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天天资源网 / 初中数学 / 三轮冲刺 / 2021年九年级中考数学三轮综合复习专题冲刺:二次函数图像问题(一)

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2021 年九年级中考数学三轮综合复习专题冲刺: 二次函数图像问题(一) 1.如图,二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴正半轴交 于点 C,它的对称轴为直线 x=﹣1.则下列选项中正确的是( ) A.abc<0 B.4ac﹣b2>0 C.c﹣a>0 D.当 x=﹣n2﹣2(n 为实数)时,y≥c 2.如图,Rt△ODC 的直角顶点 D 在 y 轴上,DC 边上的点 P( ,2)在抛物线 y=ax2 上,将 Rt△ODC 绕点 O 逆时针旋转 90°,得到△OBA,点 A 恰好在抛物线上,则点 A 的坐标为( ) A.(﹣2,3) B.(﹣2,4) C.(﹣2,2 ) D.(﹣ ,2) 3.将二次函数 y=x2﹣5x﹣6 在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方,图象的其余部分不 变,得到一个新图象,若直线 y=2x+b 与这个新图象有 3 个公共点,则 b 的值为( ) A.﹣ 或﹣12 B.﹣ 或 2 C.﹣12 或 2 D.﹣ 或﹣12 4.已知直线 y=n 与二次函数 y= (x﹣2)2﹣1 的图象交于点 B,点 C,二次函数图象 的顶点为 A,当△ABC 是等腰直角三角形时,则 n 的值为( ) A.1 B. C.2﹣ D.2+ 5.如图,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴是直线 x=1,则以下四个结论 中:①abc>0,②2a+b=0,③4a+b2<4ac,④3a+c<0.正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知二次函数 y=ax2+bx+c 图象的对称轴为 x=1,其图象如图所示,现有下列结论: ①abc>0, ②b﹣2a<0, ③a﹣b+c>0, ④a+b>n(an+b),(n≠1), ⑤2c<3b. 正确的是( ) A.①③ B.②⑤ C.③④ D.④⑤ 7.如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交于 A、B 两点,其对称轴与 x 轴交于点 C,其中 A、C 两点的横坐标分别为﹣1 和 1,下列说法错误的是( ) A.abc<0 B.4a+c=0 C.16a+4b+c<0 D.当 x>2 时,y 随 x 的增大而减小 8.已知二次函数图象的对称轴为 x=2,图象经过点(2,3),且与一次函数的图象相交于 点(0,﹣1),而这个一次函数的图象与直线 y=3x 平行,两函数图象的交点坐标是 ( ) A.(0,﹣1),(1,2) B.(﹣1,0),(1,2) C.(﹣1,0),(1,﹣2) D.(2,﹣1),(0,0) 9.如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)交 x 轴于点 A,B,交 y 轴于点 C.若点 A 坐标为 (﹣4,0),对称轴为直线 x=﹣1,则下列结论错误的是( ) A.二次函数的最大值为 a﹣b+c B.a+b+c>0 C.b2﹣4ac>0 D.2a+b=0 10.在平面直角坐标系中,对于二次函数 y=(x﹣2)2﹣1,下列说法中错误的是( ) A.图形顶点坐标为(﹣2,﹣1),对称轴为直线 x=2 B.当 x<2 时,y 的值随 x 的增大而减小 C.它的图象可以由 y=x2 的图象向右平移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度得到 D.图象与 x 轴的两个交点之间的距离为 2 11.已知二次函数 y=x2+mx+n,当 x=0 和 x=2 时对应的函数值相等,则下列说法中不 正确的是( ) A.