资料简介
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
圆周率
圆周率，一般以π来表示，是一个在
数学及物理学普遍存在的数学常数。
它定义为圆形之周长与直径之比。它
也等于圆形之面积与半径平方之比。
是精确计算圆周长、圆面积、球体积
等几何形状的关键。分析学上，π 可
定义为是最小的x>0 使得 sin(x) = 0。
•2
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
常用的 π 近以值包括疏率:22/7 及密率:
355/113。这两项均由祖冲之给出。
π 约等于（精确到小数点后第100位）
3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288
41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164
06286 20899 86280 34825 34211 70680
•3
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
古希腊欧几里得的《几何原本》（约公
元前3世纪初）中提到圆周率是常数，中
国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）
中有「径一而周三」的记载，也认为圆
周率是常数。历史上曾采用过圆周率的
多种近似值 ，早期大都是通过实验而得
到的结果，如古埃及纸草书（约公元前
1700）中取π=（4/3）^4≒3.1604 。
•4
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
第一个用科学方法寻求圆周率数值的人
是阿基米德，他在《圆的度量》（公元
前3世纪）中用圆内接和外切正多边形
的周长确定圆周长的上下界，从正六边
形开始，逐次加倍计算到正96边形，得
到(3+(10/71)) < π < (3+(1/7)) ，
开创了圆周率计算的几何方法（亦称古
典方法，或阿基米德方法），得出精确
到小数点后两位的π值。
•5
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
中国数学家刘徽在注释《九章算
术》时（公元263年）只用圆内接
正多边形就求得π的近似值，也
得出精确到两位小数的π值，他
的方法被后人称为割圆术，其中
有求极限的思想。
•6
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
南北朝时代的数学家祖冲之利用割圆术进
一步得出精确到小数点后7位的π值（公元
466年），给出不足近似值3.1415926和过
剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数
值，密率355/113和约率22/7，这一纪录在
世界上保持了一千年之久。为纪念祖冲之
对中国圆周率发展的贡献，将这一推算值
用他的名字被命名为“祖冲之圆周率”，
简称“祖率”。
•7
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
其中的密率在西方直到1573才由德国人
奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安
托尼斯的著作中，欧洲称之为安托尼斯
率。
阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周
率17位精确小数值，打破祖冲之保持近
千年的纪录。德国数学家柯伦于1596年
将π值算到20位小数值，后投入毕生精
力，于1610年算到小数后35位数，该数
值被用他的名字称为鲁道夫数。
•8
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
除π的数值计算外，它的性质探讨也吸
引了众多数学家。1761年瑞士数学家兰
伯特第一个证明π是无理数。1794年法
国数学家勒让德又证明了π2也是无理
数。到1882年德国数学家林德曼首次证
明了π是超越数，由此否定了困惑人们
两千多年的「化圆为方」尺规作图问题。
还有人对π的特征及与其它数字的联系
进行研究。如1929年苏联数学家格尔丰
德证明了eπ 是超越数等等。
•9
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
在历史上,有不少数学家都对
圆周率作出过研究,当中著名
的有阿基米德、托勒密、张衡、
祖冲之等。他们在自己的国家
用各自的方法,辛辛苦苦地去
计算圆周率的值。下面,就是
世上各个地方对圆周率的研究
成果。
•10
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
研究圆周率历史的几个阶段
接
•11
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
起
【起】即为圆周率的起源，那究竟是谁先发现它？
古巴比伦人从计算周界发现 ：一块出土于 1936
年的黏土块上记载，在古巴比伦时期 (约公元前
1900-1600 年) ，巴比伦人相信
六边形的周界为0;57,36 (以底数 60 计，亦即
= 96/100 = 24/25) 乘以它的外接圆的周界：
六边形周界 = 24/25 ′ 其外接圆周界 =
24/25 ′ π ′ 直径
由此，得出相信是最古老的圆周率的近似值：
π 〔巴比伦〕= 25/8 = 3.125
•12
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
承
【承】是承继安提丰和布赖森的「穷
举法」而发展的一个时期：以「多边
形」找寻圆周率的值
•13
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
古希腊西那库斯的阿基米德
（Archimedes of Syracuse，公
元前 287 - 212 年），是第一
个有系统地找出圆周率的近似值
和圆周率的上下限的数学家。他
采用了安提丰和布赖森的「穷举
法」，但他的研究重点则在多边
形的周界。阿基米德在《圆的度
量》（The Measurement of the
Circle）中，提出三个有关圆的
定理。即：3.14084... < π <
3.14285...
