天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 人教版（五四制） / 九年级上册 / 第三十二章 概率初步 / 32.1 随机事件与概率 / 华师版九年级数学上册第25章随机事件的概率
资料简介
25.1
在重复试验中观察不确定现象
第25章 随机事件的概率
【学习目标】
1．了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随
机事件的特点，能根据随机事件的特点，辨别哪些事
件是随机事件；
2．学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过
程，发展学生从纷繁复杂的表象中，提练出本质特征
并加以抽象概括的能力．
在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10
个师的兵力．这句话有一个非同寻常的来历．
1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当
时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰。一时间，德军的“潜
艇战”搞得盟军焦头烂额。
为此，有位美国海军将领专门去请教了一位数学家，数学家们运用概率
论分析后认为：舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这
一问题，它具有一定的规律性。一定数量的船（为100艘）编队规模越
小，编次就越多（为每次20艘，就要有5个编次）。编次越多，与敌人
相遇的概率就越大．
美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再集体通过
危险海域，然后各自驶向预定港口。结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被
击沉的概率由原来的25％降为1％，大大减少了损失，保证了物资的及
时供应．
自主预习
（1）“地球不停地转动”
（2）“木柴燃烧，产生能量”
（3）“一天中在常温下，石头被风化”
（4）“某人射击一次，击中十环”
（5）“掷一枚硬币，出现正面”
（6）“在标准大气压下且温度低于 0℃时，雪融化”
【思考】分析这些事件发生与否，各有什么特点?
自主探究
小明从盒中任意摸出一球，一定能摸到红球吗？
小麦从盒中摸出的球一定是白球吗？
小米从盒中摸出的球一定是红球吗？
三人每次都能摸到红球吗？
【问题1】 5名同学参加讲演比赛按抽签方
式决定每个人的出场顺序，签筒中有5根形状
、大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号
1、2、3、4、5，小军首先抽签，他在看不
到纸签上的数字的情况下从签筒中随机（任意
）地取一根纸签，请考虑以下问题：
(1)抽到的序号有几种可能的结果？
(2)抽到的序号小于6吗？
(3)抽到的序号会是0吗？
(4)抽到的序号会是1吗？
（1）每次抽签的结果不一定相同，序
号1、2、3、4、5都有可能抽到，共有
5种可能的结果，但是事先不能预料一
次抽签会出现哪一种结果；
答:
（2）抽到的序号一定小于6；
（3）抽到的序号不会是0；
（4）抽到序号可能是1，也可能不是1，
事先无法确定。
【问题2】小伟掷一个质地均匀的正方体骰子,
骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，请考虑
以下问题：掷一次骰子，在骰子向上的一面上
，
(1)可能出现哪些点数？
(2)出现的点数大于0吗？
(3)出现的点数会是7吗？
(4)出现的点数会是4吗？
（1）每次掷骰子的结果不一定相同，从1
到6的每一个点数都有可能出现，所有可
能的点数共有6种，但是事先不能预料掷
一次骰子会出现哪一种结果；
答:
（2）出现的点数肯定大于0；
（3）出现的点数绝对不会是7；
（4）出现的点数可能
是4，也可能不是4，
事先无法确定。
在一定条件下必然要发生的事件．
比如：“导体通电时发热”，“抛一石块，
下落”都是必然事件．再如,“在灯光的照射
下,物体会留下影子”.
必然事件：
归纳
在一定条件下不可能发生的事件．
比如：“在常温下，铁能熔化”，“在标准
大气压下且温度低于0℃时，冰融化”，再
如,“掷一枚骰子,正面向上数字为7”,都是不可
能事件．
不可能事件：
归纳
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．
比如“李强射击一次，中十环”，“掷一
枚硬币，出现反面”都是随机事件．
随机事件：
归纳
（1）“地球不停地转动”
（2）“木柴燃烧，产生能量”
（3）“一天中在常温下，石头被风化”
（4）“某人射击一次，击中十环”
（5）“掷一枚硬币，出现正面”
（6）“在标准大气压下且温度低于 0℃时，
雪融化”
【思考】分析这些事件发生与否，各有什
么特点?
