资料简介
2021 年九年级中考数学三轮综合复习专题冲刺:
二次函数图像问题(一)
1.如图,二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴正半轴交
于点 C,它的对称轴为直线 x=﹣1.则下列选项中正确的是( )
A.abc<0
B.4ac﹣b2>0
C.c﹣a>0
D.当 x=﹣n2﹣2(n 为实数)时,y≥c
2.如图,Rt△ODC 的直角顶点 D 在 y 轴上,DC 边上的点 P( ,2)在抛物线 y=ax2
上,将 Rt△ODC 绕点 O 逆时针旋转 90°,得到△OBA,点 A 恰好在抛物线上,则点
A 的坐标为( )
A.(﹣2,3) B.(﹣2,4) C.(﹣2,2 ) D.(﹣ ,2)
3.将二次函数 y=x2﹣5x﹣6 在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方,图象的其余部分不
变,得到一个新图象,若直线 y=2x+b 与这个新图象有 3 个公共点,则 b 的值为( )
A.﹣ 或﹣12 B.﹣ 或 2 C.﹣12 或 2 D.﹣ 或﹣12
4.已知直线 y=n 与二次函数 y= (x﹣2)2﹣1 的图象交于点 B,点 C,二次函数图象
的顶点为 A,当△ABC 是等腰直角三角形时,则 n 的值为( )
A.1 B. C.2﹣ D.2+
5.如图,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴是直线 x=1,则以下四个结论
中:①abc>0,②2a+b=0,③4a+b2<4ac,④3a+c<0.正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知二次函数 y=ax2+bx+c 图象的对称轴为 x=1,其图象如图所示,现有下列结论:
①abc>0,
②b﹣2a<0,
③a﹣b+c>0,
④a+b>n(an+b),(n≠1),
⑤2c<3b.
正确的是( )
A.①③ B.②⑤ C.③④ D.④⑤
7.如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交于 A、B 两点,其对称轴与 x
轴交于点 C,其中 A、C 两点的横坐标分别为﹣1 和 1,下列说法错误的是( )
A.abc<0
B.4a+c=0
C.16a+4b+c<0
D.当 x>2 时,y 随 x 的增大而减小
8.已知二次函数图象的对称轴为 x=2,图象经过点(2,3),且与一次函数的图象相交于
点(0,﹣1),而这个一次函数的图象与直线 y=3x 平行,两函数图象的交点坐标是
( )
A.(0,﹣1),(1,2) B.(﹣1,0),(1,2)
C.(﹣1,0),(1,﹣2) D.(2,﹣1),(0,0)
9.如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)交 x 轴于点 A,B,交 y 轴于点 C.若点 A 坐标为
(﹣4,0),对称轴为直线 x=﹣1,则下列结论错误的是( )
A.二次函数的最大值为 a﹣b+c
B.a+b+c>0
C.b2﹣4ac>0
D.2a+b=0
10.在平面直角坐标系中,对于二次函数 y=(x﹣2)2﹣1,下列说法中错误的是( )
A.图形顶点坐标为(﹣2,﹣1),对称轴为直线 x=2
B.当 x<2 时,y 的值随 x 的增大而减小
C.它的图象可以由 y=x2 的图象向右平移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度得到
D.图象与 x 轴的两个交点之间的距离为 2
11.已知二次函数 y=x2+mx+n,当 x=0 和 x=2 时对应的函数值相等,则下列说法中不
正确的是( )
A.抛物线 y=x2+mx+n 的开口向上
B.抛物线 y=x2+mx+n 与 y 轴有交点
C.当 n>1 时,抛物线 y=x2+mx+n 与 x 轴有交点
D.若 P(﹣1,y1),Q(3,y2)是抛物线 y=x2+mx+n 上两点,则 y1=y2
12.若二次函数 y=|a|x2+bx+c 的图象过不同的五点 A(m,n),B(3﹣m,n),C
(0,y1),D( ,y2),E(2,y3),则 y1,y2,y3 的大小关系是( )
A.y1<y2<y3 B.y2<y3<y1 C.y3<y2<y1 D.y1<y3<y2
13.如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=1.给出下列结论:
①ac<0;
②b2﹣4ac>0;
③2a﹣b=0;
④a﹣b+c=0.