抛物线 y=x2+mx+n 的开口向上 B.抛物线 y=x2+mx+n 与 y 轴有交点 C.当 n>1 时,抛物线 y=x2+mx+n 与 x 轴有交点 D.若 P(﹣1,y1),Q(3,y2)是抛物线 y=x2+mx+n 上两点,则 y1=y2 12.若二次函数 y=|a|x2+bx+c 的图象过不同的五点 A(m,n),B(3﹣m,n),C (0,y1),D( ,y2),E(2,y3),则 y1,y2,y3 的大小关系是( ) A.y1<y2<y3 B.y2<y3<y1 C.y3<y2<y1 D.y1<y3<y2 13.如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=1.给出下列结论: ①ac<0; ②b2﹣4ac>0; ③2a﹣b=0; ④a﹣b+c=0. 其中,正确的结论有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 14.如图,抛物线 y1=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标 A(﹣1,3),与 x 轴的一个交点 B (﹣4,0),直线 y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于 A、B 两点,下列结论:①2a﹣b =0;②抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是(2,0);③7a+c>0;④方程 ax2+bx+c﹣ 2=0 有两个不相等的实数根;⑤当﹣4<x<﹣1 时,则 y2<y1.其中正确结论的个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 15.如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于点(4,0),其对称轴为直线 x=1, 结合图象给出下列结论: ①ac<0; ②4a﹣2b+c>0; ③当 x>2 时,y 随 x 的增大而增大; ④关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根. 其中正确的结论有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 16.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度 h(单位:m)与小球运动时间 t(单位:s) 之间的函数关系如图所示.下列结论: ①小球在空中经过的路程是 40m; ②小球运动的时间为 6s; ③小球抛出 3 秒时,速度为 0; ④当 t=1.5s 时,小球的高度 h=30m. 其中正确的是( ) A.①④ B.①② C.②③④ D.②④ 17.已知抛物线 y=2x2﹣4x+c 与直线 y=2 有两个不同的交点.下列结论: ①c<4; ②当 x=1 时,y 有最小值 c﹣2; ③方程 2x2﹣4x+c﹣2=0 有两个不等实根; ④若连接这两个交点与抛物线的顶点,恰好是一个等腰直角三角形,则 c= . 其中正确的结论的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 18.在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论 错误的是( ) A.ac<0 B.b2﹣4ac>0 C.4a+2b+c>0 D.3b<2c 19.如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面 2m 时,水面宽 4m.若水面再下降 1.5m,水面 宽度为( )m. A.4.5 B.2 C.2 D.2 20.已知二次函数 y=x2﹣2bx+2b2﹣4c(其中 x 是自变量)的图象经过不同两点 A(1﹣ b,m),B(2b+c,m),且该二次函数的图象与 x 轴有公共点,则 b+c 的值为( ) A.﹣1 B.2 C.3 D.4 参考答案 1.