2 2 2 4 0x y kx y 上,且点 M,N 关于直线 l:x-y+1=0 对称,
所以直线 l:x-y+1=0 经过圆心,
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所以 1 1 02
k ,k=4.
所以圆的方程为: 2 2 4 2 4 0x y x y ,即 2 2( 2) ( 1) 9x x ,圆的半径为 3.
故选 C.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系,考查圆的一般方程的应用,考查计算能力.
7.某学校为了调查高三年级的 200 名文科学生完成课后作业所需时间,采取了两种抽样
调查的方式:第一种由学生会的同学随机抽取 20 名同学进行调查;第二种由教务处对该
年级的文科学生进行编号,从 001 到 200,抽取学号最后一位为 2 的同学进行调查,则这两
种抽样的方法依次为( )
A.分层抽样,简单随机抽样 B.简单随机抽样, 分层抽样
C.分层抽样,系统抽样 D.简单随机抽样,系统抽样
【答案】D
【解析】第一种抽样是简单随机抽样,简单随机抽样是指从样本中随机抽取一个,其特
点是容量不要太多.第二种是系统抽样,系统抽样就是指像机器一样的抽取物品,每隔
一段时间或距离抽取一个.而分层抽样,必需是有明显的分段性,然后按等比例进行抽
取.故选 D
8.函数 5( ) sin( )2f x x 是( )
A.奇函数 B.非奇非偶函数 C.常数函数 D.偶函数
【答案】D
【解析】由题意,利用诱导公式可求函数解析式为 ( ) cosf x x ,由余弦函数的性质可
得函数 ( )f x 是偶函数,由此得解.
【详解】
解: 5( ) sin( ) cos2f x x x ,
由余弦函数的性质可得函数 ( )f x 是偶函数.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了诱导公式,余弦函数的性质,考查了函数思想,属于基础题.
9.一个口袋中装有质地和大小都相同的一个白球和一个黑球,那么“从中任意摸一个球
得到白球”这个事件是( )
A.随机事件 B.必然事件 C.不可能事件 D.不能确定
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【答案】A
【解析】根据随机事件、必然事件和不可能事件的概念
【详解】
因为事件“从中任意摸一个球得到白球”可能发生也可能不发生,所以这个事件是随机
事件,故选:A.
【点睛】
本题主要考查了随机事件的概念,属于基础题型.
10.已知函数 2( ) sin(2 )3f x x ,则下列结论错误的是( )
A. ( )f x 的一个周期为 B. ( )f x 的图象关于直线 5
6x 对称
C. ( )f x 的一个零点为
6
D. ( )f x 在区间 (0, )3
上单调递减
【答案】B
【解析】根据周期的公式得到 2 ,2T 故 A 正确;函数图像的对称轴为
22 = + , ,3 2 12 2
kx k k z x k z 可判断 B 错误;零点为
22 = , ,3 3 2
kx k k z x k z ,可判断 C 正确;单调减区间为
5- + , ,12 2 12 2
k k k z
可得到 D 正确.
【详解】
函数 2sin 2 3f x x
,周期为: 2 ,2T 故 A 正确;函数图像的对称轴为
22 = + , ,3 2 12 2
kx k k z x k z , 8
3x 不是对称轴,故 B 不正确;
函数的零点为 22 = , ,3 3 2
kx k k z x k z ,当 k=1 时,得到一个零点
为
6
;函数的单调递减区间为: 2 32 + , ,3 2 2x k k k z
,解得 x 的范围
为 5- + , ,12 2 12 2
k k k z
,区间 0, 3
是其中的一个子区间,故 D 正确.
故答案为 B.
【点睛】
函数 sin( )y A x (A>0,ω>0)的性质:(1)奇偶性: =k ,k Z 时,函数
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sin( )y A x 为奇函数; = 2k ,k Z 时,函数 sin( )y A x 为偶函数;(2)
周期性: sin( )y A x 存在周期性,其最小正周期为 T= 2
;(3)单调性:根据 y=sint
和 t= x 的单调性来研究,由 +2 2 ,2 2k x k k Z 得单调增区间;
由 +2 2 ,2 2k x k k Z 得单调减区间;(4)对称性:利用 y=sin x 的对
称中心为 ( ,0)( )k k Z 求解,令 x k k Ζ ,求得 x;利用 y=sin x 的对称轴为
( )2x k k Z 求解,令 + 2x k k Ζ ,得其对称轴.
11.设 M 是 ABC 所在平面内一点,且 BM MC ,则 AM ( )
A. AB AC
B. AB AC
C. 1 ( )2 AB AC
D. 1 ( )2 AB AC
【答案】D
【解析】试题分析: AM AB BM ,又 AM AC CM AC MC ,所以
2AM AB AC ,即 1 ( )2AM AB AC .故选 D.
【考点】向量的线性运算.
