资料简介
第
3
章 分式
3.1
分式的基本性质
三维目标
知识与技能：了解分式的概念，掌握分式的基本性质．
过程与方法：用类比的方法探索分式及分式的基本性质，由除法运算探索分式有意义，无意义，值为零．
情感态度与价值观：经历本节知识的学习，使学生体会学习的乐趣，增强学生学好数学的自信心，学会合作，学会交流，深刻体会类比的数学思想在解决数学问题中的广泛应用．
重点：分式值为零的条件．
难点：正确理解分式及分式性质的含义．
1.
甲做
91
个零件需
7
小时，则甲每小时做
___
个零
件
.
乙做
a
个零件需
7
个小时，则乙每小时做
___
个零
件
.
丙做（
a
+3)
个零件需
7
个小时，则丙每小时做
______
个零
件
.
丁做
90
个零件需
x
小时，则丁每小时做
_____
个零
件
.
创设情境
,
复旧孕新
13
2.
一项工程
,
如果由某施工队做需要
a
天完成
,
那么这个施工队平均每天应完成该项工
程的
_____,
b
(
b
< a ) 天应完成该项工程的 _____. 3. A,B 两个城市之间的路程为 m km. 如果甲车速度为 v km/h, 乙车每小时比甲车多行驶 10 km , 那么 甲车从 A 城行驶到 B 城所用的时间为 _____h, 乙车从 A 城 行使 到 B 城所用的时间为 _____ h. 大家谈谈 1. 上面的代数式那些是整式 ? 那些不是 ? 2. 这些不是整式的代数式与整式有什么区别 ? 这些代数式有什么共同特征 ? 整式 : 13 区别 : 分母中含有字母 ; 特征 : 都是 的形式 , 其中 A , B 都是整式 , 并且 B 中含有字母。像这样的代数式叫做分式 . 其中 A 叫做分式的分子 , B 叫做分式的分母 . 1. 分式和整式有什么联系？ ( 分式可怎样得到 ) 分式可看作两个整式的商 . 用 A ， B 表示两个整式， A ÷ B 就可以表示为 的形 式 . 2. 分式和整式有什么区别？ B 中有字 母 . 引导思考 , 传授新知 ３ . 练习 下列式 子是 整式的有 , 是分式的有 . - 3x 0 是分数 , 它也是 的形式 , 这说明分式与分数有什么 联系 ? 形式 相像 分式的分母中含有字母 , 而字母可以表示许多数 . 数与式有相同性质 ; 字母取值使分母为 0 时 , 分式无意义 ; 分式值为 0, 不同于分式无意义 , 当我们说分式值是多少时 , 已经隐含了分式一定有意义的前提 . ６ . 中 , n 能否为 0? m 能否为 0? ７．对于分式 ， （１）当 B ＝０时，分式无意义． （２）当 B ≠ ０时，分式有意义． （３）当 A ＝０，且 B ≠ ０时，分式的值为 0. ５ . 分式与分数有什么区别 ? 探究、交流与总结 （１）分式 与 的分子，分母间有怎样的关系？对于同一个 x 的值，这两个分式的值又有怎样的关系？分式 与 之间情况又怎样呢？ （２）由此你发现分式具有怎样的性质？ 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不 变 . = ， = （ M 是不等于 0 的整式 ） . 探索与创新 同桌之间交流对分式基本性质的了解情况，下面是两位同学之间的对话： 小亮说： = . 小红说： = . 他们互相批评对方不对，于是请小华评判，她说他俩都对，请聪明的小朋友给判断一下他们三人谁对谁 错 . 解：小亮说的不对，因忽略了限制条件： y ≠0 。 小红说的对，尽管题中没有条件 b ≠0 ，但这一条件实际隐含于分式有意义中 . 例 1 当 x 取什么值时，下列分式有意义？ 引导分析：只有分母为零这一种情况下，分式无意义，其余情形下分式均有意义，所以我们应遵循这样的程序： 第一步，先求出使分母为零时字母的值； 第二步，排除所有的 值 . 举例示范 , 应用新知 例 2 当 x 是什么数时，分式 的值是 零 . 第一步，求出使分子为零的字母的值； 第二步，将求得的字母的值代入分母中，看分母是否为零； 第三步，下结 论 . 例 3 将 中 a , b 扩大 2 倍后分式值怎样变化 ? = × 1. 当 x 取什么值时，下列分式有意义？ 2. 当 x 取什么数时，下列分式的值为零？ 3 . 当 a 为何值时 , 有 意义？ 