（1）必然事件
（2）必然事件
（3）不可能事件
（4）随机事件
（5）随机事件
(6) 不可能事件
解答
随堂练习
例：在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻
璃球共有120个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相
同．小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的
频率稳定在15%和55%，则口袋中白色球的个数很可能是
________个．36
[解析] 大量试验下获得的频率可以近似地看成概率，本
题中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和55%，可以看作
红色、黑色球分别占玻璃球总数的15%和55%，因此白色球
的个数可能是120×(1－15%－55%)＝36(个)．
1.下列事件：①打开电视机，正在播放广告；②投掷一枚
普通的骰子，掷得的点数小于10；③射击运动员射击一次，
命中10环；④在一个只装有红球的袋中摸出白球．属于确定
事件的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2.袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别，
从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那
么袋中白球的个数可能是( )
A．3个
B．不足3个
C．4个
D．5个或5个以上
C
D
随堂练习
3.指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：
（1）某地1月1日刮西北风；
（2）当x是实数时，x2≥0；
（3）手电筒的电池没电，灯泡发亮；
（4）一个电影院某天的上座率超过50%.
随机事件
必然事件
不可能事件
随机事件
随堂练习
必然事件：在一定条件下，有的事件必然会发生.
不可能事件：在一定条件下，有的事件是不可能发生的.
随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事.
随机事件的特点：
1.随机事件发生的可能性是有大小的；
2.不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.
在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的
频率逐渐稳定到的常数，可以估计这个随机事件发生的机会
的大小．
归纳总结
25.2.1 概率及其意义
【学习目标】
1．理解概率的意义；
2．知道稳定时的频率值可以估计为概率值；
3．培养动手、动脑的能力及合作交流的意识．
必然事件：
在一定条件下必然发生的事件
不可能事件：
在一定条件下不可能发生的事件
随机事件：
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件
知识回顾
问题1.掷一枚硬币，落地后会出现几种结果？
正反面向上2种可能性相等
问题2.抛掷一个骰子，它落地时向上的数有几种可能？
6种等可能的结果
问题3.从分别标有1.2.3.4.5.的5根纸签中随机抽取一
根，抽出的签上的标号有几种可能？
5种等可能的结果
自主预习
1．抛掷一枚硬币，出现正面朝上的机会(可能性)有多大？出
现反面朝上的可能性有多大？
2．投掷一枚骰子，出现“6”朝上的机会是多大？
我们知道，抛一枚硬币“出现正面”与“出现反面”的可能
性是一样的，可能性均为50%.
把表示一个事件发生的可能性大小的这个数叫做概率，如抛
掷一枚硬币“出现反面”的概率为 ，可记为P(出现反面)＝ .
投掷一枚骰子，六个面朝上的机会相同，所以出现“6”朝
上的概率为 ，记为P(掷得“6”)＝ .
