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第十六章轴对称与中心对称 16.1 轴对称青山倒映在水中，这是什么景象呢 ? 问题思考同学们可以想象 , 落日、晚霞、青山倒映在平静的水中 , 这样如诗如画的景致多么令人难忘 ! 自远古以来 , 对称形式就被认为是和谐美丽的 , 不论是在自然界中还是建筑里 , 甚至最普通的日常生活中 , 对称的形式都随处可见 . . 活动一 : 观察与思考 — 认识轴对称你还能举出日常生活中具有对称特征的例子吗 ? 对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，我们都可以找到对称的例子。 (1) 把一张长方形纸对折 , 剪出一个图案 , 再打开 , 就剪出了美丽的窗花 , 你能剪出什么样的窗花呢 ? (2) 观察剪出的窗花 , 你能发现它们有什么共同特征 ? 剪纸活动归纳 : 一般地 , 如果一个图形沿某条直线对折后 , 直线两旁的部分能够完全重合 , 那么这个图形就叫做轴对称图形 , 这条直线叫做对称轴 . (3) 联系实际 , 你能举出一个轴对称图形的例子吗 ? [ 知识拓展 ] 轴对称图形是针对一个图形而言的 , 是一种具有特殊性质的图形 , 被一条直线分割成两部分 , 沿着对称轴折叠时 , 互相重合 ; 轴对称图形的对称轴可以有一条 , 也可以有多条甚至无数条 . 归纳 : 一般地 , 如果两个图形沿某条直线对折后 , 这两个图形能够完全重合 , 那么我们就说这两个图形成轴对称 , 这条直线叫做对称轴 , 关于对称轴对称的点、对称的线段、对称的角分别叫做对应点、对应线段、对应角 . (3) 如果把两个成轴对称的图形看成一个整体 , 它是一个轴对称图形吗 ? 问题 (1) 轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别 ? (2) 如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形 , 那么这两个图形成轴对称吗 ? 成轴对称的两个图形全等吗 ? [ 知识拓展 ] 图形成轴对称包括两层含义 :(1) 有两个图形 , 且这两个图形能够完全重合 , 即形状、大小完全相同 ;(2) 对重合的方式有限制 , 只能是把它们沿某条直线对折后能够完全重合 . 轴对称图形和轴对称的区别与联系轴对称图形轴对称区别联系图形 (1) 轴对称图形是指 ( ) 具有特殊形状的图形，只对 ( ) 图形而言 ; (2) 对称轴 ( ) 有一条 (1) 轴对称是指 ( ) 图形的位置关系 , 必须涉及 ( ) 图形 ; (2) 只有 ( ) 对称轴 . 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分 , 那么这两个图形就关于这条直线成轴对称 . 如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体 , 那么它就是一个轴对称图形 . 一个一个至少两个两个一条活动二 : 一起探究 — 成轴对称图形的性质问题 : 成轴对称的两个图形全等吗 ? 全等的两个图形一定成轴对称吗 ? 为什么 ? 观察教材图 16 - 1 - 3: 1 . 根据全等形的意义 ,Δ ABC 与 Δ A'B'C' 全等吗 ? 对应线段有怎样的数量关系 ? 对应角呢 ? 2 . 对应点的连线 AA' , BB' , CC' 分别与对称轴 l 有怎样的位置关系 ? 归纳 : 成轴对称图形的性质 : 如果两个图形关于某一条直线成轴对称 , 那么这两个图形是全等形 , 它们的对应线段相等 , 对应角相等 , 对应点所连的线段被对称轴垂直平分 . 如图所示 , 已知线段 AB 和直线 l , 画出线段 AB 关于直线 l 的对称线段 . A ′ B ′ 实践与应用 1 . 下面是生活中的一些图形 , 它们是轴对称图形吗 ? 2 . 下列图形是部分汽车的标志 , 哪些是轴对称图形 ? 3 . 下图中的两个图形是否成轴对称 ? 如果是 , 请找出它的对称轴 . 知识点一 : 轴对称图形 1 . 轴对称图形沿对称轴折叠 , 两旁的部分能够完全重合 . 2 . 