教学反思 通过今天的学习，我们知道：整式与整式的相除当分母含字母时是分式，其形式、性质都类似于我们学过的分数，分式实质上就是分数知识进一步延伸的产 物 . 本节主要学习了分式的意义，分式有意义，无意义，及分式的值为零的条件，并且用类比的方法学习了分式的基本性质，重点是分式的值为零的条件，关键是分式的基本性质的限制条件． 同学们，我们是站在前人的肩膀上看世界的，我们的知识越多，越牢，我们将站的越 高，看 得越 远 . 第 3 章 分式 3.2 分式的约分 1. 分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以） 同一个 , 分式的值 _____. 2.分式的符号法则： 不变 不为 0 的整式 复习导入 3.化简： 思考： 这是什么运算？运算的依据是什么？ 1. 理解约分和最简分式的概念，掌握约分的方法，会将一个分式约分成最简分式或整 式 . 2. 利用分式的意义和分式的约分进行整式的除法运 算 . 教学目标 预习诊断 约分： 合作探究 探究一：约分、最简分式的概念 类比分数约分的意义，约去下列分式的分子和分母中除 1 以外的公因式： 利用分式的基本性质，把一 个分式的分 子和分母中 1 以外的公因式约去 ，叫做分式的 约 分 . 分子和分母没有公因式的分式称为 最简分 式 . . 约分： 探究二：如何找分子、分母的公因式？ （ 1 ）定系数：分子、分母系数的最大公因数 （ 2 ）定字母：相同字母取最低次幂 找分子分母的公因式的方法 ： 仔细观察刚才的第 (1) 题，并思考 如何找分子、分母的公因式？ 知识应用： 1. 下列各式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 2. 下列各式 中，最简分式的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 约 分 : 例 1 例题引领 思考：分式约分的关键是什么？约分的基本步骤有哪些？应注意什么？ 约分的 关键 是确定 分子与分母的公因 式 . 约分的基本步骤： (1) 找出分式的分子、分母的 公因 式 . (2) 约去 公因式 ，化为 最简分 式 . 1. 如果分式的分子或分母是 单项式 时，可直接 约 分 . 2. 如果分式的分子或分母是 多项式 ， 先分解因式再约 分 . 3. 如果分式的分子或分母中带 有负号 ，应先 将负号化 去 . 4. 约分的结果应化为 最简分 式 . 约分应注意的问题： 例 2 计算： 分析：把整式的除法写成 分式 的形式，可以利用 约分 进行计 算 . 知识应用： 1. 约分： 2. 计算： (1) （ 3a-6b) ÷(a-4ab+4b 2 ) (2) (m 2 -16) ÷(3m-12) 系统总结 分式的约分 两个概念 分式的约分 最简分式 约分的关键 确定分子与分母 的公因式 约分的方法 分子分母是单项式 分子分母是多项式 最简分式 第 3 章 分式 3.3 分式的乘法与除法 情境导入 有 一次，鲁班的手不慎被一片小草割破了，他发现小草的叶子的边缘布满了密集的小齿，于是产生联想，根据小草的结构发明了锯 子 . 类比是数学学习中常用的一种重要方 法 . 1. 理解和掌握分式的乘除法运算法则，能进行简单的分式乘除法运 算 . 2. 掌握分式的乘方法则，会进行分式的乘方运 算 . 教学目标 预习诊断 计算： 合作探究 探究一：分式的乘除法法则 两个 分数 相乘 , 把分子相乘的积作为积的分子 , 把 分母相乘的积作为积的分母 . 两个 分数 相除 , 把除式的分子分母颠倒位置后 , 再 与被除式相乘 . 【 分数的 乘除法法则 】 两个 分式 相乘 , 把分子相乘的积作为积的分子 , 把分母相乘的积作为积 的分 母 . 两个 分式 相除 , 把除式 的分子分母颠倒位置后 , 再 与被除式相乘 . 【 分式的 乘除法法则 】 例 1 计算： 温馨提示： 在 运算过程中，应进行约分 , 使运算结果化为最简分 式 . 知识应用： 计算： 注意： 如果除式是整式 , 则把它的分母看 做“ 1 ” . 例 2 计算： 解题技巧： (1) 分式的分子或分母是多项式的分式除法 先转化为乘法 , 然后把多项式进行 因式分解 , 最后 约分 , 化为 最简分式 . (2) 如果除式是整式 , 则把它的分母 看 ” 1”. 