例题
2
1
2
1
6
1
6
1
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生
大小的数值，称为随机事件A发生的概率。
记为P（A）
概 率
以上三个试验有两个共同的特点：
（1）一次试验中，可能出现的结果有限多个。
（2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等。
等可能事件
练习：下列事件哪些是等可能性事件？
哪些不是？
（1）抛掷一枚图钉，钉尖朝上或钉帽朝上或横卧。
（2）某运动员射击一次中靶心或不中靶心。
（3）从分别写有1，3，5，7中的一个数的四张卡
片中任抽一张结果是1，或3或5或7。
我们可以从事件所包含的各种可能的
结果数在全部可能的结果数中所占的比，
分析出事件的概率。
问题3.从分别标有1.2.3.4.5.的5根纸签中
随机抽取一根，
问：(1)“抽到1号”这个事件的概率为多少？
（2）“抽到偶数号”这个事件的概率为多少？
一般地,如果在一次试验中,有n种
可能的结果,并且它们发生的可能性都
相等,事件A包含其中的m种结果,那么
事件A发生的概率为
事件A发生的
可能种数
试验的总共可
能种数
归纳
在P（A）＝ 中，分子m和分母n都表
示结果的数目，两者有何区别，它们之
间有怎样的数量关系？P（A）可能小于
0吗？可能大于1吗？
0≤P（A）≤1
１、当Ａ是必然发生的事件时，P(A)是多少
２、当Ａ是不可能发生的事件时，P(A)是多少
0 1
事件发生的可能性越来越大
事件发生的可能性越来越小
不可能发生 必然发生
概率的值
于是概率可以从数量上刻画一个随机事件发生
的可能性大小
P（A）=1
P（A）=0
动脑想一想
例1 、班级里有20位女同学和22位男同学，班
上每位同学的的名字都被分别写在一张小纸条
上，放入一个盒中搅匀。如果老师随机地从盒
中取出一张纸条，那么抽到男同学名字的概率
大还是抽到女同学名字的概率大？
自主探究
思考：
1、抽到男同学名字的概率是 表示什么意思？
2、P（抽到女同学的名字）+P（抽到男同学的名字）=100 ℅
吗？如果改变男女同学的人数，这个关系还成立吗？
3、下面两种说法你同意吗？如果不同意，想一想可以采用哪些
办法来说服这些同学？
（1）有同学说：抽到男同学名字的概率应该是 ，因为“抽
到男同学的名字”与“抽到女同学名字的”这两个结果都有可能
发生；
（2）有同学说：虽然抽到男同学名字的概率略大，但是，只抽
一张纸条的话，概率实际还是一样大的。
11
21
1
2
解：P(取出黑球) ＝ ＝ ，
P(取出红球) ＝ ＝ .
∴取出黑球的概率是 ，
取出红球的概率是 .
8+16
16
3
2
8+16
8
3
1
3
2
3
1
例2
一个布袋中放着8个红球和16个黑球，这两种球除
了颜色以外没有任何其他区别。布袋中的球已经搅匀，
从布袋中任取一个球，取出黑球与取出红球的概率分
别是多少？
例3
甲袋中放着22个红球和8个黑球，乙袋中放着200红
球、80个黑球和10个白球。三种球除了颜色以外没有任
何其他区别，两袋中的球都已经 各自搅匀，从袋中任取
1个球，如果你想取出1个黑球，选哪个袋成功的机会大
呢？
解：在甲袋中，P(取出黑球)＝ ＝ ；在乙袋中，
P(取出黑球)＝ ＝ .
∵ ＞ ，
∴选乙袋成功的机会大．
8+22
8
15
4
200+80+
10
80
29
8
15
4
29
8
１、袋子里有１个红球，３个白球和５个黄球，
每一个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，
则
Ｐ(摸到红球)= ;
Ｐ(摸到白球)= ;
Ｐ(摸到黄球)= 。
1
9
1
3
5
9
随堂练习
２、有5张数字卡片，它们的背面完全相同，正面
分别标有1，2，2，3，4。现将它们的背面朝上，从
中任意摸到一张卡片，则：
P（摸到2号卡片）= ;
P（摸到3号卡片）= ;
P（摸到4号卡片）= ;
P（摸到奇数号卡片）= ;
P（摸到偶数号卡片） = .
1－
5
2－
5
1－
5
1－
5
2－
5
P（摸到1号卡片）= ;
3
5
知识梳理
2.必然事件A，则P(A)＝１；
不可能事件B，则P(B)=0；
随机事件C，则0＜P(C)＜1.
1.概率的定义及基本性质
如果在一次实验中，有n种可能的结果，并且他们
发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，
那么事件A发生的概率P(A)= .
0≤m≤n，有0≤ ≤1
25.2.2 频率与概率
【学习目标】
1．会用频率估计概率；
2．会用画树状图的方法求概率；
3．知道用理论分析求概率的条件限制．
• 必然事件
在一定条件下必然发生的事件.
• 不可能事件
在一定条件下不可能发生的事件.
• 随机事件
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.
概率的定义 事件A发生的频率接近于某个常数，这时就把
这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.
0≤P(A)≤1.
必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.