轴对称图形的对称轴是轴对称图形对称轴两侧的对应点所连线段的垂直平分线 , 可能只有一条 , 也可能不止一条 . 知识点二 : 两个图形成轴对称轴对称图形与两个图形成轴对称既有区别又有联系 . 区别 : 轴对称图形是指一个图形的特征 , 成轴对称是两个图形的位置关系 . 课堂小结知识点三 : 成轴对称图形的性质 1 . 成轴对称图形的性质介绍了对称轴与对应点所连线段之间的关系 , 即对称轴垂直平分对应点所连的线段 . 2 . 根据这一性质 , 若已知对称轴和一个图形的一点就能准确作出该点的对应点 , 而不必再去对折了 . 联系 : 二者都有对称轴 , 如果把成轴对称的两个图形看成一个整体 , 那么它就是一个轴对称图形 ; 如果把轴对称图形对称轴两旁的部分看成两个图形 , 那么这两个图形成轴对称 . 检测反馈 1 . 如图所示 , ∠ 3=30 ° , 为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中 , 那么击打白球时 , 必须保证∠ 1 的度数为 ( ) A.30 ° B.45 ° C.60 ° D.75 ° 解析 : 要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中 , ∠ 2+ ∠ 3=90 ° ,∵ ∠ 3=30 ° , ∴ ∠ 2=60 ° , 易知∠ 1=60 ° . 故选 C. C 2 . 下面四句话中的文字有三句具有对称规律 , 其中没有这种规律的一句是 ( ) A. 上海自来水来自海上 B. 有志者事竟成 C. 清水池里池水清 D. 蜜蜂酿蜂蜜解析 :A. 上海自来水来自海上 , 可将“水”理解为对称轴 , 对折后重合的字相同 , 故本选项错误 ;B. 有志者事竟成 , 五字均不相同 , 所以不对称 , 故本选项正确 ; C . 清水池里池水清 , 可将“里”理解为对称轴 , 对折后重合的字相同 , 故本选项错误 ;D. 蜜蜂酿蜂蜜 , 可将“酿”理解为对称轴 , 对折后重合的字相同 , 故本选项错误 . 故选 B. B 3 . 经过轴对称变换后所得的图形 , 与原图形相比 ( ) A. 形状没有改变 , 大小没有改变 B. 形状没有改变 , 大小有改变 C. 形状有改变 , 大小没有改变 D. 形状有改变 , 大小有改变解析 :∵ 轴对称变换不改变图形的形状与大小 ,∴ 与原图形相比 , 形状没有改变 , 大小没有改变 . 故选 A. A 4 . 如图所示 , 由 4 个大小相等的正方形组成的 L 形图案 . (1) 请你改变 1 个正方形的位置 , 使它变成轴对称图形 ; (2) 请你再添加一个小正方形 , 使它变成轴对称图形 . 解 : 答案不唯一 , 如图所示 . 第十六章轴对称与中心对称 16.2 线段的垂直平分线（第 1 课时）如图所示 , 木条 l 与 AB 钉在一起 , l 垂直平分 AB , P 1 , P 2 , P 3 ,… 是 l 上的点 , 分别量一量点 P 1 , P 2 , P 3 ,… 到 A 与 B 的距离 , 你有什么发现 ? 问题思考 1 . 用平面图将上述问题进行转化，已知线段 AB 及 AB 的垂直平分线 l ，在 l 上取 P 1 ， P 2 ， P 3 ， … ，连接 AP 1 ， BP 1 ， AP 2 ， BP 2 ， AP 3 ， BP 3 …… 2 . 作好图后 , 用直尺量出 AP 1 ， BP 1 ， AP 2 ， BP 2 ， AP 3 ， BP 3 …… 讨论发现什么样的规律 . 学习新知活动一 : 线段垂直平分线的性质如图所示，已知线段 AB 和它的中垂线 l ， O 为垂足 . 在直线上任取一点 P , 连接 PA , PB , 线段 PA 和线段 PB 有怎样的数量关系 ? 提出你的猜想说明理由 . 事实上 , 因为线段 AB 是轴对称图形 , 垂直平分线 l 是它的对称轴 , 所以线段 AB 沿对称轴 l 对折后 , 点 A 和点 B 重合 , 线段 PA 和线段 PB 重合 , 从而 PA = PB. (3) 这个定理向我们提供了一个证明线段相等的方法 . （说明 : 今后我们可以直接利用这个性质得到有关线段相等 , 同时这也可当作等腰三角形的一种判定方法 . ） [ 知识拓展 ] (1) 线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的共同特征 , 即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离都相等 . (2) 由性质定理的证明可知 , 要证明一个图形上每一个点都具有这种性质 , 只需要在图形上任取一点作代表即可 . 