知识应用： 计算： 1. 是什么意思 ? 表示什么 ? 表示什么 ? 中的 可 以是数 , 也可以是整式 , 那 可不可以是一个分式呢 ? 即两个整式的商 的 次方 ? 即 探究二：分式的乘方法则 猜想 计算下列各式： 分式的乘方法则： 即： （ n 是正整数， b ≠ 0 ） . 例 3 温馨提示： 分式乘方时，要注意 幂的符 号 . 若 分式本身的符号是负的 ，应类比负数乘方法则进行， 即负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负 数 . 知识应用 ： 计 算： 系统总结 分式的基本性质 1. 分式的乘法 2. 分式的除法 3. 分式的乘方 法则 符号表示 法则 法则 符号表示 符号表示 计算结果必须是 最简分式或整式 第 3 章 分式 3.4 分式的通分 情境导入 某 市为缓解市内交通拥挤的现象，决定修建一座大型立交 桥 . 如 果原计划需要 个月完工，那么每个月需完成这项工程的几分之几？如果这项工程提前 3 个月完成，那么每个月需完成这项工程的几分之几？ 能将分式 化 成 同分母的分式 吗？ 1. 理解 掌握分式的通分和最简公分母的概念，会找最简公分 母 . 2. 掌握通分的一般方法，能对简单的分式进行通 分 . 教学目标 预习诊断 把下列各题中的分式通分： （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 1. 把下面的分数通分： 把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通 分 . 合作探究 通分的 关键 是确定几个分数的 最简公分 母 . 2. 类比分数的通分，你能把 化 成 同分母的分式 吗？ 把 通分，先找到它们的公分母是 x(x-3 ) . 探 究一 : 分式的通分 把几个 异分母的分式 化成与原来的 分式相等 的 同分母的分式 的变形，叫做分式的通 分 . 你能把分式 与 进行通分吗？ 所以： 是 与 最简公分 母 . 系数 : 2 和 3 的最小公倍数是 6 ； 字母 x 的最高次幂是 y 的最高次幂是 乘积 1. 它们的分母有什么特点？公分母有多少个 ? 2. 如果把它们化为同分母分式，该选谁作为它们的公分母好呢？ 探 究二 : 如何确定几个分式的最简公分母 ? 2 x 取各 分母系数的最小公倍数 与 所有字母因式 的最高次幂的积 作为公分母 , 这样的公分母叫 做最简公分 母 . 知识应用： 填空： . . 如何确定几个分式的最简公分母 ? 1 、 各分母系数 的 最小公倍 数 . 2 、 所有字母因式 的 最高次 幂 . 乘积 分式通分的关键 找最 简公 分母 例 1 把下列各题中的分式通分： ● 思考：分式通分的步骤有哪些？ 温馨提示： 分母是多项式时，应先将分母分解因式，以便于找出它们的最简公分 母 . 知识应用： 通分： （ 1 ） ， （ 2 ） ， ； （ 3 ） （ 4 ） ， 系统总结 分式的通分 最简公分母 通分 意义 确定方法 依据 关键 步骤 分式的约分 互 逆 第 3 章 分式 3.5 分式的加法与减法 你还记得分数的加法与减法法则吗？仿照分数加减法法则，请同学们完成下列题目： 学科网 z 你回答对了吗？ 类似于分数的加法和减法法则，我们得 到分式的加法和减法法则： 同分母的分式相加减， 分母不变 ，把 分子相加 减 . 例 解 一定要注意符号哟！ 你一定行！ 同分母的分式相加减， 分母不变 ，把 分子相加 减 . 类似于异分母的分数加减法，我们得出： 学科网 z 异分母的分式相加减，先把它们 通分 ，然后再加 减 . 经过通分，把异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法了。 例 解 怎么通分？你还记得吗？ 例 解 各分母先分解因式，容易找最简公分母 第 3 章 分式 3.6 比和比例 两个数 a 与 b(b≠0) 相除，叫做 a 与 b 的 比 . . 其中， a 叫做 比的前项 ， b 叫做 比的后 项 . 1. 比的前项与后项是有顺序 的 , 2. 符号 a:b 和 都读作“ a 比 b ”, 可以利用分式的基本性质把 化 简 . 