12.已知角 的终边过点 1,2P ,则 tan (4
)
A. 1
3 B. 1
3
C.
3
D. 3
【答案】A
【解析】直接利用任意角的三角函数,求出 tan ,根据正切的两角差公式展开求解即
可.
【详解】
角 的终边为点 1,2P ,即 1x , 2y ,
tan 2y
x
.
tan tan 2 1 14tan 4 1 2 31 tan tan 4
.
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故选 A.
【点睛】
本题考查任意角的三角函数的定义,和正切的两角差公式的计算,基本知识的考查.
二、填空题
13.设集合 2{ | 2 2}M y y x x , 2{ | 2 1}N y y x ,则 M N __.
【答案】[ 1 , 3] .
【解析】求二次函数的值域得到集合 M 、 N ,再根据两个集合的交集的定义求得
M N .
【详解】
集合 2 2{ | 2 2} { | ( 1) 3} (M y y x x y y x , 3] ,
2{ | 2 1} { | 1} [ 1N y y x y y
, ) ,
则 [ 1M N ,3] ,
故答案为:[ 1 , 3] .
【点睛】
本题主要考查求二次函数的值域,考查了两个集合的交集的定义和求法,属于基础题.
14.设等比数列{ }na 的公比为 q,其前 n 项和为 nS ,若 2 23 2S a , 4 43 2S a ,
则 q __.
【答案】 1 或 3
2 .
【解析】根据题意,设其公比为 q,分析可得 1 1(1 ) 3 2a q a q 和
4
31
1
(1 ) 3 21
a q a qq
,两式相减,变形可得 22 3 0q q ,解可得 q的值,即可得
答案.
【详解】
根据题意,等比数列{ }na 中,设其公比为 q,
若 2 23 2S a , 4 43 2S a ,则 1q ,
则有 1 1(1 ) 3 2a q a q ,①,
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4
31
1
(1 ) 3 21
a q a qq
,②
② ①,变形可得: 22 3 0q q ,
解可得 1q 或 3
2
.
故答案为: 1 或 3
2 .
【点睛】
本题考查等比数列前 n 项和公式的应用,注意前 n 项和的意义.
15.已知函数 1( ) (2xf x x t t 为常数)在区间[ 1 , 0] 上的最大值为 1,则t __
【答案】 2
【解析】由 2 xy x 在[ 1 , 0] 递增,可得 y 的值域,讨论 0t
时, 0t 时,运用
函数的单调性可得最值,解方程即可得到所求值.
【详解】
解:由 2 xy x 在[ 1 , 0] 递增,可得 y 的值域为[ 3 , 1] ,
当 0t
时, ( )f x 的值域为[ 1t , 3]t ,
由题意可得 3 1t ,解得 2 0t ,舍去;
当 0t 时,由于函数 ( )f x 在[ 1 , 0] 不单调,
由题意可得 ( ) 11f 或 (0) 1f ,
3 1t 或 1 1t ,
解得 2t 成立.
综上可得t 的值为 2 .
故答案为: 2 .
【点睛】
本题考查函数的最值求法,注意运用分类讨论思想方法和函数的单调性,考查方程思想
和运算能力,属于中档题.
16.如图,在 ABC 中,已知 3 2 120AB AC BAC , , , D 为边 BC 的
中点.若CE AD ,垂足为 E ,则 EB EC 的值为__.
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【答案】 27
7
【解析】【详解】
2
EB EC EA AB EC AB EC AD DB EC CD EC EC ,
由余弦定理,得 9 4 2 3 2 cos120 19BC ,
得 4 19 9 7cos
4 19 2 19
C , 7
2AD , 3 3
4S ,
所以 3 3
7
CE ,所以 27
7EB EC .
点睛:本题考查平面向量的综合应用.本题中存在垂直关系,所以在线性表示的过
程中充分利用垂直关系,得到 2
EB EC EC ,所以本题转化为求CE 长度,利用
余弦定理和面积公式求解即可.
三、解答题
17.如图:某快递小哥从 A 地出发,沿小路 AB BC 以平均时速 20 公里 / 小时,送快
件到C 处,已知 10BD (公里), 45DCB , 30CDB , ABD 是等腰三
角形, 120ABD .
(1)试问,快递小哥能否在 50 分钟内将快件送到C 处?
(2)快递小哥出发 15 分钟后,快递公司发现快件有重大问题,由于通讯不畅,公司只
能派车沿大路 AD DC 追赶,若汽车平均时速 60 公里 / 小时,问,汽车能否先到达C
处?
【答案】(1)不能;(2)汽车能先到达C 处.
【解析】(1)在 BCD 中,由正弦定理求得 5 2BC ,得到
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10 5 2 60 51.21 5020
,即可得到答案;
(2)在 ABD 中,由余弦定理求得 10 3AD ,再在 BCD 中,由正弦定理求得
5(1 3)CD ,进而得到答案.