解:由图象开口向上,可知 a>0, 与 y 轴的交点在 x 轴的上方,可知 c>0, 又对称轴方程为 x=﹣1,所以﹣ <0,所以 b>0, ∴abc>0,故 A 错误; ∵二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象与 x 轴交于 A,B 两点, ∴b2﹣4ac>0, ∴4ac﹣b2<0,故 B 错误; ∵﹣ =﹣1, ∴b=2a, ∵当 x=﹣1 时,y=a﹣b+c<0, ∴a﹣2a+c<0, ∴c﹣a<0,故 C 错误; 当 x=﹣n2﹣2(n 为实数)时,y=ax2+bx+c=a(﹣n2﹣2)2+b(﹣n2﹣2)+c=an2 (n2+2)+c, ∵a>0,n2≥0,n2+2>0, ∴y=an2(n2+2)+c≥c,故 D 正确, 故选:D. 2.解:把 P( ,2)代入 y=ax2 得 2a=2,解得 a=1, ∴抛物线的解析式为 y=x2, ∵Rt△OAB 绕点 O 顺时针旋转 90°得到△OCD, ∴OD=OB=2,∠ODC=∠OBA=90°, ∴AB⊥x 轴, ∴A 点的横坐标为﹣2, 把 x=﹣2 代入 y=x2 得 y=4, ∴A 点坐标为(﹣2,4), 故选:B. 3.解:如图所示,过点 B 的直线 y=2x+b 与新图象有三个公共点,将直线向下平移到恰在 点 C 处相切,此时与新图象也有三个公共点, 令 y=x2﹣5x﹣6=0,解得:x=﹣1 或 6,即点 B 坐标(6,0), 将一次函数与二次函数表达式联立得:x2﹣5x﹣6=2x+b,整理得:x2﹣7x﹣6﹣b=0, △=49﹣4(﹣6﹣b)=0,解得:b=﹣ , 当一次函数过点 B 时,将点 B 坐标代入:y=2x+b 得:0=12+b,解得:b=﹣12, 综上,直线 y=2x+b 与这个新图象有 3 个公共点,则 b 的值为﹣12 或﹣ ; 故选:A. 4.解:设 B(x1,n)、C(x2,n),作 AD⊥BC,垂足为 D 连接 AB,AC, ∵y= (x﹣2)2﹣1, ∴顶点 A(2,﹣1), AD=n﹣(﹣1)=n+1 ∵直线 y=n 与二次函数 y= (x﹣2)2﹣1 的图象交于点 B、C, ∴ (x﹣2)2﹣1=n, 化简,得 x2﹣4x+2﹣2n=0 x1+x2=4,x1x2=2﹣2n ∴BC=|x1﹣x2|= = = ∵点 B、C 关于对称轴直线 AD 对称, ∴D 为线段 BC 的中点, ∵△ABC 是等腰直角三角形, ∴AD= BC 即 BC=2AD =2(n+1), ∴(2+2n)=(n+1)2, 化简,得 n2=1, ∴n=1 或﹣1, n=﹣1 时直线 y=n 经过点 A,不符合题意舍去, 所以 n=1. 故选:A. 5.解:①根据抛物线开口向下可知: a<0, 因为对称轴在 y 轴右侧, 所以 b>0, 因为抛物线与 y 轴正半轴相交, 所以 c>0, 所以 abc<0, 所以①错误; ②因为抛物线对称轴是直线 x=1, 即﹣ =1, 所以 b=﹣2a, 所以 b+2a=0, 所以②正确; ③∵顶点坐标(h,k),k=(4ac﹣b2)÷4a 且 k>1, ∴4ac﹣b2>4a, ∴4a+b2<4ac, ∴结论③正确; ④当 x=﹣1 时,y<0, 即 a﹣b+c<0, 因为 b=﹣2a, 所以 3a+c<0, 所以④正确. 所以正确的是②③④,共 3 个. 故选:C. 6.解:①由图象可知:a<0,b>0,c>0,abc<0,故①错误; ②由于 a<0,所以﹣2a>0. 又 b>0, 所以 b﹣2a>0, 故②错误; ③当 x=﹣1 时,y=a﹣b+c<0,故③错误; ④当 x=1 时,y 的值最大.此时,y=a+b+c, 而当 x=n 时,y=an2+bn+c, 所以 a+b+c>an2+bn+c, 故 a+b>an2+bn,即 a+b>n(an+b),故④正确; ⑤当 x=3 时函数值小于 0,y=9a+3b+c<0,且该抛物线对称轴是直线 x=﹣ =1, 即 a=﹣ ,代入得 9(﹣ )+3b+c<0,得 2c<3b,故⑤正确; 故④⑤正确. 故选:D. 7.