资料简介
第
4
章 相似三角形
4.1
比例线段
四条线段
a、b、c、d
中，
如果
a：b
=
c：d
，
那么这四条线段
a、b、c、d
叫做
成比例的线段
，
简称
比例线段
.
比例线段
已知四条线段
a、b、c、d
，
如果
a c
b d
或
a
：
b=c
：
d
，
那么
a、b、c、d
叫做组成比例的
项
，
线段
a、d
叫做比例
外项
，线段
b、c
叫做比例
内项
，线段
d
叫做
a、b、c
的
第四比例项.
=
如果作为
比例内项
的是
两条相同的线段
，
a
b
b
c
=
或
a
：
b
=
b
：
c
，
即
那么线段
b
叫做线段
a
和
c
的
比例中项
.
两条线段的比是它们的长度的比，也就是两个数的比.关于成比例的
数
具有下面的性质.
比例式是等式，因而具有等式的各个性质，此外还有一些特殊性质：
(1)比例的基本性质
如果 a：b =c：d ，那么ad =bc.
比例的内项乘积等于外项乘积.
如果
ad
=
bc，
那么
a
：
b
=
c
：
d
.
如果 a：b =
b
：
c
，那么
b
2
=
a
c.
说明：
(1)一个等积式可以改写成八个比例式 (比值各不相同)；
(2)对调比例式的内项或外项， 比例式仍然成立 (比值变了).
(2)合比性质
如果
a c
b d
=
，
那么
a
±
b c
±
d
b d
= .
(3)等比性质
如果
那么
a c
b d
=
m
n
= …=
(b+d+…+n≠0),
a
+
c+…+m
b+d+…+n
=
.
a
b
本课小结：
主要内容：
比例线段的意义，比例的3个主要性质及其应用.
能力要求：
通过本课的学习，形成比例变形的能力，
要做一定量的习题，达到熟练.
第
4
章 相似三角形
4.2
由平行线截得的比例线段
情境引入
你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是
2:3
？
4.2
由平行线截得的比例线段
将 向下平移到如图的位置，直线
m
,
n
与 的交点分别为 ， ，问题
2
中的结论还成立吗？计算试一试。如果将 平移到其他位置呢？
a
b
c
A
B
C
D
E
F
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
3
4
x
7
已知两条直线被三条平行线所截，截得线段长度如图所示，你能求出
x
的值吗
?
解：由已知条件可得：
如图
4-8
，直线
a
∥
b
∥
c
，分别交直线
m
,
n
于
A
1
，
A
2
，
A
3
，
B
1
，
B
2
，
B
3
。过点
A
1
作直线
n
的平行线，分别交直线
b
，
c
于点
C
2
，
C
3
。如图
4-9
有哪些成比例线段？
推论
：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
A
B
C
D
E
∵
DE
∥
AB
例
1
、如图，在△
ABC
中，
E
、
F
分别是
AB
和
AC
上的点，且
EF∥BC,
（
1
）如果
AE = 7, FC = 4
，那么
AF
的长是多少？
（
2
）如果
AB = 10, AE=6
，
AF = 5
，那么
FC
的长是多少？
A
B
C
E
F
通过本节课的学习你学会了什么？你是如何获取这些知识的？
１．通过归纳与猜想，探索“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”的基本事实．
２．通过作平行线构造三角形，将平行线分线段成比例的基本事实特殊化，得到一个推论．
３．掌握利用基本事实与推论求线段长度的方法．
如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳子分成两部分，使这两部分之比是
2:3?
A
B
C
E
D
F
第
4
章 相似三角形
4.3
相似三角形
经过相似变换后得到的像与原像称为
相似图形
.
那么，将一个
三角形
作相似变换后所得到的像与原像称为
相似三角形
.
如图
,
在方格纸内先任意画一个
△
ABC,
然后画
△
ABC
经某一相似变换
(
如放大或缩小若干倍
)
后得到
△
A′B′C′
(
点
A′,B′,C′
分别对应点
A,B,C,
顶点在格点上
).
