资料简介
第十八章 平行四边形
18.2 矩形(能力提升)
【要点梳理】
要点一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
要点诠释:矩形定义的两个要素:①是平行四边形;②有一个角是直角.即矩形首先是一个
平行四边形,然后增加一个角是直角这个特殊条件.
要点二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面:
1.矩形具有平行四边形的所有性质;
2.矩形的对角线相等;
3.矩形的四个角都是直角;
4.矩形是轴对称图形,它有两条对称轴.
要点诠释:(1)矩形是特殊的平行四边形,因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将
矩形分成完全全等的两部分.
(2)矩形也是轴对称图形,有两条对称轴(分别通过对边中点的直线).对称轴的交点就是
对角线的交点(即对称中心).
(3)矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质,从而矩形的性质可以归
结为从三个方面看:从边看,矩形对边平行且相等;从角看,矩形四个角都是直角;从对角
线看,矩形的对角线互相平分且相等.
要点三、矩形的判定
矩形的判定有三种方法:
1.定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
要点诠释:在平行四边形的前提下,加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行
四边形是矩形.
要点四、直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
要点诠释:(1)直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角
形,对一般三角形不可使用.
(2)学过的直角三角形主要性质有:①直角三角形两锐角互余;②直角三角形两直角边的
平方和等于斜边的平方;③直角三角形中 30°所对的直角边等于斜边的一半.
(3)性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
【典型例题】
类型一、矩形的性质
例 1、如图所示,已知四边形 ABCD 是矩形,△PBC 和△QCD 都是等边三角形,且点 P 在
矩形上方,点 Q 在矩形内.求证:(1)∠PBA=∠PCQ=30°;(2)PA=PQ.
【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于 90°,利用条件△PBC 和△QCD 都是等边三角形,
容易求得∠PBA 和∠PCQ 度数;(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB≌△
PQC(SAS),从而证得 PA=PQ.
【总结升华】利用矩形的性质,可以得到许多的结论,在解题时,针对问题列出有用的结论
作论据即可.
举一反三:
【变式】如图所示,把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠,使点 B 落 在边
AD 上的点 B处,点 A 落在点 A处.
(1)求证: B E BF ;
(2)设 AE= a ,AB=b ,BF= c ,试猜想 a b c、 、 之间有何等 量 关
系,并给予证明.
例 2、如图所示,矩形 ABCD 中,AC、BD 相交于 O,AE 平分∠BAD 交 BC 于 E,∠CAE=
15°,求∠BOE 的度数.
【思路点拨】∠BOE 在△BOE 中,易知∠OBE=30°,直接求∠BOE 有困难,转为考虑证 BO
=BE.由 AE 平分∠BAD 可求∠BAE=45°得到 AB=BE,进一步可得等边△AOB.有 AB=
OB.证得 BO=BE.
【总结升华】矩形被每条对角线分成两个直角三角形,被两条对角线分成四个等腰三角形,
因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决.
知识点 3. 矩形的性质综合--角度--边长计算-勾股定理计算
1.如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,过点 C 作 CE⊥BD,垂足为 E.已
知∠BCE=4∠DCE,则∠COE=______度
2.如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC 的垂直平分线分别交 AB,CD 于点 E,F,连接 AF,
CE,如果∠BCE=26°,则∠CAF=______度。
3.如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB=3,AC 的垂直平分线交 BC 于点 E,连接 AE,若 AE 平
分∠BAC,则 AC 的长是( )
A.2 B.6 C.4 D.5
4.如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,过点 A 作 AE⊥BD,垂足为点 E,
若∠EAO=∠OAD,BE=2,则 AC=______
5.如图,矩形 ABCD 中,AB<BC,AC、BD 交于点 O,若 AB=AO=4,则 S 矩形 ABCD=______
6.如图,矩形 ABCD 中,BC>AB,对角线 AC、BD 交于 O 点,且 AC=10,过 B 点作 BE⊥AC
于 E 点,若 BE=4,则 AD=______
类型二、矩形的判定
例 3、如图,AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE.
(1)求证:△ABE≌△ACD;
(2)求证:四边形 BCDE 是矩形.
【思路点拨】(1)利用 SAS 证得两个三角形全等即可;(2)要证明四边形 BCED 为矩形,
则要证明四边形 BCED 是平行四边形,且对角线相等.
【总结升华】本题主要考查矩形的判定,证明对角线相等的平行四边形是矩形,解题的关键
是熟练掌握矩形的判定方法.
