资料简介
角平分线、垂直平分线
知识考点:
了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理,并能解决一些实际问题。
精典例题:
【例题】如图,已知在△ABC 中,AB=AC,∠B=300,AB 的垂直平分线 EF 交 AB 于点 E,交 BC 于点 F,
求证:CF=2BF。
分析一:要证明 CF=2BF,由于 BF 与 CF 没有直接联系,联想题设中 EF 是中垂线,根据其性质可连结
AF,则 BF=AF。问题转化为证 CF=2AF,又∠B=∠C=300,这就等价于要证∠CAF=900,则根据含 300 角
的直角三角形的性质可得 CF=2AF=2BF。
分析二:要证明 CF=2BF,联想∠B=300,EF 是 AB 的中垂线,可过点 A 作 AG∥EF 交 FC 于 G 后,得到
含 300 角的 Rt△ABG,且 EF 是 Rt△ABG 的中位线,因此 BG=2BF=2AG,再设法证明 AG=GC,即有 BF=FG
=GC。
例题图 1
F
E
CB
A
例题图 2
GF
E
CB
A
分析三:由等腰三角形联想到“三线合一”的性质,作 AD⊥BC 于 D,则 BD=CD,考虑到∠B=300,不
妨设 EF=1,再用勾股定理计算便可得证。
以上三种分析的证明略。
例题图 3
DF
E
CB
A
问题图
3
21
E
D CB
A
探索与创新:
【问题】请阅读下面材料,并回答所提出的问题:
三角形内角平分线性质定理:三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比
例。如图,△ABC 中,AD 是角平分线。求证:
AC
AB
DC
BD 。
分析:要证
AC
AB
DC
BD ,一般只要证 BD、DC 与 AB、AC 或 BD、AB 与 DC、AC 所在三角形相似,现在 B、
D、C 在同一条直线上,△ABD 与△ADC 不相似,需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式
AC
AB
DC
BD
中,AC 恰好是 BD、DC、AB 的第四比例项,所以考虑过 C 作 CE∥AD 交 BA 的延长线于 E,从而得到 BD、CD、
AB 的第四比例项 AE,这样,证明
AC
AB
DC
BD 就可以转化为证 AE=AC。
证明:过 C 作 CE∥AD 交 BA 的延长线于 E
CE∥AD
E1
32
21
∠E=∠3 AE=AC
CE∥AD
AE
AB
DC
BD
∴
AC
AB
DC
BD
(1)上述证明过程中,用了哪些定理(写出两个定理即可);
(2)在上述分析、证明过程中,主要用到了三种数学思想的哪一种?选出一个填入后面的括号内
( )
①数形结合思想 ②转化思想 ③分类讨论思想
答案:②转化思想
(3)用三角形内角平分线性质定理解答问题:已知 AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线,AB=5 cm,AC
=4 cm,BC=7 cm,求 BD 的长。
答案:
9
35 cm
评注:本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。
跟踪训练:
一、填空题:
1、如图,∠A=5 是 AB、AC 的垂直平分线的交点,那么∠OCB= 。
2、如图,已知 AB=AC,∠A=440,AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D,则∠DBC= 。
第 1 题图
O
CB
A
第 2 题图
N
M
D
CB
A
第 3 题图
E D
C
B
A
第 4 题图
E
A
B C
D
3、如图,在△ABC中,∠C=900,∠B=150,AB的中垂线DE交BC于D点,E为垂足,若BD=8,则AC= 。
4、如图,在△ABC 中,AB=AC,DE 是 AB 的垂直平分线,△BCE 的周长为 24,BC=10,则 AB= 。
5、如图,EG、FG 分别是∠MEF 和∠NFE 的角平分线,交点是 G,BP、CP 分别是∠MBC 和∠NCB 的角平分线,
交点是 P,F、C 在 AN 上,B、E 在 AM 上,若∠G=680,那么∠P= 。
填空第 5 题图
G
P
MEB
N
C
F
A
选择第 1 题图
F ED
CB
A
选择第 2 题图
432
1
D
C
BA
二、选择题:
1、如图,△ABC 的角平分线 CD、BE 相交于点 F,且∠A=600,则∠BFC 等于( )
A、800 B、1000 C、1 D、1400
2、如图,△ABC 中,∠1=∠2,∠3=∠4,若∠D=360,则∠C 的度数为( )
A、8 B、7 C、6 D、5、某三角形有一个外角平分线平行于三角形
的一边,而这三角形另一边上的中线分周长为 2∶3 两部分,若这个三角形的周长为 30cm,则此三角形
三边长分别是( )
A、8 cm、8 cm、14cm B、12 cm、12 cm、6cm
C、8 cm、8 cm、14cm 或 12 cm、12 cm、6cm D、以上答案都不对
4、如图,Rt△ABC 中,∠C=900,CD 是 AB 边上的高,CE 是中线,CF 是∠ACB
的平分线,图中相等的锐角为一组,则共有( )
A、0 组 B、2 组
C、3 组 D、4 组
5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是( )
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
三、解答题:
1、如图,Rt△ABC 的∠A 的平分线与过斜边中点 M 的垂线交于点 D,求证:MA=MD。
第 1 题图
M
D
C
B
A
第 2 题图
E
F
D CB
A
第 3 题图
E
F
D CB
A
2、在△ABC 中,AB≠AC,D、E 在 BC 上,且 DE=EC,过 D 作 DF∥BA 交 AE 于点 F,DF=AC,求证:AE
平分∠BAC。
3、如图,在△ABC 中,∠B=22.50,∠C=600,AB 的垂直平分线交 BC 于点 D,BD= 26 ,AE⊥BC 于
点 E,求 EC 的长。
4、如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=900,AC=BC,D 为 BC 的中点,CE⊥AD,垂足为 E,BF∥AC 交 CE 的
延长线于点 F,求证 AB 垂直平分 DF。
第 4 题图
E
F
D
C
BA
参考答案
一、填空题:
1、380;2、240;3、4;4、14;5、680
二、选择题:CBCDB
三、解答题:
1、过 A 作 AN⊥BC 于 N,证∠D=∠DAM;
2、延长 FE 到 G,使 EG=EF,连结 CG,证△DEF≌△CEG
3、连结 AD,DF 为 AB 的垂直平分线,AD=BD= 26 ,∠B=∠DAB=22.50
∴∠ADE=450,AE=
2
2 AD= 262
2 =6
又∵∠C=600
选择第 4 题图
E F D
C
BA
∴EC= 32
3
6
3
AE
4、证△ACD≌△CBF
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