问题讨论
1:
△A′B′C′
与
△
ABC
对应角之间有什么关系
?
问题讨论
2:
△A′B′C′
与
△
ABC
对应边之间有什么关系
?
C
A
B
B′
A′
C′
C
A
B
B′
A′
C′
对应角
相等
,
对应边
成比例
的两个三角形
,
叫做
相似三角形
.
相似用符号“∽”来表示, 读做“相似于”
如△A′B′C′与△ABC相似, 记作
“
△A′B′C′∽△ABC
”
在写两个三角形相似时应把表示
对应顶点
的字母写在
对应
的位置上
.
C
A
B
B′
A′
C′
对应角
相等
,
对应边
成比例
的两个三角形
,
叫做
相似三角形
.
如△A′B′C′与△ABC相似, 记作
“
△A′B′C′∽△ABC
”
∵∠A′=∠A, ∠B′=∠B, ∠C′=∠C,
AB
A′B′
BC
B′C′
AC
A′C′
=
=
∴△A′B′C′∽△ABC
用符号语言表示：
C
A
B
B′
A′
C′
相似三角形的
对应角
相等
,
对应边
成比例
.
相似三角形对应边的比
,
叫做两个相似三角形的
相似比
(
或
相似系数
)
(similitude ratio).
△ABC
与
△
A′B′C′
的相似比为
2
注意
:
两个三角形的前后顺序
.
如图，
,
所以
△
A′B′C′
与
△
ABC
的相似比为
A
E
D
C
B
A
B
C
D
E
如图，
△
ADE
与
△
ABC
相似
,
根据图形分别说出两个三角形的对应边和对应角？
（
1
）
A
B
D
E
C
（
2
）
（
3
）
１、两个全等三角形一定相似吗？为什么？
２、两个直角三角形一定相似吗？为什么？
两个等腰直角三角形呢？
B
C
D
E
F
A
30
0
45
0
相似
.
因为对应角相等
,
对应边成比例
.
两个直角三角形不一定相似
.
因为对应角不一定相等
,
对应边也不一定成比例
;
两个等腰直角三角形相似
.
因为对应角相等
,
对应边成比例
.
３、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？
两个等边三角形呢？
B
C
D
E
F
A
两个等腰三角形不一定相似
;
两个等边三角形相似
.
例
1
：
已知
:
如图
,
D,
E
分别是
AB,
AC
边的中点
.
求证
:
△ADE∽△ABC.
E
D
C
B
A
证明：
∵D
，
E
分别是
AB
，
AC
的中点，
∴∠ADE=∠B
，
∠
AED=∠C
在
△
ADE
和
△
ABC
中，
∠ADE=∠B
，
∠
AED=∠C
，
∠
A=∠A
=
=
=
∴DE∥BC
，
DE= BC
.
∴
△ADE∽△ABC
（相似三角形的定义）
A
B
C
D
E
F
思考题
：
图中有几个三角形相似？
已知：D
、
E
、
F
分别是三角形三边的中点
.
相似三角形的传递性
：
如果△
ABC
∽△
A
1
B
1
C
1
，
而△
A
1
B
1
C
1
∽△
A
2
B
2
C
2
那么△
ABC
∽△
A
2
B
2
C
2
.
如果
△
ABC
∽△
A
1
B
1
C
1
而
△
A
1
B
1
C
1
∽△
A
2
B
2
C
2
那么
△
ABC
与
△
A
2
B
2
C
2
是否相似？
为什么？
例
2
、
已知
:
如图
,
D
、
E
分别是
△
ABC
的
AB,
AC
边上的点
,
△ABC∽△ADE.
已知
AD
:
DB=1
:
2,
BC=9cm,
求
DE
的长
.
E
D
C
B
A
温馨提醒:
AD:DB的比是△ADE与△ABC的相似比吗?