导入新课
等可能性事件
• 问题1 掷一枚硬币，落地后会出现几种结果？
正面、反面向上2种，可能性相等
• 问题2 抛掷一个骰子，它落地时向上的数有几种可能？
6种等可能的结果
• 问题3 从分别标有1,2,3,4,5的5根纸签中随机抽取一根，
抽出的签上的标号有几种可能？
5种等可能的结果
等可能性事件
等可能性事件的两个特征：
1.出现的结果有限多个；
2.各结果发生的可能性相等；
等可能性事件的概率可以用列举法而求得.
列表法就是把要求的对象一一用表格表示出来分析求解的
方法．
用列表法求概率
这个游戏对小亮和小明公平吗？
小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两堆牌,分别是红桃
和黑桃的1,2,3,4,5,6,小明建议:我从红桃中抽取一张牌,你
从黑桃中取一张,当两张牌数字之积为奇数时，你得1分，
为偶数我得1分,先得到10分的获胜”.如果你是小亮,你愿
意接受这个游戏的规则吗?
思考:
你能求出小亮得分的概率吗?
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
w用表格表示
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
4
1
36
9
现有A、B、C三盘包子，已知A盘中有两个酸菜包和一个
糖包，B盘中有一个酸菜包和一个糖包和一个韭菜包，C
盘中有一个酸菜包和一个糖包以及一个馒头.老师就爱吃
酸菜包，如果老师从每个盘中各选一个包子（馒头除外），
那请你帮老师算算选的包子全部是酸菜包的概率是多少？
用画树形图求概率
A
B
C
酸
酸 糖 韭
酸糖
酸 糖
酸 糖 韭 酸 糖 韭
酸糖 酸糖 酸糖酸糖 酸糖 酸糖 酸糖酸糖
解：画树形图：
由树形图，得所以可能出现的结果有18种，它们出现的可能
性相等.选的包子全部是酸菜包的结果有3种，故P（全是酸菜
包)= 3 1
18 6
.
从一定高度落下的图钉，会有几种可能的结果？
它们发生的可能性相等吗？
做做试验
用频率估计概率
试验累计
次数
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
钉帽着地的
次数(频数)
9 19 36 50 61 68 77 84 95 109
钉帽着地的
频率( %)
45 47.5 60 62.5 61 57 55 52.5 53 54.5
试验累计次
数
220 240 260 280 300 320 340 360 380 400
钉帽着地的
次数(频数)
122 135 143 155 162 177 194 203 215 224
钉帽着地的
频率(%)
55 56.25 55 55 54 55 57 56.4 56.6 56
56.5
(%)
国家在明年将继续实施山川秀美工程,各地将大力开展
植树造林活动. 并给农民发放养护补助费，为此林
业部要考查幼树在一定条件下的移植成活率,应采用
什么具体做法?
合作探究
如果某水果公司以2元/千克的成本进了10000千克柑橘,
则这批柑橘中完好柑橘的质量是________,若公司希望
这些柑橘能够获利5000元,那么售价应定为_______元/千
克比较合适.
当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的
可能性不相等时，我们一般可以通过统计频率来估计概率.
在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的
频率逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率．
利用频率估计概率
知识梳理
在相同情况下随机的抽取若干个体进行实验,
进行实验统计.并计算事件发生的频率
根据频率估计该事件发生的概率.
当试验次数很大时,一个事件发生频率也稳定在相
应的概率附近.因此,我们可以通过多次试验,用一个事件
发生的频率来估计这一事件发生的概率.