其中,正确的结论有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
14.如图,抛物线 y1=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标 A(﹣1,3),与 x 轴的一个交点 B
(﹣4,0),直线 y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于 A、B 两点,下列结论:①2a﹣b
=0;②抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是(2,0);③7a+c>0;④方程 ax2+bx+c﹣
2=0 有两个不相等的实数根;⑤当﹣4<x<﹣1 时,则 y2<y1.其中正确结论的个数为
( )
A.2 B.3 C.4 D.5
15.如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于点(4,0),其对称轴为直线 x=1,
结合图象给出下列结论:
①ac<0;
②4a﹣2b+c>0;
③当 x>2 时,y 随 x 的增大而增大;
④关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根.
其中正确的结论有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
16.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度 h(单位:m)与小球运动时间 t(单位:s)
之间的函数关系如图所示.下列结论:
①小球在空中经过的路程是 40m;
②小球运动的时间为 6s;
③小球抛出 3 秒时,速度为 0;
④当 t=1.5s 时,小球的高度 h=30m.
其中正确的是( )
A.①④ B.①② C.②③④ D.②④
17.已知抛物线 y=2x2﹣4x+c 与直线 y=2 有两个不同的交点.下列结论:
①c<4;
②当 x=1 时,y 有最小值 c﹣2;
③方程 2x2﹣4x+c﹣2=0 有两个不等实根;
④若连接这两个交点与抛物线的顶点,恰好是一个等腰直角三角形,则 c= .
其中正确的结论的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
18.在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论
错误的是( )
A.ac<0 B.b2﹣4ac>0 C.4a+2b+c>0 D.3b<2c
19.如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面 2m 时,水面宽 4m.若水面再下降 1.5m,水面
宽度为( )m.
A.4.5 B.2 C.2 D.2
20.已知二次函数 y=x2﹣2bx+2b2﹣4c(其中 x 是自变量)的图象经过不同两点 A(1﹣
b,m),B(2b+c,m),且该二次函数的图象与 x 轴有公共点,则 b+c 的值为( )
A.﹣1 B.2 C.3 D.4
参考答案
1.解:由图象开口向上,可知 a>0,
与 y 轴的交点在 x 轴的上方,可知 c>0,
又对称轴方程为 x=﹣1,所以﹣ <0,所以 b>0,
∴abc>0,故 A 错误;
∵二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象与 x 轴交于 A,B 两点,
∴b2﹣4ac>0,
∴4ac﹣b2<0,故 B 错误;
∵﹣ =﹣1,
∴b=2a,
∵当 x=﹣1 时,y=a﹣b+c<0,
∴a﹣2a+c<0,
∴c﹣a<0,故 C 错误;
当 x=﹣n2﹣2(n 为实数)时,y=ax2+bx+c=a(﹣n2﹣2)2+b(﹣n2﹣2)+c=an2
(n2+2)+c,
∵a>0,n2≥0,n2+2>0,
∴y=an2(n2+2)+c≥c,故 D 正确,
故选:D.
2.解:把 P( ,2)代入 y=ax2 得 2a=2,解得 a=1,
∴抛物线的解析式为 y=x2,
∵Rt△OAB 绕点 O 顺时针旋转 90°得到△OCD,
∴OD=OB=2,∠ODC=∠OBA=90°,
∴AB⊥x 轴,
∴A 点的横坐标为﹣2,
把 x=﹣2 代入 y=x2 得 y=4,
∴A 点坐标为(﹣2,4),
故选:B.