DE
=9
1
、已知
△
ABC
与
△
DEF
相似
, △ABC
的三边为
2,3,4, △DEF
的最大边为
8,
求其余两边
.
2
、已知
△
ABC
与
△
DEF
相似
, △ABC
的三边为
2,3,4, △DEF
的一边为
8,
求其余两边
.
4,
6
4,6
或
12,16
或
16/3,32/3
在方格纸中
,
每个小格的顶点称为格点
,
以格点连线为边的三角形叫做格点三角形
,
如图所示
,
在
10×10
的方格中
,
已知
△
OAB.
x
y
4
-1
-1
4
3
2
1
3
0
1
2
A
-4
-3
-2
-4
-3
-2
B
5
-5
1.
作一个格点三角形与
△
OAB
全等
.
2.
作一个格点三角形与
△
OAB
相似
.
3.
作一个格点三角形与
△
OAB
相似且与
△
OAB
共边
AB.
●
1
、在下面的两组图形中
,
各有两个相似三角形
,
试确定
x ,y ,
m ,n
的值
.
你准备如何去做
?
x
=32,
y=20/3,
m=80
°
,
n=55
°
.
x
20
33
48
22
30
45
°
85°
m
°
n°
50
°
45
°
3a
2a
y
10
(1)
(2)
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
2
、如图，
△
ABC∽△ACD,
点
D
在
AB
上
,
已知
AC=3cm, AD=2cm,
(1)
求
AB
的长
.
(2)
若
BC=5cm ,
则
CD=?
AB=4.5
CD=
3
、已知在
Rt△ABC
中
,∠ACB=Rt∠,AC=BC,CD⊥AB
于
D
求证
:
△ACD∽△ABC.
改
:
若在
Rt△ABC
中
,∠ACB=Rt∠, CD⊥AB
于
D
且
∠
A=30
0
则
△
ACD∽△ABC?
△ACD
与
△
CBD
呢
?
三个角对应
相等
,
三条边对应
成比例
的两个三角形
,
叫做相似三角形
(similar trianglec).
△ABC
与
△
DEF
相似
,
就记作
:△ABC∽△DEF.
注意
：
要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！
性质：相似三角形的各
对应角相等
,
各对应边
对应成比例
.
如果
△
ABC∽ △DEF,
那么
∠
A = ∠D,∠B = ∠E,
∠C = ∠F.
第
4
章 相似三角形
4.4
两个三角形相似的判定
相似三角形的相关概念
三个角对应
相等
,
三条边对应
成比例
的两个三角形
,
叫做相似三角形
(similar trianglec)
相似三角形的各
对应角相等
,
各对应边
对应成比例
.
相似比等于
1
的两个三角形全等
.
注意：
要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上
.
反之
,
写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！
由于相似三角形与其位置无关
,
因此
,
能否弄清对应是正确解答的前提和关键
.
判定三角形相似的方法
判定两个三角形相似的方法
:
两角对应相等的两个三角形相似
.
三边对应成比例的两个三角形相似
.
类比三角形全等的判定方法
:
边角边
(SAS);
角边角
(ASA);
角角边
(AAS);
边边边
(SSS);
斜边直角边
(HL).
你还能得出判定三角形相似的其它方法吗
?
相似与全等类比
—
新化旧
由
角边角
(ASA)
、角角边
(AAS)
可知
,
有两个角对应相等的两个三角形相似
;
由
边边边
(SSS)
可知
:
有三边对应成比例的两个三角形相似
;
由
边角边
(SAS)
可猜想
:
两边对应成比例
,
且夹角相等的两个三角形相似
;
由
斜边直角边
(HL)
可猜想
:
斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似
.
我们已经把前两个猜想变为现实
,
剩余的还有问题吗？
问题三
:
如果
△ ABC
与
△ A
′
B
′
C
′
有一个角相等
,
且两边对应成比例
,
那么它们一定相似吗
?
(1)
如果这个角是这两边的夹角
,
那么它们一定相似吗
?