1．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列
说法正确的是( )
A．频率就是概率
B．频率与试验次数无关
C．概率是随机的与频率无关
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
2．袋子里有10个红球和若干个蓝球，小明从袋子里有放回地任
意摸球，共摸100次，其中摸到红球的次数是25次，则袋子里蓝
球大约有______个．
3．在做种子发芽试验中，10000颗种子有9801颗发芽，据此
估计该种子的发芽率是______．(精确到1%)
D
3
0
98%
随堂练习
4.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左
或向右转，如果这三种可能性的大小相同．三辆汽车经过
这个十字路口，（画树状图）求下列事件的概率：
（1）三辆汽车继续直行的概率；
（2）两辆车向右转，一辆车向左转的概率；
（3）至少有两辆车向左转的概率．
解：画树状图得：
∴一共有27种等可能的情况；
25.2.3列举所有机会均等的结果
【学习目标】
1．理解可以理性地用列表法或树状图法来列举所
有机会均等的结果；
2．掌握用列表或树状图法求事件的概率．
问题1 什么时候用“列表法”方便？什么时候用“树状图
法”
方便？
问题2 如何用“列表法”、“树状图法”？
新课导入
当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较多
时,为了不重不漏的列出所有可能的结果,通常采用列表法.
一个因素所包含的可能情况
另一个因素
所包含的可
能情况
两个因素所组合的所
有可能情况,即n
在所有可能情况n中,再找到满足条件的事件的个数m,最后代
入公式计算.
列表法中表格构造特点:
当一次试验中涉及3个因素或更多的因素时,用列表法就不
方便了.为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用
“树状图”.
一个试验
第一个因素
第二个
第三个
A B
1 2 3 1 2 3
a b a b a b a b a b a b
n=2×3×2=12
1.同时抛掷三枚硬币,求下列事件的概率:
(1) 三枚硬币全部正面朝上;
(2) 两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上;
(3) 至少有两枚硬币正面朝上.
正 反 正 反 正 反 正 反
正 反 正 反
正 反
抛掷硬币试验
第①枚
②
③
解:
用树状图或列表法求概率
由树状图可以看出,抛掷3枚硬币的结果有8种,它们出现的可
能性相等.
∴ P(A)=
(1)满足三枚硬币全部正面朝上(记为事件A)的结果只有1种,
∴ P(B)=
(2)满足两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上(记为事件B)的
结果有3种,
(3)满足至少有两枚硬币正面朝上(记为事件C)的结果有4种,
∴ P(C)=
8
1
8
3
2
1
8
4
2.在6张卡片上分别写有1~6的整数,随机地抽取一张后放回,再
随机地抽取一张,那么第二次取出的数字能够整除第一次取出
的数字的概率是多少?
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
第一次
第二次
w用表格表示
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
14 7
36 18
例 抛掷一枚普通硬币3次，有人说“连续掷出三个正
面”和“先掷出两个正面，再掷出一个反面”的概率是
一样的。你同意吗？
分析： 对于第一次抛掷，可能出现的结果是正面或
是反面；对于第2、3次抛掷来说也是这样。而且每次
硬币出现正面或反面的概率都相等。由此，我们可以
画出树状图。
典例精析
解： 开始
反
正
正 反
反
正
正 反 反 反正 反 正 正
第一次：
第二次：
第三次：
总共有8种结果，每种结果出现的可能性相同，而
三次正面朝上的结果有1种，因此三次正面朝上的概率
为1/8。
(1)取出的3个小球上,恰好有1个,2个和3个元音字母的概率分
别是多少?
1.甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母A和B;乙口
袋中装有3个相同的小球,它们分别写有字母C,D和E;丙口袋中
装有2个相同的小球,它们分别写有字母H和I,从3个口袋中各随
机地取出1个小球.
(2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少?
取球试验
甲
乙
丙
A B
C D E C D E
H I H I H I H I H I H I
解:
由树形图可以看出,所有可能的结果有12种,它们出现的可
能性相等.
∴ P(一个元音)=
(1)只有1个元音字母结果有5个,
5
12
∴ P(两个元音)=
有2个元音字母的结果有4
个, 4
12
1
3
=
∴ P(三个元音)=
全部为元音字母的结果有1个,
1
12
∴ P(三个辅音)=
(2)全是辅音字母的结果有2个,
1
6=2
12
2.甲、乙、丙三人打乒乓球.由哪两人先打呢?他们决定用
“石头、剪刀、布”的游戏来决定,游戏时三人每次做“石头”
“剪刀”“布”三种手势中的一种,规定“石头” 胜“剪刀”,
“剪刀”胜“布”, “布”胜“石头”. 问一次比赛能淘汰一人
的概率是多少?