例题讲解已知 : 如图所示 , 点 A , B 是直线外的任意两点 , 在直线 l 上 , 试确定一点 P , 使 AP + BP 最短 . 解 : 如图所示 , 作点 A 关于直线 l 的对称点 A' , 连接 A'B , 交直线 l 于点 P , 则 AP+BP 最短 . A' P 【提出问题】 (1) 我们知道两点之间线段最短 , 那么怎样把 PA 和 PB 这两条线段转化到一条线段上 ? (2) 在直线 l 上任取一个异于点 P 的点 P' , 怎样利用“两点之间线段最短”加以证明 . 解 : ∵ 点 A 和点 A' 关于直线 l 对称 , ∴ AP = A'P. ∴ AP + BP = A'P + BP = A'B ( 等量代换 ), 如图所示 , 在直线 l 上任取一个异于点 P 的点 P' , 连接 AP' , BP' , A'P' , 则 A'P' + BP' > A'B ( 两点之间线段最短 ) . 即 AP' + BP' = A'P' + BP' > A'B = AP + BP. ∴ AP + BP 最短 . 已知 : 如图所示， D ， E 分别是 AB ， AC 的中点， CD ⊥ AB 于点 D ， BE ⊥ AC 于点 E. 求证 AC = AB. 证明 : 连接 BC ，因为点 D ， E 分别是 AB ， AC 的中点， CD ⊥ AB ， BE ⊥ AC ，所以 CD ， BE 分别是 AB ， AC 的垂直平分线，所以 AC = BC ， AB = CB , 所以 AC = AB. (3) 这个定理向我们提供了一个证明两条线段相等的方法 . 课堂小结线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 . 注意 : (1) 线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的特征 , 即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离都相等 . (2) 由性质定理的证明可知 , 要证明一个图形上每一个点都具有某种性质 , 只需要在图形上任取一点作代表即可 , 应注意理解和掌握这种由特殊到一般的思想方法 . 检测反馈 1 . 如图所示， Δ ABC 中， AB =5 ， AC =6 ， BC =4 ，边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D ，则 Δ BDC 的周长是 ( ) A.8 B.9 C.10 D.11 解析 : ∵ ED 是 AB 的垂直平分线， ∴ AD = BD ，又 Δ BDC 的周长为 DB + BC + CD ， ∴ Δ BDC 的周长为 AD + BC + CD = AC + BC =6+4=10 . 故选 C. C 2 . 如图所示， Δ ABC 中， BD 平分∠ ABC ， BC 的垂直平分线交 BC 于点 E , 交 BD 于点 F ，连接 CF. 若∠ A =60 ° ，∠ ABD =24 ° ，则∠ ACF 的度数为 ( 提示 : 等腰三角形的两个底角相等 ) ( ) A.48 ° B.36 ° C.30 ° D.24 ° 解析 : ∵ BD 平分∠ ABC ， ∴ ∠ DBC = ∠ ABD =24° ， ∵ ∠ A =60° ， ∴ ∠ ACB =180° - 60° - 24°×2=72° ， ∵ BC 的垂直平分线交 BD 于点 F ， ∴ BF = CF ， ∴ Δ BFC 为等腰三角形， ∴ ∠ FCB =24° ， ∴ ∠ ACF =72° - 24°=48° . 故选 A. A 3 . 