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天天资源网 / 高中数学 / 历年真题 / 江西省南昌县莲塘第二中学高一上学期期末考试数学试卷

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2020-2021 学年第一学期期末考试 高一数学试题 考试时间:120 分钟;总分:150 分 一.选择题(共 12 小题) 1.已知角 α 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点 ,那么 cos( ﹣ α )等于( ) A. B. C. D. 2.若 2sinx﹣cos( +x)=2,则 cos2x=( ) A. B. C.﹣ D.﹣ 3.已知两个单位向量 , 的夹角为 θ ,则下列结论不正确的是( ) A. 在 方向上的投影为 cos θ B. = C.| • |=1 D.( + )⊥( ﹣ ) 4.在平行四边形 ABCD 中,E 为对角线 AC 上一点,且 4 ,则 =( ) A. B. C. D. 5.若 =2,则 sin θ cos θ 的值是( ) A. B. C.± D. 6.若 sin θ ﹣cos θ = ,且 θ∈ ( , π ),则 sin( π ﹣ θ )﹣cos( π ﹣ θ )=( ) A.﹣ B. C.﹣ D. 7.已知实数 a=tan(sin ),b=tan(cos ),c=tan(tan ),则( ) A.b<a<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a 8.已知向量 =(﹣1,2), =(2m﹣1,1),且 ⊥ ,则| +2 |=( ) A.5 B.4 C.3 D.2 9.已知非零向量 , ,若| |= | |, ⊥( ﹣2 ),则 与 的夹角是( ) A. B. C. D. 10.已知函数 ,则下列说法正确的是( ) A.f(x)的最小正周期为 2 πB.f(x)关于点 对称 C.f(x)在 上单调递减 D.f(x)的图象关于直线 对称 11.已知点 O 为△ABC 内一点,满足 ,若 ,则 λ =( ) A. 2 B. C. D.﹣2 12.已知函数 f(x)=sin( ω x+ φ ),其中 ω >0,| φ |≤ , 为 f(x)的零点:且 f(x) ≤|f( )|恒成立,f(x)在区间(﹣ )上有最小值无最大值,则 ω 的最大值 是( ) A.13 B.15 C.17 D.19 二、填空题 13.一个扇形的面积为 4,周长为 8,则这个扇形的圆心角为 . 14.在△ABC 中,tanA,tanB 是方程 2x2+3x+7=0 的两根,则 tanC= . 15.在边长为 4 的等边△ABC 中, = , = ,则 = . 16.已知函数 ,则 f(1)+f(2)+…+f(2020) = . 三、解答题 17.已知 =(1,3), =(3,m), =(﹣1,n),且 ∥ . (1)求实数 n 的值; (2)若 ⊥ ,求实数 m 的值. 18.若角 α 的终边上有一点 P(m,﹣4),且 cos α =﹣ . (1)求 m 的值; (2)求 的值. 19 已知 α∈ (0, ), β∈ (﹣ ,0),cos( ﹣ α )= ,cos( β + )= . (Ⅰ)求 sin2 α 的值; (Ⅱ)求 cos( α + β )的值. 20.已知函数 的图象如图所 示; (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 的单调递减区间. 21.已知函数 f(x)= sin(2x+ )﹣2 x. (1)求 f(x)的最小正周期和对称轴; (2)当 时,求 f(x)的值域. 22. 设 O 为△ABC 的重心,过 O 作直线 l 分别交线段 AB,AC(不与端点重合) 于 M,N.若 , , (1)求 + 的值; (2)求 λ • μ 的取值范围. M N O A 2020-2021 学年第一学期期末考试 高一数学试题参考答案 一.选择题(共 12 小题) 1.D 2.A 3.C 4.D 5.B. 6.B 7.A 8.A 9.C 10.C. 11. D. 解:如图,设 ,作平行四边形 OAME,其中对角线 OM 与底边 AB 相交于点 F, 则 , 易知△OBF∽△MFA,故 ,则 , 又 ,故 ,则 , ∴ , ∵ ∴ λ =﹣2. 12. B. 