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天天资源网 / 初中数学 / 一轮复习 / 中考数学:一轮考点复习 全等三角形

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全等三角形 知识考点: 掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题,灵活运用三角形全等的三个判定定理来 证明三角形全等。 精典例题: 【例 1】如图,已知 AB⊥BC,DC⊥BC,E 在 BC 上,AE=AD,AB=BC。求证:CE=CD。 分析:作 AF⊥CD 的延长线(证明略) 评注:寻求全等的条件,在证明两条线段(或两个角)相等时,若它们所在的两个三角形不全等,就 必须添加辅助线,构造全等三角形,常见辅助线有:①连结某两个已知点;②过已知点作某已知直线的平 行线;③延长某已知线段到某个点,或与已知直线相交;④作一角等于已知角。 例 1 图 F E D CB A 例 2 图 21 E D C B A 问题一图 P E 43 21 CB A 【例 2】如图,已知在△ABC 中,∠C=2∠B,∠1=∠2,求证:AB=AC+CD。 分析:采用截长补短法,延长 AC 至 E,使 AE=AB,连结 DE;也可在 AB 上截取 AE=AC,再证明 EB= CD(证明略)。 探索与创新: 【问题一】阅读下题:如图,P 是△ABC 中 BC 边上一点,E 是 AP 上的一点,若 EB=EC,∠1=∠2, 求证:AP⊥BC。 证明:在△ABE 和△ACE 中,EB=EC,AE=AE,∠1=∠2 ∴△ABE≌△ACE(第一步) ∴AB=AC,∠3=∠4(第二步) ∴AP⊥BC(等腰三角形三线合一) 上面的证明过程是否正确?若正确,请写出每一步的推理依据;若不正确,请指出关键错在哪一步, 并写出你认为正确的证明过程。 略解:不正确,错在第一步。 正确证法为: ∵BE=CE ∴∠EBC=∠ECB 又∵∠1=∠2 ∴∠ABC=∠ACB,AB=AC ∴△ABE≌△ACE(SAS) ∴∠3=∠4 又∵AB=AC ∴AP⊥BC 评注:本题是以考查学生练习中常见错误为阅读材料设计而成的阅读性试题,其目的是考查学生阅读 理解能力,证明过程中逻辑推理的严密性。阅读理解题是近几年各地都有的新题型,应引起重视。 【问题二】众所周知,只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等,你能想办法安排和外理这 三个条件,使这两个三角形全等吗? 请同学们参照下面的方案(1)导出方案(2)(3)(4)。解:设有两边和一角对应相等的两个三角形, 方案(1):若这个角的对边恰好是这两边中的大边,则这两个三角形全等。方案(2):若这个角是直角, 则这两个三角形全等。方案(3):若此角为已知两边的夹角,则这两个三角形全等。 评注:这是一道典型的开放性试题,答案不是唯一的。如方案(4):若此角为钝角,则这两个三角形 全等。(5):若这两个三角形都是锐解(钝角)三角形,则这两个三角形全等。能有效考查学生对三角形 全等概念的掌握情况,这类题目要求学生依据问题提供的题设条件,寻找多种途径解决问题。本题要求学 生着眼于弱化题设条件,设计让命题在一般情况不成立,而特殊情况下成立的思路。 跟踪训练: 一、填空题: 1、若△ABC≌△EFG,且∠B=600,∠FGE-∠E=560,则∠A= 度。 2、如图,AB∥EF∥DC,∠ABC=900,AB=DC,那么图中有全等三角形 对。 3、如图,在△ABC 中,∠C=900,BC=40,AD 是∠BAC 的平分线交 BC 于 D,且 DC∶DB=3∶5,则点 D 到 AB 的距离是 。 第 2 题图 F E D CB A 第 3 题图 DC B A 第 4 题图 HE D CB A 4、如图,在△ABC 中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为 D、E,AD、CE 交于点 H,请你添加一个适当的条 件: ,使△AEH≌△CEB。 