对 比 的理解 例 解 化简 下列的 比 : ( 1)18a:16b ( 2)50x:15 解：应该日常生活开支的款项与储蓄款项的比是 3:2 ， 所以储蓄款项占总数 的 . 于 是 2 800 =1 120 （元）， 所以，小亮家每月储蓄 1 120 元 . 3.6 比和比例（ 2 ） 例 解 例 解 人在月球上和地球上的重力是不同的，二者的比是 1 ： 6. 如 果一名宇航员在地球上的重力为 750 牛，那么他在月球上的重力是多少？ 设该宇航员在月球上的重力为 x 牛，由题意，得 x:750=1:6 根据比例的基本性质，得 6x ＝ 750 解得 x=125 所以，该宇航员在月球上的重力是 125 牛。 例 解 第 3 章 分式 3.7 可化为一元一次方程的分式方程 一元一次方程的解 法 : 解方程: 去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为 1 . 复习: 学科网 3.7 可化为一元一次方程的分式方程 引入问题 李 老师的家离学校3千米,某一天早晨7点30分,她离开家骑自行车去学校.开始以每分钟150米的速度匀速行驶了6分钟,遇到交通堵塞,耽搁了4分钟;然后她以每分钟 v 米的速度匀速行驶到学校.设她从家到学校总共花的时间为 t 分钟. 问: (1) 写出t的表达式; ( 2) 如果李老师想在7点50分到达学校, v 应等于多少? 分析 : ① 李老师在遇到交通堵塞时 , 已经走了多少米 ? 还剩下多少米 ? ② 剩下的这一段路需要多少分钟? ③ 如果李老师想在7点50分到达学校,那么她从家到学校总共花的时间 t 等 于多少? t 的表达式 t = 6+4+2 100/ v v 应 满 足 20 = 6+4+2 100/ v 未知数在分母上 上面的方程有什么特征 ? 概括 : 分母中含有未知数的方程，叫做 你还能举出一个分式方 程的例子吗 ？ 分式方 程 . 辨析：判断下列各式哪个是分式方程． (1) (2) (3) (4) (5) 分析： 根据定义可 得( 1 )( 2)是整式方 程，(3 )是分式，(4)(5)是分式方程． 两边除 以 10 ,得 v =210 . 因此,李老师想在7点50分到达学校,她在后面一段的路上骑车速度应为每分钟210米. 10=2 100/ v 两边 乘 v ,得 10 v =2 100， 上面例子中的式子 20 = 6+4+2 100/ v 可以整理成: 概 括 上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边 乘同 一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母. 例题讲解与练习 解这个一元一次方程, 得 x = - 3 . 检验:把 x = -3 代入原方程的左边和右边,得 左边= , 右边= . 解: 方程两边都乘最简公分母 x ( x -2), 得5 x =3( x -2)， 因此 x = - 3 是原方程的解 . 例1 解 方程 : 例 2 解 方程 : 例题讲解与练习 检验:把 x =2代入原方程的左边,得 左边 = . 由 于0不能作除数,因 此 x =2是原分 式方程 的增根 . 解: 方程两边都乘最简公分母( x+2 )( x-2 ),得 x +2=4 . 在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同 乘一 个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为 增根 .因此，在解分式方程时必须 进行检验 . 探究分式方程的增根原因 那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢? 对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求.如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根. 探究分式方程的增根原因 验根的方法 解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零.如果为零，即为增根.
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