解:抛物线开口向下,因此 a<0,对称轴为 x=1,即﹣ =1,也就是 2a+b=0,b >0,抛物线与 y 轴交于正半轴,于是 c>0, ∴abc<0,因此选项 A 不符合题意; 由 A(﹣1,0)、C(1,0)对称轴为 x=1,可得抛物线与 x 轴的另一个交点 B(3,0), ∴a﹣b+c=0, ∴a+2a+c=0,即 3a+c=0, 而 a<0,所以 4a+c<0,因此选项 B 符合题意; 当 x=4 时,y=16a+4b+c<0,因此选项 C 不符合题意; 当 x>1 时,y 随 x 的增大而减小,因此选项 D 不符合题意; 故选:B. 8.解:∵一次函数的图象经过点(0,﹣1),与直线 y=3x 平行, ∴一次函数的解析式为 y=3x﹣1, ∴二次函数图象的对称轴为 x=2,图象经过点(2,3), 设二次函数的解析式为 y=a(x﹣2)2+3, 把点(0,﹣1)代入得﹣1=4a+3, 解得 a=﹣1, ∴抛物线为 y=﹣(x﹣2)2+3, 解 得 或 , ∴两函数图象的交点坐标是(0,﹣1),(1,2), 故选:A. 9.解:当 x=﹣1 时,y=a﹣b+c 的值最大,选项 A 不符合题意; 抛物线与 x 轴的另一个交点为(2,0), 当 x=1 时,y=a+b+c>0,因此选项 B 不符合题意; 抛物线与 x 轴有两个不同交点,因此 b2﹣4ac>0,故选项 C 不符合题意; 抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A(﹣4,0),对称轴为直线 x=﹣1, 因此有:x=﹣1=﹣ ,即 2a﹣b=0,因此选项 D 符合题意; 故选:D. 10.解:A.图形顶点坐标为(2,﹣1),对称轴为直线 x=2,故 A 错误,符合题意; B.抛物线开口向上,故当 x<2 时,y 的值随 x 的增大而减小,正确,不符合题意; C.y=x2 的图象向右平移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度得到 y=(x﹣2)2 ﹣1,故 C 正确,不符合题意; D.令 y=(x﹣2)2﹣1=0,解得:x=1 或 3,故图象与 x 轴的两个交点之间的距离为 2 正确,不符合题意; 故选:A. 11.解:A.∵1>0,故抛物线开口向上,故 A 正确,不符合题意; B.抛物线 y=x2+mx+n 为开口向上的平行线,一定和 y 轴有交点,故 B 正确,不符合 题意; C.当 x=0 和 x=2 时对应的函数值相等,则抛物线的对称轴为直线 x= (0+2)=1 =﹣ ,解得 m=﹣2, 故抛物线的表达式为 y=x2﹣2x+n,当 n>1 时, 则△=4﹣4n<0,故抛物线 y=x2+mx+n 与 x 轴无交点,故 C 错误,符合题意; D.由点 P、Q 的坐标知,这两个点关于抛物线对称轴对称,故 y1=y2 正确,不符合题 意; 故选:C. 12.解:∵二次函数 y=|a|x2+bx+c 的图象经过 A(m,n)、C(3﹣m,n), ∴开口向上,对称轴为直线 x= = , ∵B(0,y1)、D( ,y2)、E(2,y3)与对称轴的距离 B 最远,D 最近, ∴y2<y3<y1; 故选:B. 13.解:抛物线开口向下,a<0,对称轴为 x=﹣ =1,因此 b>0,与 y 轴交于正半轴, 因此 c>0, 于是有:ac<0,因此①正确; 由 x=﹣ =1,得 2a+b=0,因此③不正确, 抛物线与 x 轴有两个不同交点,因此 b2﹣4ac>0,②正确, 由对称轴 x=1,抛物线与 x 轴的一个交点为(3,0),对称性可知另一个交点为(﹣1, 0),因此 a﹣b+c=0,故④正确, 综上所述,正确的结论有①②④, 故选:C. 14.解:①由抛物线对称轴知,x=﹣ , ∴2a﹣b=0,则此小题结论正确; ②设抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是(m,0),根据题意得, , ∴m=2,则此小题结论正确; ③把(2,0)代入 y=ax2+bx+c 得,4a+2b+c=0, ∵x=﹣ , ∴b=2a, ∴4a+2×2a+c=0, ∴8a+c=0, ∴7a+c=﹣a>0,则此小题结论正确; ④由函数图象可知,直线 y=2 与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点, ∴ax2+bx+c=2 有两个不相等的实数根,即 ax2+bx+c﹣2=0 有两个不相等的实数根, 则此小题结论正确; ⑤由函数图象可知,当﹣4<x<﹣1 时,抛物线在直线上方,于是 y2<y1.