我们一起来动手
:
画
△ ABC
与
△A
′
B
′
C
′
使
∠A=∠A
′,
设法比较
∠B
与
∠B
′
的大小
,∠C
与
∠C
′
的大小
.
△ ABC
与
△A
′
B
′
C
′
相似吗
?
说说你的理由
.
改变
k
值的大小
(
如
1∶3),
再试一试
.
通过上面的活动
,
你猜出了什么结论
?
判定三角形相似的方法
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
.
如图
,
在
△ ABC
与
△A
′
B
′
C
′
中
,
如果
那么
△ ABC∽△A
′
B
′
C
′
(
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
.)
C
B
A
A
′
B
′
C
′
这又是一个用来判定两个三角形相似的方法
,
但使用频率不是很高
,
务必引起重视
.
且
∠A=∠A
′,
图中的
△ABC∽△A
′
B
′
C
′
,
你还能用其它方法来说明其正确性吗
?
且∠A=∠A′=450,
∴△ABC∽△A′B′C′
(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.)
C
B
A
A
′
B
′
C
′
解法2: 如图,设小正方形的边长为1,由勾股定理可得:
问题四
:
在
Rt△ ABC
与
Rt△ A
′
B
′
C
′
中
, ∠C= ∠C
′=90
0
,
如果有一直角边和斜边对应成比例
,
那么它们一定相似吗
?
我们一起来动手
:
画
△ ABC
与
△ A
′
B
′
C
′
,
使
设法比较∠B 与∠B′的大小,∠A与∠A′的大小.
Rt△ ABC与Rt△ A′B′C′相似吗?说说你的理由.
改变k值的大小(如1∶3),再试一试.
通过上面的活动,你猜出了什么结论?
斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似
.
如图
,
在
Rt△ABC
与
Rt△A
′
B
′
C
′
中
,
如果
那么
△ABC∽△A
′
B
′
C
′
,
(
斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似
.)
C
B
A
A
′
B
′
C
′
这是一个用来判定两个直角三角形相似的方法
,
务必引起重视
.
我们重新来看问题三
:
如果
△ ABC
与
△ DEF
有一个角相等
,
且两边对应成比例
,
那么它们一定相似吗
?
(2).
如果这个角是这两边中一条边的对角
,
那么它们一定相似吗
?
小明和小颖分别画出了下面的
△ ABC
与
△ DEF
:
A
B
C
50
0
3.2cm
4cm
2cm
D
F
E
50
0
1.6cm
通过上面的活动,你猜出了什么结论?
两边对应成比例,且其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定相似。
判定三角形相似的常用方法
:
两角对应相等的两个三角形相似
.
三边对应成比例的两个三角形相似
.
两边对应成比例
,
且夹角相等的两个三角形相似
.
斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似
.
相似三角形的各
对应角相等
,
各对应边
对应成比例
.
相似三角形
对应高
的比
,
对应角平分线
的比
,
对应
中线
的比
,
对应周长
的比都等于相似比
.
如图，在
△ ABC
和
△ DEF
中 ，如果
∠A=∠D, ∠B=∠E,
那么
△ ABC∽ △DEF.
A
B
C
D
E
F
那么△ ABC∽ △DEF.
且
∠A=∠D
，
那么
△ ABC∽ △DEF.
两角分别相等的两个三角形相似。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
三边成比例的两个三角形相似
在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节课我们将对它们进行证明。
定义判定
相似三角形判定定理的证明
定理 两
角分别相等的两个三角形相似
A
B
C
A
/
B
/
C
/
已知：如图，在
△
ABC
和
△
A
/
B
/
C
/
中，
∠
A=∠A
/
, ∠B=
∠B
/
.
求证：
△
ABC
∽△A
/
B
/
C
/
.