5、如图,把一张矩形纸片 ABCD 沿 BD 对折,使 C 点落在 E 处,BE 与 AD 相交于点 O,写出一组相等的线段 (不包括 AB=CD 和 AD=BC)。 6、如图,∠E=∠F=900,∠B=∠C,AE=AF。给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM; ④CD=DN。其中正确的结论是 (填序号)。 二、选择题: 1、如图,AD⊥AB,EA⊥AC,AE=AD,AB=AC,则下列结论中正确的是( ) A、△ADF≌△AEG B、△ABE≌△ACD C、△BMF≌△CNG D、△ADC≌△ABE 填空第 5 题图 O E D CB A 填空第 6 题图 2 1 F N M E D C BA 选择第 1 题图 M GF ED CB A 2、如图,AE=AF,AB=AC,EC 与 BF 交于点 O,∠A=600,∠B=250,则∠EOB 的度数为( ) A、600 B、700 C、750 D、850 3、如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等,那么这两个三角形的第三边所对的角( ) A、相等 B、不相等 C、互余 D、互补或相等 选择第 2 题图 O F E C B A 选择第 4 题图 P DCB A 4、如图,在△ABC 中,AD 是∠A 的外角平分线,P 是 AD 上异于 A 的任意一点,设 PB= m ,PC= n ,AB= c ,AC=b ,则 )( nm  与 )( cb  的大小关系是( ) A、 nm  > cb  B、 nm  < cb  C、 nm  = cb  D、无法确定 三、解答题: 1、如图,∠1=∠2,∠3=∠4,EC=AD。求证:△ABE 和△BDC 是等腰三角形。 解答题第 1 题图 D 4 3 21 E C BA 解答题第 2 题图 DF E C B A 2、如图,AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点 F 是 CD 的中点。 (1)求证:AF⊥CD; (2)在你连结 BE 后,还能得出什么新结论?请再写出两个。 3、(1)已知,在△ABC 和△DEF 中,AB=DE,BC=EF,∠BAC=∠EDF=1000,求证:△ABC≌△DEF; (2)上问中,若将条件改为 AB=DE,,BC=EF,∠BAC=∠EDF=700,结论是否还成立,为什么? 4、如图,已知∠MON 的边 OM 上有两点 A、B,边 ON 上有两点 C、D,且 AB=CD,P 为∠MON 的平分线 上一点。问: (1)△ABP 与△PCD 是否全等?请说明理由。 (2)△ABP 与△PCD 的面积是否相等?请说明理由。 解答题第 5 题图 D E F C B A 5、如图,已知 CE⊥AB,DF⊥AB,点 E、F 分别为垂足,且 AC∥BD。 (1)根据所给条件,指出△ACE 和△BDF 具有什么关系?请你对结论予以证明。 (2)若△ACE 和△BDF 不全等,请你补充一个条件,使得两个三角形全等,并给予证明。 参考答案 一、填空题: 1、32;2、3;3、15;4、AH=BC 或 EA=EC 或 EH=EB 等; 5、DC=DE 或 BC=BE 或 OA=OE 等;6、①②③ 二、选择题:BBDA 三、解答题: 1、略; 2、(1)略;(2)AF⊥BE,AF 平分 BE 等; 3、(1)略;(2)不成立,举一反例即能说明; 4、(1)不一定全等,因△ABP 与△PCD 中,只有 AB=CD,而其它角和边都有可能不相等,故两三角形 不一定全等。(2)面积相等,因为 OP 为∠MON 平分线上一点,故 P 到边 AB、CD 上的距离相等,即△ABP 中 AB 边上的高与△PCD 中 CD 边上的高相等,又根据 AB=CD(即底边也相等)从而△ABP 与△PCD 的面积 相等。 5、(1)△ACE 和△BDF 的对应角相等;(2)略 查看更多

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