如图所示，在 Δ ABC 中， AC =4 cm ，线段 AB 的垂直平分线交 AC 于点 N ， Δ BCN 的周长是 7 cm ，则 BC 的长为 ( ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 解析 : ∵ MN 是线段 AB 的垂直平分线， ∴ AN = BN ， ∵ Δ BCN 的周长是 7 cm ， ∴ BN + NC + BC =7 cm, ∴ AN + NC + BC =7 cm ， ∵ AN + NC = AC ， ∴ AC+BC= 7 cm ，又 ∵ AC =4 cm ， ∴ BC =7 - 4=3(cm) . 故选 C. C 4 . 如图所示， Δ ABC 中， DE 是 AC 的垂直平分线， AE =4 cm ， Δ ABD 的周长为 14 cm ，则 Δ ABC 的周长为 ( ) A.18 cm B.22 cm C.24 cm D.26 cm 解析 : ∵ DE 是 AC 的垂直平分线， ∴ AD = CD ， ∴ Δ ABD 的周长为 AB + BD + AD = AB + BD + CD = AB + BC ， ∵ AE =4 cm ， ∴ AC =2 AE =2×4=8(cm) ， ∴ Δ ABC 的周长为 AB + BC + AC =14+8=22(cm) . 故选 B. B 解析 :∵ AC 垂直平分 BD ， ∴ AB = AD ， BC = CD ， ∴ ∠ ABD = ∠ ADB ， ∠ DBC = ∠ BDC ， ∴ ∠ ABD + ∠ DBC = ∠ ADB + ∠ BDC ，即∠ ABC = ∠ ADC , EB = DE , 在 RtΔ BCE 和 RtΔ DCE 中， ∴ RtΔ BCE ≌ RtΔ DCE (HL) . 故选 C. 5 . 如图所示，四边形 ABCD 中， AC 垂直平分 BD ，垂足为 E ，下列结论不一定成立的是 ( 提示 : 等腰三角形的两个底角相等 )( ) A. AB = AD B. ∠ ABC = ∠ ADC C. AB = BD D.Δ BEC ≌ Δ DEC C 6 . 如图所示，已知 DE 是 AC 的垂直平分线， AB =10 cm ， BC =11 cm ，求 Δ ABD 的周长 . 解析 : 先根据线段垂直平分线的性质得出 AD = CD ，故可得出 BD + AD = BD + CD = BC ，进而可求出 Δ ABD 的周长 . 解 : ∵ DE 垂直平分 AC ， ∴ AD = CD ， ∴ BD + AD = BD + CD = BC =11 cm ，又 ∵ AB =10 cm ， ∴Δ ABD 的周长为 AB + BC =10+11=21(cm) . 16.2 线段的垂直平分线（第 2 课时）在这里 , 我们利用了线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等进行证明 . 那么反过来 , 到线段两个端点距离相等的点是否一定都在线段的垂直平分线上呢 ? 问题思考给你已知线段 a , 以 a 为底边的等腰三角形有几个 ? 如果用三角板和刻度尺 , 你能画出至少三个吗 ? 利用三角板、刻度尺作出线段的垂直平分线 , 在垂直平分线上取点 , 连接可得满足条件的等腰三角形 . 活动一 : 线段垂直平分线性质定理的逆定理已知 : 如图所示 , P 是线段 AB 外一点 , 且 PA = PB. 求证 : 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 . 证明 : 设线段 AB 的中点为 O , 连接 PO 并延长 . 在 Δ POA 和 Δ POB 中 , ∴Δ POA ≌ Δ POB (SSS) ， ∴ ∠ POA = ∠ POB ， ∵ ∠ POA + ∠ POB =180 ° ， ∴ 2 ∠ POA =180 ° , ∠ POA =90 ° . ∴ 直线 PO 是线段 AB 的垂直平分线， ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 . O 线段垂直平分线的判定方法 : 与一条线段两个端点距离相等的点 , 在这条线段的垂直平分线上 . 所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合 . [ 知识拓展 ] (1) 要证明某条直线是某条线段的垂直平分线 , 有两种证明方法 : 一是根据定义去证明 ; 二是根据“两点确定一条直线” , 证明直线上的两个点都在这条线段的垂直平分线上 . (2) 根据线段垂直平分线的判定定理可以作线段的垂直平分线 . 