解:由题意知函数 f(x)=sin( ω x+ φ )( ω >0,| φ |≤ ), x= 为 y=f(x)图象的对称轴,x=﹣ 为 f(x)的零点, ∴ • = ,n ∈ N*,∴ ω =2n+1,n ∈ N*, f(x)在区间(﹣ , )上有最小值无最大值, ∴周期 T≥( + )= ,即 ≥ ,∴ ω ≤16. ∴要求 ω 的最大值,结合选项,先检验 ω =15, 当 ω =15 时,由题意可得﹣ ×15+ φ =k π , φ =﹣ ,函数为 y=f(x)=sin(15x﹣ ), 在区间(﹣ , )上,15x﹣ ∈ (﹣ , ), 此时 f(x)在 15x﹣ =﹣ 时取得最小值,∴ ω =15 满足题意. 则 ω 的最大值为 15, 二、填空题 13. 2. 14. . 15. 2. 16. 1010. 解:∵ = = = = . ∴f(1)= , f(2)= , f(3)= , f(4)= . ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)= . 又 f(x)的周期为 4. ∴f(1)+f(2)+…+f(2020)=500[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=505×2=1010. 三、解答题 17. 解:因为 =(1,3), =(3,m), =(﹣1,n),所以 = =(3, 3+m+n), (1)因为 ∥ .所以 ,即 ,解得 n=﹣3; (2)因为 = =(4,3+m), = =(2,m﹣3),又 ⊥ , 所以 • =0, 即 8+(3+m)(m﹣3)=0,解得 m=±1. 18. 解:(1)点 P 到原点的距离为 r=|OP|= 根据三角函数的概念可得 cos α = =﹣ ,得 m=﹣3,或 m=4(舍去). (2) = =sin α , 由(1)可得 r= =10,sin α = = , ∴原式=sin α = . 19.解:(Ⅰ)cos( ﹣ α )= ,得 sin2 α =cos2( ﹣ α )=2cos2( ﹣ α )﹣1=2× ﹣1=﹣ ; (Ⅱ)由 α∈ (0, ), β∈ (﹣ ,0),可得 ﹣ α∈ (0, ), β + ∈ (0, ), 则 sin( ﹣ α )= = = ; cos( β+ )= = = , 则 cos( α + β )=cos[( β + )﹣( ﹣ α )]=cos( ﹣ α )cos( β + )+sin[( ﹣ α )sin( β + )= × + × = . 20.解:(Ⅰ)由图知,A=2.T= π , ω = = =2, 由 2sin(2×0+ φ )=1,即 sin φ = , 又 φ∈ (0, ),所以 φ = 故 f(x)=2sin(2x+ ). (Ⅱ)g(x)=f(x﹣ )﹣f(x+ )=2sin[2(x﹣ )+ ]﹣2sin[2(x+ )+ ] =2sin2x﹣2sin(2x+ ) =2sin2x﹣2×( sin2x+ cos2x) =sin2x﹣ cos2x=2sin(2x﹣ ), 由 2k π + ≤2x﹣ ≤2k π + ,k ∈ Z, 得 k π + ≤x≤k π + ,k ∈ Z, ∴g(x)的单调递减区间是[k π + ,k π + ],k ∈ Z. 21.已知函数 f(x)= sin(2x+ )﹣2 x. (1)求 f(x)的最小正周期和对称轴; (2)当 时,求 f(x)的值域. 解:(1)f(x)= sin(2x+ )﹣2 x, = ( sin2x cos2x)﹣cos2x+1, = , =sin(2x+ ) , ∴f(x)的最小正周期 T= = π , 令 2x+ = ,则 x= ,k ∈ Z, 故 f(x)的最小正周期 T= π ,对称轴 x= ,k ∈ Z, (2) ,2x+ ∈ [ ], ∴sin(2x+ ) , 故 f(x)的值域为 . 22. 解:(1)连结 AO 并延长交 BC 于 P,则 P 是 BC 的中点, 则 , . 又 , , ∴ = , =( ) + . ∵M,O,Q 三点共线,故存在实数 t,使 =t ,即( ) + = . ∴ ,两式相除消去 t 得 1﹣3 λ =﹣ ,即 . (2)∵1﹣3 λ =﹣ ,∴ , ∵ λ , μ∈ (0,1),∴ ,解得 .∴ . ∴ λμ = = . ∴当 时, λμ 取得最小值 ,当 或 2 时, λμ 取得最大值 . ∴ λμ 的取值范围是[ , ). 查看更多

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