证明：在
△
ABC
的边
AB
（或它的延长线）上截取
AD=A
/
B
/
,
过点
D
作
BC
的平行线，交
AC
于点
E
（如图），
则
∠
ADE=∠
B, ∠AED=
∠C
（平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例）
过点D作AC的平行线，交BC于点F,则
（平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例）
∵
DE∥BC,DF
∥AC
∴四边形DFCE是平行四边形
∴DE=CF
而∠ADE=∠B, ∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC
∵∠A=∠A/, ∠ADE=∠B=∠B/,AD=A/B/
∴△ADE≌△A/B/C/
∴△ABC∽△A/B/C/
定理 两边
成比例且夹角相等的两个三角形
相似
已知：如图，
在△
ABC
和△
A
/
B
/
C
/
中
，
∠
A=∠A
/
,
求证：△
ABC∽△A
/
B
/
C
/
.
证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A/B/,过点D作BC的平行线，交AC于点E（如图）
，
则
∠B=∠ADE, ∠C=∠AED
∴△ABC∽△ADE
（两角分别相等的两个三角形相似）
∴AE=A/C/
而∠A=∠A/
∴△ADE≌△A/B/C/
∴△ABC∽△A/B/C/
定理 三
边成比例的两个三角形相似
已知：如图，在△
ABC
和△
A
/
B
/
C
/
中，
求证：△
ABC∽△A
/
B
/
C
/
.
证明：在△ABC的边AB,AC（或它们的延长线）上分别截取AD=A/B/,AE=A/C/,连接DE.
而∠BAC=∠DAE
∴△ABC∽△ADE
（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴DE=B/C/
∴△ADE≌△A/B/C/
∴△ABC∽△A/B/C/
B
C
A
E
D
F
如图，
AD⊥BC
于点
D
，
CE⊥AB
于点
E
，且交
AD
于
F
，你能从中找出几对相似三角形？
B
C
A
E
D
F
如图，AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？
B
C
A
E
D
F
如图，AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？
B
C
A
E
D
F
如图，
AD⊥BC
于点
D
，
CE⊥AB
于点
E
，且交
AD
于
F
，你能从中找出几对相似三角形？
通过本节课的学习你有什么收获和体会？你还有什么困惑？
?
本 课
小
结
第
4
章 相似三角形
4.5
相似三角形的性质及其应用
相似三角形的识别
问：相似三角形的识别方法有哪些？
证二组对应角相等
证三组对应边成比例
证二组对应边成比例，且夹角相等
相似三角形的特征
问：你知道相似三角形的特征是什么吗？
角：对应角相等
边：对应边成比例
问：什么是相似比？
相似比=对应边的比值=
如右图，
△
A B C ∽△A′B′C′
A
B
C
A
’
B
’
C
’
D
D
’
已知：
Δ
ABC∽
Δ
A’B’C,
’
相似比为k,它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论。
相似三角形对应边上的高有什么关系呢？
相似三角形对应边上的高之比等于相似比
A′
B′
C′
D′
则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得△A′B′C′，并作出B′C′边上的高A′ D′ 。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？AD 与A′ D′有什么关系？
右图△
A B C ， AD
为
BC
边上的高。
D
A
B
C
相似三角形对应角的角平分线有什么关系呢？
相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比
如右图△A B C ， AF为 ∠ A 的角平分线。
则:(1)把三角形扩大2倍后得△A′B′C′，A′ F′ 为∠ A′的角平分线， △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？ AF 与A′ F′比是多少？
A
B
C
F
A′
B′
C′
F′
相似三角形对应边上的中线比等于相似比
相似三角形对应边上的中线有什么关系呢？
如右图△A B C ， AE为 BC 边上的中线。
则:(1)把三角形扩大2倍后得△A′B′C′，A′ E′为 B′C′边上的中线。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？ AE 与A′ E′比是多少？
A
B
C
E
A′
B′
C′
E′
填空：
（
1
）两个三角形的对应边的比为
3:4
，则这两个三角形的对应角平分线的比为
_____
，对应边上的高的比为
____
，对应边上的中线的比为
____
(2)
相似三角形对应角平分线比为
0.2,
则相似比为
_________,
对应中线的比等于
______;
相似三角形对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比
.
