资料简介
三角形的有关概念
知识考点:
理解三角形三边的关系及三角形的主要线段(中线、高线、角平分线)和三角形的内角和定理。关键
是正确理解有关概念,学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。
精典例题:
【例 1】已知一个三角形中两条边的长分别是 a 、 b ,且 ba ,那么这个三角形的周长 L 的取值范
围是( )
A、 bLa 33 B、 aLba 2)(2
C、 abLba 262 D、 baLba 23
分析:涉及构成三角形三边关系问题时,一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。
答案:B
变式与思考:在△ABC 中,AC=5,中线 AD=7,则 AB 边的取值范围是( )
A、1<AB<29 B、4<AB<24 C、5<AB<19 D、9<AB<19
评注:在解三角形的有关中线问题时,如果不能直接求解,则常将中线延长一倍,借助全等三角形知
识求解,这也是一种常见的作辅助线的方法。
【例 2】如图,已知△ABC 中,∠ABC=450,∠ACB=610,延长 BC 至 E,使 CE=AC,延长 CB 至 D,使
DB=AB,求∠DAE 的度数。
分析:用三角形内角和定理和外角定理,等腰三角形性质,求出∠D+∠E 的度数,即可求得∠DAE 的
度数。
略解:∵AB=DB,AC=CE
∴∠D=
2
1 ∠ABC,∠E=
2
1 ∠ACB
∴∠D+∠E=
2
1 (∠ABC+∠ACB)=530
∴∠DAE=1800-(∠D+∠E)=1270
探索与创新:
【问题一】如图,已知点 A 在直线l 外,点 B、C 在直线l 上。[
(1)点 P 是△ABC 内任一点,求证:∠P>∠A;
(2)试判断在△ABC 外,又和点 A 在直线l 的同侧,是否存在一点 Q,使∠BQC>∠A,并证明你的结
论。
nm
ll
问题一图
CB
A
CB
A
分析与结论:
(1)连结 AP,易证明∠P>∠A;
(2)存在,怎样的角与∠A 相等呢?利用同弧上的圆周角相等,可考虑构造△ABC 的外接⊙O,易知
弦 BC 所对且顶点在弧 A m B,和弧 A n C 上的圆周角都与∠A 相等,因此点 Q 应在弓形 A m B 和 A n C 内,利
用圆的有关性质易证明(证明略)。
【问题二】如图,已知 P 是等边△ABC 的 BC 边上任意一点,过 P 点分别作 AB、AC 的垂线 PE、PD,垂
足为 E、D。问:△AED 的周长与四边形 EBCD 的周长之间的关系?
例 2 图
ED CB
A
分析与结论:
(1)DE 是△AED 与四边形 EBCD 的公共边,只须证明 AD+AE=BE+BC+CD
(2)既有等边三角形的条件,就有 600 的角可以利用;又有垂线,可造成含 300 角的直角三角形,故
本题可借助特殊三角形的边角关系来证明。
略解:在等边△ABC 中,∠B=∠C=600
又∵PE⊥AB 于 E,PD⊥AC 于 D
∴∠BPE=∠CPD=300
不妨设等边△ABC 的边长为 1,BE= x ,CD= y ,那么:BP= x2 ,PC=
y2 ,
2
1 yx ,而 AE= x1 ,AD= y1
∴AE+AD=
2
3)(2 yx
又∵BE+CD+BC=
2
31)( yx
∴AD+AE=BE+BC+CD
从而 AD+AE+DE=BE+BC+CD+DE
即△AED 的周长等于四边形 EBCD 的周长。
评注:本题若不认真分析三角形的边角关系,而想走“全等三角形”的道路是很难奏效的。
跟踪训练:
一、填空题:
1、三角形的三边为 1, a1 ,9,则 a 的取值范围是 。
2、已知三角形两边的长分别为 1 和 2,如果第三边的长也是整数,那么第三边的长为 。
3、在△ABC 中,若∠C=2(∠A+∠B),则∠C= 度。
4、如果△ABC 的一个外角等于 1500,且∠B=∠C,则∠A= 。
5、如果△ABC 中,∠ACB=900,CD 是 AB 边上的高,则与∠A 相等的角是 。