石剪布
石
游戏开始
甲
丙
乙 石
石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布
剪 布 石 剪 布 石 剪 布
剪 布
解:
由树形图可以看出,游戏的结果有27种,它们出现的可能性相等.
由规则可知,一次能淘汰一人的结果应是:“石石剪”、“剪剪
布”、“布布石”三类.
而满足条件(记为事件A)的结果有9种
∴P(A)= 1
3
=9
27
知识梳理
(1) 列表法和树状图法的优点是什么?
(2)什么时候使用“列表法”方便?什么时候使用“树状图法”
方便?
(1)优点:利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生
的所有可能出现的结果;从而较方便地求出某些事件发生的
概率.
(2)当试验包含两步时,列表法比较方便,当然,此时也可以用树
状图法;
当试验在三步或三步以上时,用树状图法方便.
第25章 小结与复习
【学习目标】
1．在具体情境中进一步了解概率的意义，体会概率是描述不
确定现象的数学模型；
2．了解必然事件和不可能事件的概率，了解事件发生的可能
性及游戏规则的公平性．能运用树状图计算简单事件发生的
概率，能设计符合要求的简单概率模型；
3．通过具体问题情境，让学生初步体会如何评判某件事情是
否“合算”，并利用它对现实生活中的一些现象进行评判．
【学习重点】
能运用树状图计算简单事件发生的概率，能设计符合要求的
简单概率模型．
【学习难点】
让学生初步体会如何评判某件事情是否“合算”，并利用它
对现实生活中的一些现象进行评判．
1．事件
在一定条件下， 的事件，叫做随机事件．
确定事件包括 事件和 事件．
[注意] 随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事
件发生的可能性的大小有可能不同．
可能发生也可能不发生
必然不可能
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们
发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A
发生的概率P(A)＝ .
[注意] 事件A发生的概率的取值范围 ≤P(A)≤ ，当
A为必然事件时，P(A)＝ ；当A为不可能事件时，P(A)＝
.
3．求随机事件概率的三种方法
(1) 法；(2) 法；
(3) 法．
0 1
1
0
直接列举 列表
树形图
2．概率的意义
4．用频率估计概率
一般地，在大量重复试验中，事件A发生的频率
稳定于 ，那么事件A
发生的概率P(A)＝ .
某个常数附近
1、下列事件是必然事件的是( )
A．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为
6
B．抛一枚硬币，正面朝上
C．3个人分成两组，一定有2个人分在一组
D．打开电视，正在播放动画片
C
2、 在一个布口袋中装有只有颜色不同，其他都
相同的白、红、黑三种颜色的小球各1只，甲、乙两人
进行摸球游戏，甲先从袋中摸出一球看清颜色后放回，
再由乙从袋中摸出一球．
(1)试用树形图(或列表法)表示摸球游戏所有可能的
结果；
(2)如果规定：乙摸到与甲相同颜色的球为乙胜，否
则为负，试求乙在游戏中能获胜的概率．
3、在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的
玻璃球共有120个，除颜色外，形状、大小、质地等完
全相同．小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、
黑色球的频率稳定在15%和55%，则口袋中白色球的
个数很可能是________个．36
4、如图25－2是一个被等分成6个扇形且可自由转
动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针指向红色
区域的概率是________．
图25－2
2.必然事件A，则P(A)＝１；
不可能事件B，则P(B)=0；
随机事件C，则0＜P(C)＜1.
1.概率的定义及基本性质
如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且他们
发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，
那么事件A发生的概率P(A)= .
0≤m≤n，有0≤ ≤1
归纳总结
当事件要经过一步完成时列举出所有可能情况，当事件要经
过两步完成时用列表法，当事件要经过三步以上完成时用树
状图法.
当试验的所有可能结果不是有限个,或各种可能结
果发生的可能性不相等时,常常是通过统计频率来估计概
率,即在同样条件下,大量重复试验所得到的随机事件发
生的频率的稳定值来估计这个事件发生概率.
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