你会应用吗？
△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，已知 ，B′D′=4cm，求BD的长.
解：∵
△
ABC∽△A
′
B′C′
，
BD
和
B′D′
是它们的对应中线
∴
（相似三角形对应中线的比都等于相似比）
∴
BD=6
∴
相似三角形的周长比等于相似比。
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
想一想：
你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？
周长比等于相似比，面积比等于相似比的
平方
√10
2
√2
1
√5
√2
A
B
C
A
’
C’
B’
小结
相似三角形的性质
对应角相等、对应边成比例
对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比
周长之比等于相似比
面积之比等于相似比的
平方
（你学到了什么呢？）
课题：
同学们
,
怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆
(
或路灯
,
或树
,
或烟囱
)
的高度
?
活动方式：
全班同学分成六人小组
,
选出组长
,
分头进行户外实际测量
,
被测物不一定是旗杆
.
如楼房
,
树
,
电线杆等
.
先集中讨论方案
,
再分散实际操作
,
最后集中总结交流
.
利用相似三角形测高
A
B
C
D
E
F
方法
1:
利用阳光下的影子
A
C
B
E
F
方法
2:
利用标杆
E
C
B
D
A
方法
3:
利用镜子
如图
,A
、
B
两点分别位于一个池塘的两端
,
小芳想用绳子测量
A
、
B
两点之间的距离
,
但绳子的长度不够
,
一位同学帮她想了一个主意
,
先在地上取一个可以直接到达
A
、
B
点的点
C,
找到
AC
、
BC
的中点
D
、
E,
并且
DE
的长为
5m,
则
A
、
B
两点的距离是多少？
C
B
A
E
D
一盗窃犯于夜深人静之时潜入某单位作案，该单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过程
.
请你为警方设计一个方案，估计该盗窃犯的大致身高
.
用较简单的方法测量河坡电场烟囱的高度
.
课外完成
,
写出实践报告
.
第
4
章 相似三角形
4.6
相似多边形
我们在生活中，常会看到这样一些的图片观察下列各组图片，你发现了什么？你能得出什么结论？
(1)
(2)
(3)
(5)
(4)
(6)
§4.6
相似多边形
下列每组图形形状相同吗？
（
1
）
正三角形
ABC
与正三角形
（
2
）
正方形
ABCD
与正方形
（
3
）正五边形
ABCDE
与
正五边形
（
1
）在每组图形中，是否有对应相等的内角？设法验证你的猜测．
（
2
）在每组图形中，夹相等内角的两边是否成比例？
想一想：
图中的两个多边形分别是计算机显示屏上的多边形
ABCDEF
和投射到银幕上的多边形
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
，它们的形状相同吗
?
（
1
）在这两个多边形中，是否有对应相等 内角？设法验证你的猜测．
（
2
）在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？
想一想：
强调说明
：
在上图中，六边形
ABCDEF
与六边形
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
是形状相同的多边形，其中∠
A
与∠
A
1
，∠
B
与∠
B
1
，∠
C
与∠
C
1
，∠
D
与∠
D
1
，∠
E
与∠
E
1
，∠
F
与∠
F
1
，分别相等，称为
对应角
；
AB
与
A
1
B
1
，
BC
与
B
1
C
1
，
CD
与
C
1
D
1
，
DE
与
D
1
E
1
，
EF
与
E
1
F
1
，
FA
与
F
1
A
1
的比都相等，称为
对应边
．
归纳总结，形成概念
相似多边形的概念：
各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做
相似多边形
（
Similar polygons
）
.
例如，在上图中六边形
ABCDEF
与六边形
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
相似，记作六边形
ABCDEF
∽
六边形
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
，
“
∽
”
读作“
相似于
”．
相似比的概念：
相似多边形对应边的比叫做
相似比
（
Similarity ratio
）
.