6、如图,在△ABC 中,∠A=800,∠ABC 和∠ACB 的外角平分线相交于点 D,那么∠BDC= 。
7、如图,CE 平分∠ACB,且 CE⊥DB,∠DAB=∠DBA,AC=18cm,△CBD 的周长为 28 cm,则 DB= 。
8、纸片△ABC 中,∠A=650,∠B=750,将纸片的一角折叠,使点 C 落在△ABC 内(如图),若∠1=则∠2
的度数为 。
9、在△ABC 中,∠A=500,高 BE、CF 交于点 O,则∠BOC= 。
10、若△ABC 的三边分别为 a 、b 、c ,要使整式 0))(( mcbacba ,则整数 m 应为 。
第 6 题图
FE D
CB
A
第 7 题图
E
D
C
BA
二、选择题:
1、若△ABC 的三边之长都是整数,周长小于 10,则这样的三角形共有( )
A、6 个 B、7 个 C、8 个 D、9 个
2、在△ABC 中,AB=AC,D 在 AC 上,且 BD=BC=AD,则∠A 的度数为( )
A、300 B、360 C、450 D、7、等腰三角形一腰上的中线分周
问题二图
E
D
P CB
A
长为 15 和 12 两部分,则此三角形底边之长为( )
A、7 B、11 C、7 或 11 D、不能确定
4、在△ABC 中,∠B=500,AB>AC,则∠A 的取值范围是( )
A、00<∠A<1800 B、00<∠A<800
C、500<∠A<1300 D、800<∠A<1300
5、若 、 、 是三角形的三个内角,而 x , y , z ,那么 x 、 y 、 z 中,锐
角的个数的错误判断是( )
A、可能没有锐角 B、可能有一个锐角
C、可能有两个锐角 D、最多一个锐角
6、如果三角形的一个外角等于它相邻内角的 2 倍,且等于它不相邻内角的 4 倍,那么这个三角形一定是
( )
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、正三角形
三、解答题:
1、有 5 根木条,其长度分别为 4,8,8,10,12,用其中三根可以组成几种不同形状的三角形?
2、长为 2,3,5 的线段,分别延伸相同长度的线段后,能否组成三角形?若能,它能构成直角三角
形吗?为什么?
3、如图,在△ABC 中,∠A=960,延长 BC 到 D,∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于 1A ,∠ 1A BC 与∠ 1A CD
的平分线相交于 2A ,依此类推,∠ 4A BC 与∠ 4A CD 的平分线相交于 5A ,则∠ 5A 的大小是多少?
4、如图,已知 OA= a ,P 是射线 ON 上一动点(即 P 可在射线 ON 上运动),∠AON=600,填空:
(1)当 OP= 时,△AOP 为等边三角形;
(2)当 OP= 时,△AOP 为直角三角形;
(3)当 OP 满足 时,△AOP 为锐角三角形;
(4)当 OP 满足 时,△AOP 为钝角三角形。
2A
1A
第 3 题图
DCB
A
a
060
第 4 题图
NPO
A
一、填空题:
1、 79 a ;2、2;3、14、300 或 15、∠DCB;6、500;7、8cm;
8、600;9、1300;10、偶数。
二、选择题:CBCBCB
三、解答题:
1、6 种(4、8、8;4、8、10;8、8、10;8、8、12;8、10、12、4、10、12)
2、可以,设延伸部分为 a ,则长为 a2 , a3 , a5 的三条线段中, a5 最长,
∵ 0)5()3()2( aaaa
∴只要 0a ,长为 a2 , a3 , a5 的三条线段可以组成三角形
设长为 a5 的线段所对的角为 ,则 为△ABC 的最大角
又由 12)5()3()2( 2222 aaaa
当 0122 a ,即 32a 时,△ABC 为直角三角形。
3、30
4、(1) a ;(2) a2 或
2
a ;(3)
2
a <OP< a2 ;(4)0<OP<
2
a 或 OP> a2
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