资料简介
中考一轮复习之分式（一）
知识考点：
分式运算是初中代数计算的综合运用，它与整式运算相比，步骤增多，符号变化复杂，方法比较灵活。
了解分式的概念，熟练掌握分式的基本性质，并能灵活运用它进行分式的约分、通分及计算是解题的关键。
精典例题：
【例 1】
（1）当 x 为何值时，分式
2
1
2
2
xx
x 有意义？
（2）当 x 为何值时，分式
2
1
2
2
xx
x 的值为零？
分析：①判断分式有无意义，必须对原分式进行讨论而不能讨论化简后的分式；②在分式
B
A 中，若 B
＝0，则分式
B
A 无意义；若 B≠0，则分式
B
A 有意义；③分式
B
A 的值为零的条件是 A＝0 且 B≠0，两者缺
一不可。
答案：（1） x ≠2 且 x ≠－1；（2） x ＝1
【例 2】计算：
（1）
2
122
42
aaa
a
（2） 22
2
xx
x
（3）
xx
x
x
x
x 2
4
2
121 2
分析：（1）题是分式的乘除混合运算，应先把除法化为乘法，再进行约分，有乘方的要先算乘方，
若分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式；（2）题把 2 x 当作整体进行计算较为简便；
（3）题是分式的混合运算，须按运算顺序进行，结果要化为最简分式或整式。
答案：（1）
2
1
a
；（2）
2
4
x
；（3）
1
2
x
x
【例 3】计算：
（1）
x
yxyxx
yx
yxx
3
2
3
2
（2） 42 1
4
1
2
1
1
1
1
xxxx
分析：对于特殊题型，可根据题目特点，选择适当的方法，使问题简化。（1）题可以将 yx 看作
一个整体 yx ，然后用分配律进行计算；（2）题可采用逐步通分的方法，即先算
xx 1
1
1
1 ，用其
结果再与 21
2
x
相加，依次类推。
答案：（1）
yx
x
2 ；（2） 81
8
x
探索与创新：
【问题】先阅读下列文字，再解答下列问题：
初中数学课本中有这样一段叙述：“要比较 a 与b 的大小，可先求出 a 与b 的差，再看这个差是正数、
负数还是零。”由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以了。
试问：甲乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同），甲每次购买粮食
100 千克，乙每次购粮用去 100 元。
（1）假设 x 、 y 分别表示两次购粮的单价（单位：元／千克）。试用含 x 、 y 的代数式表示：甲两次
购买粮食共需付款 元；乙两次共购买 千克的粮食；若甲两次购粮的平均单价
为每千克 1Q 元，乙两次购粮的平均单价为每千克 2Q 元，则 1Q ＝ ； 2Q ＝ 。
（2）规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲乙两人的购粮方式哪一
个更合算些？并说明理由。
解：（1）第一次购买粮食付款 x100 元，第二次购买粮食付款 y100 元，两次共付款 yx 100100 元。
乙第一次购买粮食
x
100 千克，第二次购买粮食
y
100 千克，故两次共购买粮食
yx
100100 千克。
∵平均单价＝
两次购买粮食的重量和
两次购买粮食的总金额
∴ 1Q ＝
100100
100100
yx ＝
2
yx ； 2Q ＝
yx
100100
100100
＝
yx
xy
2
（2）要判断谁更合算，就是判断 1Q 、 2Q 的大小，小的更合算些。
∵ 1Q － 2Q ＝
2
yx －
yx
xy
2 ＝
yx
yx
2
2
且 x ≠ y
∴ 2yx ＞0 而 yx 2 ＞0
∴ 1Q － 2Q ＞0
故 1Q ＞ 2Q
∴乙的购粮方式更合算。
跟踪训练：
一、填空题：
1、当 x 时，分式
4
2
2
x
x 有意义。
当 x 时，分式
1
872
x
xx 的值为零。
当 x 时，分式
x
x
612
1 2
的值为负数。
当 x 时，分式
x
x
32
2
的值为－1。
2、计算：
①
x
x
1
12
＝ 。
② 2
32
x
y
x
y
y
x
＝ 。
③
mn
n
nm
m
22
＝ 。
④ 11
12
aa
a ＝ 。
3、已知 311
yx
。则分式
yxyx
yxyx
2
232 的值为 。
4、若 x ＜0，则
3
1
3
1
xx
＝ 。
5、若分式
1x
x 的值是整数，则整数 x 的值是 。
6、请你先化简，再选一个使原式有意义，而你又喜爱的数值代入求值：
1
1 2
2
23
x
x
xx
xx ＝ 。
二、选择题：
1、在代数式
13 x
x 、
2
12 x 、 2
3 yx 、
2
3
a
ba 、
1
12
x
x 、
a 中，分式的个数是（ ）
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
2、已知
96
32
2
2
xx
xx 的值为零，则 2x 的值是（ ）
A、－1 或
9
1 B、1 或
9
1 C、－1 D、1
3、甲瓶盐水含盐量为
m
1 ，乙瓶盐水含盐量为
n
1 ，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水的含
盐量为（ ）
A、
mn
nm
2
B、
mn
nm C、
mn
1 D、随所取盐水重量而定
三、计算题：
1、
2
522
3
xxx
x
2、
42
1
444
1
22
xx
x
xx
3、
12 22
2
22
n
mn
nm
nmn
nmnm
nm
4、
2
1
1
1
1
1
2
84
22
2
aaa
a
a
a
aa
aa
四、阅读下面题目的计算过程：
xx
x
1
2
1
3
2 ＝
11
12
11
3
xx
x
xx
x ①
＝ 123 xx ②
＝ 223 xx ③
＝ 1 x ④
（1）上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号 。
（2）错误原因是 。
（3）本题的正确结论是 。
五、问题探索：
（1）已知一个正分数
m
n （ m ＞ n ＞0），如果分子、分母同时增加 1，分数的值是增大还是减小？请
证明你的结论。
（2）若正分数
m
n （ m ＞ n ＞0）中分子和分母同时增加 2，3… k （整数 k ＞0），情况如何？
（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小
于 10％，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光
条件是变好还是变坏？请说明理由。
参考答案
一、填空题：
1、≠±2，＝8，＞2，＝1 或 2；2、 1x ， x ， nm ，
1
2
a
a ；3、
5
3 ；
4、
9
2
2 x
x ；5、2 或 0；6、略
二、选择题：CDA
三、计算题：
1、
3
1
x
；2、 222
4
x
x ；3、
nm
mn
；4、
2
1
a
四、阅读题：
（1）②；（2）去了分母；（3）
x1
1
五、问题探索：
（1）
m
n ＜
1
1
m
n （ m ＞ n ＞0）
证明：∵
m
n －
1
1
m
n ＝ 1
mm
mn ＜0（条件是 m ＞ n ＞0）
∴
m
n ＜
1
1
m
n
（2）
m
n ＜
km
kn
（ m ＞ n ＞0， k ＞0）
（3）设原来的地板面积和窗户面积分别为 x 、 y ，增加面积为 a ，则由（2）知：
ax
ay
＞
x
y ，所以
住宅的采光条件变好了。
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