例题讲解已知 : 如图所示 , 在Δ ABC 中， AB ， AC 的垂直平分线 DP 与 EP 相交于点 P. 求证 : 点 P 在 BC 的垂直平分线上 . 证明 : 如图所示 , 连接 PA , PB , PC. ∵ DP ， EP 分别是 AB ， AC 的垂直平分线， ∴ PA = PB = PC ， ∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上 . ( 教材第 116 页做一做 ) 已知 : 如图所示 , 在四边形 ABCD 中， AB = BC = CD = AD ， AC ⊥ BD ，垂足为 O. 求证 : AO = OC , BO = OD. 证明 : 因为 AB = BC ， CD = AD ，所以点 B ， D 均在线段 AC 的垂直平分线上，直线 BD 是线段 AC 的垂直平分线，所以 AO = OC ，同理， BO = DO. 【拓展延伸】三角形三边的垂直平分线交于一点 . 如图所示，证明思路：如果一个点到一条线段两个端点的距离相等 , 那么这个点在这条线段的垂直平分线上 ( 如图所示 ) . 符号语言 :∵DA=DB, ∴ 点 D 在线段 AB 的垂直平分线上 ( 线段垂直平分线性质定理的逆定理 ) . 到线段两端距离相等的点 , 在线段的垂直平分线上 . 课堂小结检测反馈 1 . 如图所示，点 D 在Δ ABC 的边 BC 上，且 BC = BD + AD ，则点 D 在 ( ) 的垂直平分线上 . A. AB B. AC C. BC D. 不能确定解析 : ∵ BC = BD + AD = BD + CD ， ∴ AD = CD ， ∴ 点 D 在 AC 的垂直平分线上 . 故选 B. B 2 . 直线 l 外有两点 A , B , 若要在 l 上找一点 , 使这点与点 A , B 的距离相等 , 这样的点能找到 ( ) A.0 个 B.1 个 C. 无数个 D.0 个或 1 个或无数个解析 : ① 当直线 l 垂直于直线 AB 且不平分线段 AB 时 , 在 l 上找一点 , 使这点与点 A , B 的距离相等 , 这样的点有 0 个 ,② 当直线 l 垂直平分线段 AB 时 , 在 l 上找一点 , 使这点与点 A , B 的距离相等 , 这样的点有无数个 ,③ 当直线 AB 与直线 l 不垂直时 , 在 l 上找一点 , 使这点与点 A , B 的距离相等 , 这样的点有 1 个 . 故选 D. D 3 . 如图所示 , 地面上有三个洞口 A , B , C , 老鼠可以从任意一个洞口跑出 , 猫为能同时最省力地顾及到三个洞口 ( 到 A , B , C 三个点的距离相等 ), 尽快抓到老鼠 , 应该蹲守在 ( ) A. △ ABC 三边垂直平分线的交点上 B . 线段 AB 上 C . △ ABC 三条高所在直线的交点上 D. △ ABC 三条中线的交点解析 : ∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 ,∴ 猫应该蹲守在 △ ABC 三边垂直平分线的交点上 . 故选 A. A 解 : 是 . 理由如下 : ∵ AB = AC ， BM = CM ， ∴ 点 A ， M 都在线段 BC 的垂直平分线上 . 根据“两点确定一条直线”知直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线 . 4 . 如图所示， AB = AC ， BM = CM ，直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗 ? 解析 : 根据“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”解答 . 5 . 如图所示，在Δ ABC 中， AD 是高，在线段 DC 上取一点 E ，使 BD = DE ，已知 AB + BD = DC ，求证 : E 点在线段 AC 的垂直平分线上 . 又 ∵ AB + BD = DC ， ∴ DC = AE + DE ,∴ DE + EC = AE + DE ， ∴ EC = AE ， ∴ 点 E 在线段 AC 的垂直平分线上 . 