3.解:如图所示,过点 B 的直线 y=2x+b 与新图象有三个公共点,将直线向下平移到恰在
点 C 处相切,此时与新图象也有三个公共点,
令 y=x2﹣5x﹣6=0,解得:x=﹣1 或 6,即点 B 坐标(6,0),
将一次函数与二次函数表达式联立得:x2﹣5x﹣6=2x+b,整理得:x2﹣7x﹣6﹣b=0,
△=49﹣4(﹣6﹣b)=0,解得:b=﹣ ,
当一次函数过点 B 时,将点 B 坐标代入:y=2x+b 得:0=12+b,解得:b=﹣12,
综上,直线 y=2x+b 与这个新图象有 3 个公共点,则 b 的值为﹣12 或﹣ ;
故选:A.
4.解:设 B(x1,n)、C(x2,n),作 AD⊥BC,垂足为 D 连接 AB,AC,
∵y= (x﹣2)2﹣1,
∴顶点 A(2,﹣1),
AD=n﹣(﹣1)=n+1
∵直线 y=n 与二次函数 y= (x﹣2)2﹣1 的图象交于点 B、C,
∴ (x﹣2)2﹣1=n,
化简,得 x2﹣4x+2﹣2n=0
x1+x2=4,x1x2=2﹣2n
∴BC=|x1﹣x2|= = =
∵点 B、C 关于对称轴直线 AD 对称,
∴D 为线段 BC 的中点,
∵△ABC 是等腰直角三角形,
∴AD= BC
即 BC=2AD
=2(n+1),
∴(2+2n)=(n+1)2,
化简,得 n2=1,
∴n=1 或﹣1,
n=﹣1 时直线 y=n 经过点 A,不符合题意舍去,
所以 n=1.
故选:A.
5.解:①根据抛物线开口向下可知:
a<0,
因为对称轴在 y 轴右侧,
所以 b>0,
因为抛物线与 y 轴正半轴相交,
所以 c>0,
所以 abc<0,
所以①错误;
②因为抛物线对称轴是直线 x=1,
即﹣ =1,
所以 b=﹣2a,
所以 b+2a=0,
所以②正确;
③∵顶点坐标(h,k),k=(4ac﹣b2)÷4a 且 k>1,
∴4ac﹣b2>4a,
∴4a+b2<4ac,
∴结论③正确;
④当 x=﹣1 时,y<0,
即 a﹣b+c<0,
因为 b=﹣2a,
所以 3a+c<0,
所以④正确.
所以正确的是②③④,共 3 个.
故选:C.
6.解:①由图象可知:a<0,b>0,c>0,abc<0,故①错误;
②由于 a<0,所以﹣2a>0.
又 b>0,
所以 b﹣2a>0,
故②错误;
③当 x=﹣1 时,y=a﹣b+c<0,故③错误;
④当 x=1 时,y 的值最大.此时,y=a+b+c,
而当 x=n 时,y=an2+bn+c,
所以 a+b+c>an2+bn+c,
故 a+b>an2+bn,即 a+b>n(an+b),故④正确;
⑤当 x=3 时函数值小于 0,y=9a+3b+c<0,且该抛物线对称轴是直线 x=﹣ =1,
即 a=﹣ ,代入得 9(﹣ )+3b+c<0,得 2c<3b,故⑤正确;
故④⑤正确.
故选:D.
7.解:抛物线开口向下,因此 a<0,对称轴为 x=1,即﹣ =1,也就是 2a+b=0,b
>0,抛物线与 y 轴交于正半轴,于是 c>0,
∴abc<0,因此选项 A 不符合题意;
由 A(﹣1,0)、C(1,0)对称轴为 x=1,可得抛物线与 x 轴的另一个交点 B(3,0),
∴a﹣b+c=0,
∴a+2a+c=0,即 3a+c=0,
而 a<0,所以 4a+c<0,因此选项 B 符合题意;
当 x=4 时,y=16a+4b+c<0,因此选项 C 不符合题意;
当 x>1 时,y 随 x 的增大而减小,因此选项 D 不符合题意;
故选:B.
8.解:∵一次函数的图象经过点(0,﹣1),与直线 y=3x 平行,
∴一次函数的解析式为 y=3x﹣1,
∴二次函数图象的对称轴为 x=2,图象经过点(2,3),
设二次函数的解析式为 y=a(x﹣2)2+3,
把点(0,﹣1)代入得﹣1=4a+3,
解得 a=﹣1,
∴抛物线为 y=﹣(x﹣2)2+3,
解 得 或 ,
∴两函数图象的交点坐标是(0,﹣1),(1,2),
故选:A.