强调说明：
(1)
在记两个多边形相似时，要把对应顶点字母写在对应的位置上
.
(2)
相似多边形的定义既是最基本、最重要的判定方法，也是最本质、最重要的性质
.
(3)
相似比有顺序性
.
例如，五边形
ABCDE
∽
五边形
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
，对
应边的比为
因此五边形
ABCDE
与五边形
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
的相似比
五边形
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
与五边形
ABCDE
的相似比
(4)
相似比为
1
的两个图形是全等形
.
因此全等形是相似图形特殊情况
.
(1)
观察下面两组图形，图（
1
）中的两个图形相似吗？
图（
2
）中的两个图形呢？为什么？你从中得到什么
启发？与同桌交流
.
(2)
如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？
提出问题：
一块长
3m
、宽
1.5m
的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框
7.5cm
.
边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
解
:∵
四边形
ABCD
与矩形
A
1
B
1
C
1
D
1
均为矩形
∴∠
A
=∠
A
1
，∠
B
=∠
B
1
，∠
C
=∠
C
1
，∠
D
=∠
D
1
，
由题意得
AB
=315
，
BC
=165
∴
∴ ≠
∴
矩形
ABCD
和矩形
A
1
B
1
C
1
D
1
不相似
.
通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
通过本节课的学习，同学们经历从特殊到一般探究过程，认识到全等图形是相似比于
1
的相似图形，相似图形是全等图形的进一步的推广，理解了相似多边形的概念既是性质又是判定，运用性质时对应顶点字母写在对应的位置上，同时知道相等角所对边是对应边，对应边所对角是对应角．体会了相似比是有顺序要求．
1
．
一个多边形的边长分别是
2
、
3
、
4
、
5
、
6
，另一个和它相似的多边形的最短边长为
6
，则这个多边形的最长边为
．
2
．
下列说法中正确的是（ ）
A
、
所有的矩形都相似
B
、
所有的正方形都相似
C
、所有的菱形都相似
D
、
所有的正多边形都相似
18
B
练习
第
4
章 相似三角形
4.7
图形的位似
观察下列图形的特点
A
B
C
D
P
特征
:
(1)
是相似图形
(2)
每组对应点所在的直线都经过同一个点
如果两个多边形是每组对应顶点的连线都经过同一个点，那么这样的两个多边形叫做
位似多边形，
这个点叫做
位似中心
。
实际上，
K
就是这两个相似多边形的相似比。
基本概念
:
下列图形中，每个图中的四边形
ABCD
和四边形
A′B′C′D′
都是
相似图形
.
分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？
图中每组中的两个多边形也是位似多边形。
应用位似图形概念作图
例：如图已知△ABC以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC相似，且相似比为2.
解：1、画射线OA,OB,OC.
2、在射线OA，OB,OC上取点D,E,F使OD=2OA,OE=2OB,OF=2OC
.
3.顺次连接D、E、F
则△DEF与△ABC位似，相似比为2
.
用橡皮筋放大图形的方法放大图形,使用这种方法,放大前后的两个图形是位似图形,你能用这种方法将一个已知的正方形放大,使放大后的图形与原图形的位似比分别是1:2吗?
判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是？
（
1
）五边形
ABCDE
与五边形
A′B′C′D′E′
；
（2）在平行四边形ABCD中，△ABO与△CDO
（3）正方形ABCD与正方形A′B′C′D′.
（4）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′
做一做
如图，请以坐标原点
O
为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大
3
倍
.
分析：根据位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，我们只要连结位似中心
O
和的各顶点，并把线段延长（或反向延长）到原来的
3
倍，就得到所求作图形的各个顶点
练一练
1
．如图，已知△
ABC
和点
O.
以
O
为位似中心，求作△
ABC
的位似图形，并把△
ABC
的边长缩小到原来的一半
.
今天你学会了什么？
位似图形的定义，位似图形的性质
.
小结
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