【详解】
(1)在 BCD 中, 10AB (公里), 10BD (公里), 45DCB , 30CDB ,
由正弦定理
sin 45 sin30
BD BC
,可得 sin30 5 2sin 45
BDBC
(公里),
又由10 5 2 60 51.21 5020
,
所以快递小哥不能在 50 分钟内将快件送到C 处.
(2)在 ABD 中,由余弦定理,可得 2 2 2 110 10 2 10 10 ( ) 3002AD ,
可得 10 3AD (公里),
在 BCD 中, 105CBD ,由正弦定理得 5 2
sin105 sin30
CD
,
可得 5 2 sin105 5(1 3)sin30CD
(公里),
又由10 3 5(1 3) 60 15 20 15 3 45.98 51.2160
(分钟)
所以汽车能先到达C 处.
【点睛】
本题考查了解三角形的综合应用,高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命
题,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含
有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理实现边角互化;以上特征都不明显时,
则要考虑两个定理都有可能用到.
18.已知二次函数 f x 满足 1 2 1f x f x x ,且 0 4f .
1 求函数 f x 的解析式;
2 求 f x 在区间 0,3 上的最大值和最小值;
3 当 0x 时, 2 0f x ax 恒成立,求 a 的取值范围.
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【答案】(1) 2 2 4f x x x ;(2)最大值为 7 ,最小值为 3 ;(3) 1, .
【解析】 1 根据题意,用待定系数法分析:设二次函数的解析式为
2f x ax bx c ,由 0 4f 得 4c ,又由 1 2 1f x f x x ,则
2 2( 1) 1 3 3 2 1a x b x ax bx x ,即 2 2 1ax a b x ,解可得 a、
b 的值,代入函数的解析式,即可得答案; 2 根据题意,由二次函数的性质分析可得
答案; 3 根据题意,当 0x 时, 2 0f x ax 恒成立,即 42 1 a x x
在 0,
上恒成立,由基本不等式的性质分析可得 4 42 4x xx x
,则有 2 1 4a 在
0, 上恒成立,解可得 a 的取值范围,即可得答案.
【详解】
1 根据题意,设二次函数的解析式为 2 0f x ax bx c a
由 0 4f 得 4c ,则 2 4f x ax bx ;
又由 1 2 1f x f x x ,则 2 2( 1) 1 3 3 2 1a x b x ax bx x .
即 2 2 1ax a b x ,
则有 2 2
1
a
a b
,解可得 1a , 2b ,
故 2 2 4f x x x ,
2 根据题意,由 1 的结论, 2 22 4 ( 1) 3f x x x x ,
在 0,1 上为减函数,在 1,3 上为增函数,
又由 0 4f , 3 7f ,则 3 0f f ,
则 f x 在区间 0,3 上的最大值为 3 7f ,最小值为 1 3f ;
3 根据题意,当 0x 时, 2 0f x ax 恒成立,即 2 2 1 4 0x a x 在 0,
上恒成立,
即 42 1 a x x
在 0, 上恒成立,
又由分析可得: 4 42 4x xx x
,则有 2 1 4a 在 0, 上恒成立,
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1a ;
即 a 的取值范围为 1, .
【点睛】
本题考查二次函数的性质,涉及函数的最值以及恒成立问题,属于综合题.对于函数恒
成立或者有解求参的问题,常用方法有:变量分离,转化为函数最值问题;或者直接求
函数最值,使得函数最值大于或者小于 0;或者分离成两个函数,使得一个函数恒大于
或小于另一个函数.
19.已知圆 2 2
1 : 2 6 1 0C x y x y 和 2 2
2 : 10 12 45 0.C x y x y
(1)求证:圆 1C 和圆 2C 相交;
(2)求圆 1C 和圆 2C 的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
【答案】(1)见解析;(2) 2 7
【解析】(1)本题可先通过圆 1C 和圆 2C 的方程得出它们的圆心和半径长,再通过用圆
心距和两圆的半径之和以及两圆的半径之差作对比,即可得出结果;
(2)可先通过两圆方程相减得出公共弦所在直线的方程,再通过圆心到公共弦的距离以
及半径利用勾股定理得出结果.
【详解】
(1)圆 1C 的圆心 1 13C , ,半径 1 11r ,
圆 2C 的圆心 2 5 6C , ,半径 2 4r ,
两圆圆心距 1 2 1 2 1 2d 5 11 4 4 11C C r r r r , , ,
所以 1 2 1 2dr r r r ,圆 1C 和 2C 相交;
(2)圆 1C 和圆 2C 的方程相减,得 4 3 23 0x y ,
所以两圆的公共弦所在直线的方程为 4 3 23 0x y ,
圆心 2 5 6C , 到直线 4 3 23 0x y 的距离为:
20 18 23d 3
16 9
,故公共弦长为 2 16 9 2 7 .