9.解:当 x=﹣1 时,y=a﹣b+c 的值最大,选项 A 不符合题意;
抛物线与 x 轴的另一个交点为(2,0),
当 x=1 时,y=a+b+c>0,因此选项 B 不符合题意;
抛物线与 x 轴有两个不同交点,因此 b2﹣4ac>0,故选项 C 不符合题意;
抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A(﹣4,0),对称轴为直线 x=﹣1,
因此有:x=﹣1=﹣ ,即 2a﹣b=0,因此选项 D 符合题意;
故选:D.
10.解:A.图形顶点坐标为(2,﹣1),对称轴为直线 x=2,故 A 错误,符合题意;
B.抛物线开口向上,故当 x<2 时,y 的值随 x 的增大而减小,正确,不符合题意;
C.y=x2 的图象向右平移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度得到 y=(x﹣2)2
﹣1,故 C 正确,不符合题意;
D.令 y=(x﹣2)2﹣1=0,解得:x=1 或 3,故图象与 x 轴的两个交点之间的距离为
2 正确,不符合题意;
故选:A.
11.解:A.∵1>0,故抛物线开口向上,故 A 正确,不符合题意;
B.抛物线 y=x2+mx+n 为开口向上的平行线,一定和 y 轴有交点,故 B 正确,不符合
题意;
C.当 x=0 和 x=2 时对应的函数值相等,则抛物线的对称轴为直线 x= (0+2)=1
=﹣ ,解得 m=﹣2,
故抛物线的表达式为 y=x2﹣2x+n,当 n>1 时,
则△=4﹣4n<0,故抛物线 y=x2+mx+n 与 x 轴无交点,故 C 错误,符合题意;
D.由点 P、Q 的坐标知,这两个点关于抛物线对称轴对称,故 y1=y2 正确,不符合题
意;
故选:C.
12.解:∵二次函数 y=|a|x2+bx+c 的图象经过 A(m,n)、C(3﹣m,n),
∴开口向上,对称轴为直线 x= = ,
∵B(0,y1)、D( ,y2)、E(2,y3)与对称轴的距离 B 最远,D 最近,
∴y2<y3<y1;
故选:B.
13.解:抛物线开口向下,a<0,对称轴为 x=﹣ =1,因此 b>0,与 y 轴交于正半轴,
因此 c>0,
于是有:ac<0,因此①正确;
由 x=﹣ =1,得 2a+b=0,因此③不正确,
抛物线与 x 轴有两个不同交点,因此 b2﹣4ac>0,②正确,
由对称轴 x=1,抛物线与 x 轴的一个交点为(3,0),对称性可知另一个交点为(﹣1,
0),因此 a﹣b+c=0,故④正确,
综上所述,正确的结论有①②④,
故选:C.
14.解:①由抛物线对称轴知,x=﹣ ,
∴2a﹣b=0,则此小题结论正确;
②设抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是(m,0),根据题意得, ,
∴m=2,则此小题结论正确;
③把(2,0)代入 y=ax2+bx+c 得,4a+2b+c=0,
∵x=﹣ ,
∴b=2a,
∴4a+2×2a+c=0,
∴8a+c=0,
∴7a+c=﹣a>0,则此小题结论正确;
④由函数图象可知,直线 y=2 与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点,
∴ax2+bx+c=2 有两个不相等的实数根,即 ax2+bx+c﹣2=0 有两个不相等的实数根,
则此小题结论正确;
⑤由函数图象可知,当﹣4<x<﹣1 时,抛物线在直线上方,于是 y2<y1.则此小题结
论正确.
故选:D.