则此小题结 论正确. 故选:D. 15.解:抛物线开口向上,因此 a>0,与 y 轴交于负半轴,因此 c<0,故 ac<0,所以 ①正确; 抛物线对称轴为 x=1,与 x 轴的一个交点为(4,0),则另一个交点为(﹣2,0),于 是有 4a﹣2b+c=0,所以②不正确; x>1 时,y 随 x 的增大而增大,所以③正确; 抛物线与 x 轴有两个不同交点,因此关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等 的实数根,所以④正确; 综上所述,正确的结论有:①③④, 故选:C. 16.解:①由图象可知,小球在空中达到的最大高度为 40m,则小球在空中经过的路程一 定大于 40m,故①错误; ②由图象可知,小球 6s 时落地,故小球运动的时间为 6s,故②正确; ③小球抛出 3 秒时达到最高点,即速度为 0,故③正确; ④设函数解析式为 h=a(t﹣3)2+40,将(0,0)代入得: 0=a(0﹣3)2+40, 解得 a=﹣ , ∴函数解析式为 h=﹣ (t﹣3)2+40, ∴当 t=1.5s 时,h=﹣ (1.5﹣3)2+40=30, ∴④正确. 综上,正确的有②③④. 故选:C. 17.解:①∵当 y=2 时,2=2x2﹣4x+c, ∴2x2﹣4x+c﹣2=0, ∴△=16﹣4×2×(c﹣2)=﹣8c+32, ∵抛物线 y=2x2﹣4x+c 与直线 y=2 有两个不同的交点, ∴﹣8c+32>0, 解得:c<4,故①正确; ②∵y=2x2﹣4x+c=2(x﹣1)2+c﹣2, ∴当 x=1 时,y 有最小值 c﹣2;故②正确; ③∵抛物线 y=2x2﹣4x+c 与直线 y=2 有两个不同的交点, ∴方程 2x2﹣4x+c﹣2=0 有两个不等实根;故③正确; ④解方程 2x2﹣4x+c﹣2=0 得,x1= ,x2= , ∴这两个交点的坐标分别为( ,2),( ,2), ∴这两个交点的距离为 , ∵三角形是等腰直角三角形, ∴2﹣(c﹣2)= , 解得:c= 或 c=4(不合题意舍去),故④错误, 故选:B. 18.解:A、由抛物线的开口方向向下知 a<0,抛物线与 y 轴交于正半轴知 c>0,则 ac <0,故本选项结论正确. B、由抛物线与 x 轴有两个交点知 b2﹣4ac>0,故本选项结论正确. C、由抛物线图的轴对称性质知,抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是点(2,0)的右侧, 所以当 x=2 时,y>0,即 4a+2b+c>0,故本选项结论正确. D、由抛物线的轴对称性质知,当 x=3 时,y<0,即 y=9a+3b+c<0,且对称轴是直 线 x=﹣ =1,即 a=﹣ ,代入得 9(﹣ )+3b+c<0,得 3b>2c,故本选项结 论错误; 故选:D. 19.解:如图,以 AB 所在直线为 x 轴,以过拱顶 C 且垂直于 AB 的直线为 y 轴,建立平 面直角坐标系, 则由题意可知 A(﹣2,0),B(2,0),C(0,2), 设该抛物线的解析式为 y=ax2+2,将 B(2,0)代入得: 0=a×4+2, 解得:a=﹣ . ∴抛物线的解析式为 y=﹣ x2+2, ∴若水面再下降 1.5m,则有﹣1.5=﹣ x2+2, 解得:x=± . ∵ ﹣(﹣ )=2 , ∴水面宽度为 2 m. 故选:D. 20.解:由二次函数 y=x2﹣2bx+2b2﹣4c 的图象与 x 轴有公共点, ∴(﹣2b)2﹣4×1×(2b2﹣4c)≥0,即 b2﹣4c≤0 ①, 由抛物线的对称轴 x=﹣ =b,抛物线经过不同两点 A(1﹣b,m),B(2b+c, m), b= ,即,c=b﹣1 ②, ②代入①得,b2﹣4(b﹣1)≤0,即(b﹣2)2≤0,因此 b=2, c=b﹣1=2﹣1=1, ∴b+c=2+1=3, 故选:C. 查看更多

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