资料简介
专心 爱心 用心 1
矩形、菱形
知识考点：理解并掌握矩形的判定与性质，并能利用所学知识解决有关问题。
精典例题：
【例 1】如图，已知矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AE⊥BD，垂足为 E，∠
DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠EAC 的度数。
分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解。
解略，答案 450。
例 1 图
E O
D
CB
A
例 2 图
F
E
D C
BA
【例 2】如图，已知菱形 ABCD 的边长为 3，延长 AB 到点 E，使 BE＝2AB，连结 EC 并延
长交 AD 的延长线于点 F，求 AF 的长。
分析：本题利用菱形的性质，结合平行线分线段成比例的性质定理，可使问题得解。
解略，答案 AF＝4.5。
【例 3】如图，在矩形 ABCD 中，M 是 BC 上的一动点，DE⊥AM，垂足为 E，3AB＝2BC，
并且 AB、BC 的长是方程 02)2(2 kxkx 的两根。
（1）求 k 的值；
（2）当点 M 离开点 B 多少时，△ADE 的面积是△DEM 面积的 3 倍？请说明理由。
分析：用韦达定理建立线段 AB、AC 与一元二次方程系数的关系，求出 k 。
略解：（1）由韦达定理可得 AB＋BC＝ 2k ，AB·BC＝ k2 ，又由 BC＝
2
3 AB 可消去 AB，
得出一个关于 k 的一元二次方程 012373 2 kk ，解得 1k ＝12， 2k ＝
3
1 ，因 AB＋BC＝
2k ＞0，∴ k ＞2，故 2k ＝
3
1 应舍去。
（2）当 k ＝12 时，AB＋BC＝10，AB·BC＝ k2 ＝24，由于 AB＜BC，所以 AB＝4，BC＝6，
由 DEMAED SS 3 可得 AE＝3EM＝
4
3 AM。易证△AED∽△MBA 得
MB
AE ＝
AM
AD ，设 AE＝ a3 ，
AM＝ a4 ，则 MB＝ 22a ，而 AB2＋BM2＝AM2，故 242 1644 aa ，解得 2a ＝2，MB＝ 22a ＝4。
即当 MB＝4 时， DEMAED SS 3 。
评注：本题将几何问题从“形”向“数”转化，这类综合题既有几何证明中的分析和推
理，又有代数式的灵活变换、计算，其解题过程层次较多，步骤较复杂，书写过程也要加强
训练。
探索与创新：
【问题一】如图，四边形 ABCD 中，AB＝ 6 ，BC＝ 35 ，CD＝6，且∠ABC＝1350，
专心 爱心 用心 2
∠BCD＝1200，你知道 AD 的长吗？
分析：这个四边形是一个不规则四边形，应将它补割为规则四边形才便于求解。
略解：作 AE⊥CB 的延长线于 E，DF⊥BC 的延长线于 F，再作 AG⊥DF 于 G
∵∠ABC＝1350，∴∠ABE＝450
∴△ABE 是等腰直角三角形
又∵AB＝ 6 ，∴AE＝BE＝ 3
∵∠BCD＝1200，∴∠FCD＝600
∴△DCF 是含 300 的直角三角形
∵CD＝6，CF＝3，DF＝ 33
∴EF＝ 3)35(3 ＝8
由作图知四边形 AGFE 是矩形
∴AG＝EF＝8，FG＝AE＝ 3
从而 DG＝DF－FG＝ 32
在△ADG 中，∠AGD＝900
∴AD＝ 22 DGAG ＝ 1264 ＝ 76 ＝ 192
【问题二】把矩形 ABCD 沿 BD 折叠至如上图所示的情形，请你猜想四边形 ABDE 是什么
图形，并证明你的猜想。
分析与结论：本题根据题设并结合图形猜想该四边形是等腰梯形，利用对称及全等三角
形的有关知识易证。
跟踪训练：
一、填空题：
1、若矩形的对称中心到两边的距离差为 4，周长为 56，则这个矩形的面积为 。
2、已知菱形的锐角是 600，边长是 20cm，则较短的对角线长是 cm。
3、如图，矩形 ABCD 中，O 是对角线的交点，若 AE⊥BD 于 E，且 OE∶OD＝1∶2，AE＝ 3 cm，
则 DE＝ cm。
4、如图，P 是矩形 ABCD 内一点，PA＝3，PD＝4，PC＝5，则 PB＝ 。
5、如图，在菱形 ABCD 中，∠B＝∠EAF＝600，∠BAE＝200，则∠CE F＝ 。
第 3 题图
E
O
D
CB
A
第 4 题图
? 5
43
P
D
CB
A
第 5 题图
F
E
D
C
B
A
二、选择题：
6、在矩形 ABCD 的各边 AB、BC、CD、DA 上分别取点 E、F、G、H，使 EFGH 为矩形，则这样
的矩形（ ）
专心 爱心 用心 3
A、仅能作一个 B、可以作四个
C、一般情况下不可作 D、可以作无穷多个
7、如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4cm，AD＝12cm，P 点在 AD 边上以每秒 1 cm 的速度从 A 向 D
运动，点 Q 在 BC 边上，以每秒 4 cm 的速度从 C 点出发，在 CB 间往返运动，二点同时出
发，待 P 点到达 D 点为止，在这段时间内，线段 PQ 有（ ）次平行于 AB。
A、1 B、2 C、3 D、4
第 8 题图
G
F
E D
CB
A
8、如图，已知矩形纸片 ABCD 中，AD＝9cm，AB＝3cm，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么
折叠后 DE 的长和折痕 EF 的长分别是（ ）
A、4cm、 10 cm B、5cm、 10 cm
C、4cm、 32 cm D、5cm、 32 cm
9、给出下 面四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；
③有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长
平方的 4 倍。其中正确的命题有（ ）
A、①② B、③④ C、③ D、①②③④
10、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ ）
A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形
三、解答题：
11、如图，在矩形 ABCD 中，F 是 BC 边上一点，AF 的延长线交 DC 的延长线于点 G，DE
⊥AG 于 E，且 DE＝DC，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。
第 11 题图
G
F
E
D
C
B
A
12、如图，在△ABC 中，∠ACB＝900，CD 是 AB 边上的高，∠BAC 的平分线 AE 交 CD 于 F，
EG⊥AB 于 G，求证：四边形 GECF 是菱形。
13、如图，以△ABC 的三边为边在 BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、
△ACF。请回答下列问题（不要求证明）：
（1）四边形 ADEF 是什么四边形？
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是矩形？
（3）当△ABC 满足什么条件时，以 A、D、E、F 为顶点的四边形不存在？
跟踪训练参考答案
专心 爱心 用心 4
一、填空题：
1、180；2、20cm；3、3；4、 23 ；5、200
提示：4 题过点 P 作 矩形任一边的垂线，利用勾股定理求解；5 题连结 AC，证△ABE≌
△ACF 得 AE＝AF，从而△AEF 是等边三角形。
二、DDBBA
三、解答题：
11、可证△DEA≌△ABF
12、略证：AE 平分∠BAC，且 EG⊥AB，EC⊥AC，故 EG＝EC，易得∠AEC＝∠CEF，∵CF
＝EC，EG＝CF，又因 EG⊥AB，CD⊥AB，故 EG∥CF。四边形 GECF 是平行四边形，又因 EG＝
FG，故 GECF 是菱形。
13、（1）平行四边形；（2）∠BAC＝1500；（3）当∠BAC＝600 时，以 A、D、E、F 为顶点
的四边形不存在。
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