15.解:抛物线开口向上,因此 a>0,与 y 轴交于负半轴,因此 c<0,故 ac<0,所以
①正确;
抛物线对称轴为 x=1,与 x 轴的一个交点为(4,0),则另一个交点为(﹣2,0),于
是有 4a﹣2b+c=0,所以②不正确;
x>1 时,y 随 x 的增大而增大,所以③正确;
抛物线与 x 轴有两个不同交点,因此关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等
的实数根,所以④正确;
综上所述,正确的结论有:①③④,
故选:C.
16.解:①由图象可知,小球在空中达到的最大高度为 40m,则小球在空中经过的路程一
定大于 40m,故①错误;
②由图象可知,小球 6s 时落地,故小球运动的时间为 6s,故②正确;
③小球抛出 3 秒时达到最高点,即速度为 0,故③正确;
④设函数解析式为 h=a(t﹣3)2+40,将(0,0)代入得:
0=a(0﹣3)2+40,
解得 a=﹣ ,
∴函数解析式为 h=﹣ (t﹣3)2+40,
∴当 t=1.5s 时,h=﹣ (1.5﹣3)2+40=30,
∴④正确.
综上,正确的有②③④.
故选:C.
17.解:①∵当 y=2 时,2=2x2﹣4x+c,
∴2x2﹣4x+c﹣2=0,
∴△=16﹣4×2×(c﹣2)=﹣8c+32,
∵抛物线 y=2x2﹣4x+c 与直线 y=2 有两个不同的交点,
∴﹣8c+32>0,
解得:c<4,故①正确;
②∵y=2x2﹣4x+c=2(x﹣1)2+c﹣2,
∴当 x=1 时,y 有最小值 c﹣2;故②正确;
③∵抛物线 y=2x2﹣4x+c 与直线 y=2 有两个不同的交点,
∴方程 2x2﹣4x+c﹣2=0 有两个不等实根;故③正确;
④解方程 2x2﹣4x+c﹣2=0 得,x1= ,x2= ,
∴这两个交点的坐标分别为( ,2),( ,2),
∴这两个交点的距离为 ,
∵三角形是等腰直角三角形,
∴2﹣(c﹣2)= ,
解得:c= 或 c=4(不合题意舍去),故④错误,
故选:B.
18.解:A、由抛物线的开口方向向下知 a<0,抛物线与 y 轴交于正半轴知 c>0,则 ac
<0,故本选项结论正确.
B、由抛物线与 x 轴有两个交点知 b2﹣4ac>0,故本选项结论正确.
C、由抛物线图的轴对称性质知,抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是点(2,0)的右侧,
所以当 x=2 时,y>0,即 4a+2b+c>0,故本选项结论正确.
D、由抛物线的轴对称性质知,当 x=3 时,y<0,即 y=9a+3b+c<0,且对称轴是直
线 x=﹣ =1,即 a=﹣ ,代入得 9(﹣ )+3b+c<0,得 3b>2c,故本选项结
论错误;
故选:D.
19.解:如图,以 AB 所在直线为 x 轴,以过拱顶 C 且垂直于 AB 的直线为 y 轴,建立平
面直角坐标系,
则由题意可知 A(﹣2,0),B(2,0),C(0,2),
设该抛物线的解析式为 y=ax2+2,将 B(2,0)代入得:
0=a×4+2,
解得:a=﹣ .
∴抛物线的解析式为 y=﹣ x2+2,
∴若水面再下降 1.5m,则有﹣1.5=﹣ x2+2,
解得:x=± .
∵ ﹣(﹣ )=2 ,
∴水面宽度为 2 m.
故选:D.
20.解:由二次函数 y=x2﹣2bx+2b2﹣4c 的图象与 x 轴有公共点,
∴(﹣2b)2﹣4×1×(2b2﹣4c)≥0,即 b2﹣4c≤0 ①,
由抛物线的对称轴 x=﹣ =b,抛物线经过不同两点 A(1﹣b,m),B(2b+c,
m),
b= ,即,c=b﹣1 ②,
②代入①得,b2﹣4(b﹣1)≤0,即(b﹣2)2≤0,因此 b=2,
c=b﹣1=2﹣1=1,
∴b+c=2+1=3,
故选:C.
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