【点睛】
本题考查了圆与圆的位置关系及其判定、两圆的公共弦所在直线的方程的求法以及公共
弦长,属中档题.圆和圆的位置关系有:相交,相离,相切几种关系,通过判断圆心的
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距离和半径的和与差的关系即可.
20.(
已知函数 2( ) 2 3 sin cos 2cos 1( )f x x x x x R .
(I)求函数 ( )f x 的最小正周期及在区间[0, ]2
上的最大值和最小值;
(II)若 0 0
6( ) , [ , ]5 4 2f x x ,求 0cos2x 的值.
【答案】函数 ( )f x 在区间 0, 2
上的最大值为 2,最小值为-1
0 0 0 0
3 4 3cos2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin6 6 6 6 6 6 10x x x x
【解析】试题分析:(1)将函数利用倍角公式和辅助角公式化简为
2sin 2 6f x x ,再利用周期 2T
可得最小正周期,由 0, 2
找出 2 6x 对
应范围,利用正弦函数图像可得值域;(2)先利用 求出 0cos 2 6x ,
再由角的关系 展开后代入可得值.
试题解析:(1)
所以
又 所以
由函数图像知 .
(2)解:由题意
而 所以
所以
所以 = .
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【考点】三角函数性质;同角间基本关系式;两角和的余弦公式
21.某中学团委组织了“弘扬奥运精神,爱我中华”的知识竞赛,从参加考试的学生中
抽出 60 名学生,将其成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后画
出如下部分频率分布直方图.观察图形给出的信息,回答下列问题:
(1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分;
(3)从成绩是[40,50)和[90,100]的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率.
【答案】(1)0.3,直方图见解析;(2)及格率 75%,平均分为 71 分;(3) 1
2
.
【解析】(1)根据频率分布直方图,用 1 减去成绩落在其它区间上的频率,即得成绩落
在[70 80, )上的频率,从而补全频率分步直方图;
(2) 先根据频率分布直方图,用 1 减去成绩落在[40 50 [50 60, ), , )上的频率,即可
得到这次考试的及格率;
(3) 成绩在[40 50, )的学生人数为 6人,在[90100, )的学生人数为 3 人
用 A 表示“从成绩在[40 50, )和[90100, )的学生中任选两人,他们的成绩在同一分数
段”, 1A 表示“所选两人成绩落在[40 50, )内”, 2A 表示“所选两人成绩落在[90100, )内”,
则 1A 和 2A 是互斥事件,由互斥事件的概率可得他们在同一分数段的概率.
【详解】
(1)成绩落在[70,80)上的频率是 0.3,频率分布直方图如下图.
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(2) 估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)为:1 - 0.01×10 - 0.015×10=75﹪
平均分:45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71
(3) 成绩在[40,50)的学生人数为 0.010×10×60=6
在[90,100)的学生人数为 0.005×10×60=3
用 A 表示“从成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人,他们的成绩在同一分
数段”, 1A 表示“所选两人成绩落在[40,50)内”, 2A 表示“所选两人成绩落在[90,100]
内”,则 1A 和 2A 是互斥事件,且 1 2A A A U , 从而 1 2P A P A P A ,
因为 1A 中的基本事件个数为 15, 2A 中的基本事件个数为 3,全部基本事件总数为
36,
所以 所求的概率为 15 3 1
36 2P A .
22.在数列{ }na 中, 1 4a , 2
1 ( 1) 2 2n nna n a n n .
(1)求证:数列 na
n
是等差数列;
(2)求数列 1
na
的前 n 项和 nS .
【答案】(1)证明见解析;(2)
2( 1)
n
n .
【解析】(1)由 2
1 ( 1) 2 2n nna n a n n ,两边同除以 n(n+1)可得: 1 21
n na a
n n
,
且 1 41
a ,即可证得.
(2)由(1)可得: 2 2na nn
,可得 1 1 1 1( )2 1na n n
,再利用裂项求和方法即可
得出.
【详解】
(1)在数列{ }na 中,满足 2
1 ( 1) 2 2n nna n a n n ,同时两边除以 ( 1)n n ,
得 1 21
n na a
n n
,且 1 41
a ,所以数列 na
n
是以 4 为首项,以 2 为公差的等差数列.
(2)由(1)得, 4+2 1 2 2na n nn
,所以 22 2na n n ,故
2
1 1 1 ( 1) 1 1 1( )2 2 2 ( 1) 2 1n
n n
a n n n n n n
,
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所以
1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ( )]2 2 2 3 1nS n n
1 1 1 1 1 1 1[(1 ) ( )]2 2 3 2 3 1n n
1 1(1 )2 1 2( 1)
n
n n
.
【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、裂项求和方法,考查了推理能力
与计算能力,属于中档题.
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