举一反三:
【变式】矩形的判定定理--条件选择 利用矩形判定定理进行证明
1.如图,四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,下列条件在,能判定四边形 ABCD 是矩形
的是( )
A.AB∥DC,AB=CD B.AB∥CD,AD∥BC C.AC=BD,AC⊥BD D.OA=OB=OC=OD
2.如图所示,四边形 ABCD 中,对角线 AC, BD 相交于点 O,下列判断中,能判断四边形 ABCD 是
矩形的有______个. (填写数字)
①:AB=CD,AD=BC,∠BAD=90∘
②:OA=OB=OC=OD③:AB∥CD 且 AB=CD,AC=BD
④:AB∥CD 且 AB=CD,OA=OC,OB=OD
3.平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是( ).
A 一般平行四边形 B 一般四边形 C 对角线垂直的四边形 D 矩形
4.如图,在平行四边形 ABCD 中,点 O 是边 BC 的中点,连接 DO 并延长,交 AB 的延长线
于点 E,连接 BD、EC.若∠BOD=100∘,则当∠A=______度时,四边形 BECD 是矩形.
[5]如图,四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,AO=CO,BO=DO 中,且
∠ABC+∠ADC=180°.
(1)求证:四边形 ABCD 是矩形.
(2)若∠ADF:∠FDC=3:2,DF⊥AC,则∠BDF 的度数是多少?
[6]. 矩形的判定与性质综合--勾股定理计算
1.如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,AC⊥⊥BC,延长 BC 到点 E,
使得 BC=CE,连结 DE.若 AC=4,BD=6,则 CD=______.
2.如图,已知平行四边形 ABCD,延长 AB 到 E 使 BE=AB,连接 BD,ED,EC,若 ED=AD.
(1)四边形 BECD 是______(填“矩形”“菱形”“正方形”);
(2)连接 AC,若 AD=4,CD=2,求 AC=______.
.
类型三、直角三角形斜边上的中线的性质
例 4、如图所示,BD、CE 是△ABC 两边上的高,G、F 分别是 BC、DE 的中点.
求证:FG⊥DE.
【总结升华】直角三角形斜边中线的性质是依据矩形的对角线互相平分且相等推出来的.根
据这个性质.又可以推出直角三角形的斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形.温
馨提示:若题目中给出直角三角形斜边上的中点,常设法用此性质解决问题.
举一反三:
【变式】如图,∠MON=90°,矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM,ON 上,当 B 在边
ON 上运动时,A 随之在边 OM 上运动,矩形 ABCD 的形状保持不变,其中 AB=2,BC=1,
运动过程中,点 D 到点 O 的最大距离为( )
A. 2 1 B. 5 C.
145
5 D.
5
2
[变式]直角三角形斜边上的中线的性质定理
1.如图,△ABC 中,∠ACB=90°,D 是 AB 的中点,则下列结论正确的有______个。
① BC=
1
2 AB②CD=
1
2 AB③AC2+BC2=AB2④点 D 在线段 BC 的垂直平分线上
2.如图,在四边形 ACBD 中,∠ACB=∠ADB=90°,E 是 AB 上的中点,则图中的与线段 CE
长度相等的线段有______个(CE 除外)。
知识点 2.直角三角形斜边上的中线的性质--求线段长--求角度--共斜边型
1.如图,在△ABC 中,D 是 BC 上一点,AB=AD,E,F 分别是 AC,BD 的中点,EF=2,
则 AC 的长是______.
2.如图:△ABC 中,AD 是高线,CE 是中线,且 AB=8cm,G 是 CE 的中点,且 DG⊥CE,
G 为垂足,则 CD=______cm.
3.在直角三角形 ABC 中,∠ACB=90°,CD 是斜边 AB 上的中线,且 BC=CD.则∠B=( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.如图,在△ABC 中,∠B=50∘,CD⊥AB 于点 D,∠BCD 和∠BDC 的角平分线相交于点 E,
F 为边 AC 的中点,CD=CF,则 ∠ACD+∠CED=______°
5.如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90°,∠DCB=90°,E、F 分别是 BD、AC 的中点,则
下列结论错误的为( )
A.EF⊥AC B.EF 平分∠AECC△AE C.为直角三角形 D.△AEC 为等腰三角形
6.如图,在△ABC 中,BD⊥AC 于 D,CE⊥AB 于 E,F 是 BC 的中点,∠EFD=50°,则∠DEF
的度数是( )
A.50° B.60° C.65° D.70°
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