•14
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
刘徽是独立开创以多边形面
积迫近圆面积的穷举法－
「割圆术」来找出圆周率的
值的。最后，刘徽更求得正
3072 边形的面积，从而得
出：
π =
3927/1250 = 3.1416
即 π 的值准确至小数
后三个位，后人称为「徽
率」。
•15
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
祖冲之运用了刘徽的「割圆术」及他无
比的耐性与坚持（当时并没有算盘等计
算工具，只能靠小竹子帮助计算，但他
实质的计算方法则无从确定），算到:
3.1415926 < π < 3.1415927他还发现了
「约率」：祖冲之更取 π = 22/7（=
3.14...）作为「约率」
「密率」：π = 355/113（= 3.1415929）
作为「密率」，以表示圆周率的近似值。
「祖率」：是圆周率的值准确至小数后
7 个位，后称3.1415926 。
•16
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
转
【转】是寻求圆周率的一个转折
点。圆周率的计算有了新的突破
－以解析表达式表示及求出圆周
率的值。
•17
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
接
「接」是紧接着以上发现的很
多计算圆周率值的公式所延伸
的一个时期：随着科技的突飞
猛进，计算机的发明，令圆周
率的计算速度有了新的突破。
•18
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
圆周率的研究方法
古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的
内接或外切正多边形来逼近圆的周长。
Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位
的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；
Ludolph Van Ceulen用正262边形得到了35位精
度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，
吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进
行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周
率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以
介绍。除了这些经典公式外，还有很多其它公
式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一
一列举了。
•19
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
1、 Machin公式：
这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。
他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式
每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计
算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以
很容易地在计算机上编程实现。
•20
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
2、 Ramanujan公式：
1914年，印度数学家Srinivasa
Ramanujan在他的论文里发表了一系列共
14条圆周率的计算公式，这是其中之一。
这个公式每计算一项可以得到8位的十进
制精度。1985年Gosper用这个公式计算
到了圆周率的17,500,000位。
•21
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
3、AGM(Arithmetic-Geometric Mean)
算法：
Gauss-Legendre公式：
初值：
重复计算：
最后计算：
•22
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
4、Borwein四次迭代式：
初值：
重复计算：
最后计算：
这个公式由Jonathan Borwein和Peter
Borwein于1985年发表，它四次收敛于圆
周率。
•23
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
5、 Bailey-Borwein-Plouffe算法：
这个公式简称BBP公式，由David Bailey,
Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共
同发表。它打破了传统的圆周率的算法，可
以计算圆周率的任意第n位，而不用计算前面
的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可
行性。1997年，Fabrice Bellard找到了一个
比BBP快40％的公式：
•24
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
圆周率的新纪录
圆周率的最新计算纪录由两位日本人Daisuke
Takahashi和Yasumasa Kanada所创造。他们在日本
东京大学的IT中心，以Gauss-Legendre算法编写程
序，利用一台每秒可执行一万亿次浮点运算的超级
计算机，从日本时间1999年9月18日19:00:52起，计
算了37小时21分04秒，得到了圆周率的
206,158,430,208(3*236)位十进制精度，之后和他
们于1999年6月27日以Borwein四次迭代式计算了46
小时得到的结果相比，发现最后45位小数有差异，
因此他们取小数点后206,158,430,000位的值为本次
计算结果。这一结果打破了他们于1999年4月创造的
68,719,470,000位的世界纪录。
•25
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
人们追寻圆周率 π 的历史至今已有四千
年，由发现圆周和直径的比为一常数，进
而以多边形迫近圆的方法求 π 值，转成
发现更多计算及表示 π 的公式、级数再
随着电脑的发明与科技的发展，圆周率值
的位数得以突飞猛进
总
结
•26
当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能。文化与经济相互交融，在当今频繁的经济贸易中，文化传播的内容也更广泛。
THE END
2019年8月27日 •27
查看更多
Copyright 2004-2019 ttzyw.com All Rights Reserved 闽ICP备18023965号-4
天天资源网声明：本站点发布的文章作品均来自用户投稿或网络整理，部分作品未联系到知识产权人或未发现有相关的知识产权登记