证明 : ∵ AD 是Δ ABC 的高 ,∴ AD ⊥ BC ，又 ∵ BD = DE ， ∴ AD 所在的直线是线段 BE 的垂直平分线， ∴ AB = AE ， ∴ AB + BD = AE + DE ， 16.2 线段的垂直平分线（第 3 课时）【解析】因为向三个村庄分别送水 , 三条输水管长度相同 , 所以水泵站应在 AB , BC 的中垂线的交点处 . 说明 : 那么如何用尺规作图的方法作出线段的中垂线呢 ? 问题思考如图所示 , 点 A , B , C 表示三个村庄 , 现要建一座深井水泵站 , 向三个村庄分别送水 , 为使三条输水管长度相同 , 水泵站应建在何处 ? 请画示意图 , 并说明理由 . 学习新知 . 活动一 : 作线段的垂直平分线要作出线段的垂直平分线 , 根据垂直平分线的判定 : 与一条线段两个端点距离相等的点 , 在这条线段的垂直平分线上 , 那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点 , 这样才能确定已知线段的垂直平分线 . 我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线 , 现在我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定 , 能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢 ? (1) 分别以点 A 和点 B 为圆心， a ( ) 为半径 , 在线段 AB 的两侧画弧 , 分别相交于点 C ， D. 例 1. 如图所示，已知线段 AB. 求作 : 线段 AB 的垂直平分线 . 【解析】由线段垂直平分线性质定理的逆定理可知 , 只要作出到这条线段端点距离相等的两点 , 连接这两个点 , 即得所求作的直线 . 作法 : 如图所示 . (2) 连接 CD. 直线 CD 即为所求 . C D 我们曾用刻度尺找线段的中点 , 当我们学习了线段的垂直平分线的作法时 , 一旦垂直平分线作出 , 线段与线段的垂直平分线的交点就是线段的中点 , 所以我们也用这种方法找线段的中点 . 活动二 : 经过一点作已知直线的垂线例 2. 如图所示 , 已知直线 AB 及 AB 外一点 P. 求作 : 经过点 P ，且垂直于 AB 的直线 . 作法 : 如图所示 , （ 1 ）以点 P 为圆心 , 适当长为半径画弧 , 交直线 AB 于点 C , D. (3) 连接 PQ. 直线 PQ 即为所求 . (2) 分别以点 C , D 为圆心 , 适当长为半径 , 在直线 AB 的另一侧画弧 , 两弧相交于点 Q. C D Q 2 . 过一点作已知直线的垂线 , 由于已知点与直线可以有两种不同的位置关系 : ① 点在直线外 ; ② 点在直线上 , 因此同学们在作图时要掌握这两种方法的区别 . 1 . 根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理 , 只要找到两个到线段两端距离相等的点 , 那么过这两点就可以作出线段的垂直平分线 . 课堂小结检测反馈 1 . 利用尺规作线段 MN 的垂直平分线时 , 设以 M ， N 为圆心所画弧的半径分别为 R M ， R N ，则下列说法正确的是 ( ) A .R M 与 R N 不一定相等 , 但必须 R M > MN , R N > MN B .R M = R N > MN C. R M > R N > MN D. R M = R N = MN 解析 : 根据作已知线段的垂直平分线的画法即可知 B 正确 . 故选 B . B 2 . 如图所示 , 请你在下列各图中 , 过点 P 画出射线 AB 或线段 AB 的垂线 . 解 : 如图所示 . 3 . 如图所示，已知钝角∠ AOB ，点 D 在射线 OB 上 . (1) 画直线 DE ⊥ OB ； (2) 画直线 DF ⊥ OA ，垂足为 F. 解 :(1) 如图所示 . (2) 如图所示 . 4 . 如图所示，已知Δ ABC 中， AB =2, BC =4 . (1) 画出Δ ABC 的高 AD 和 CE ； (2) 若 AD = ，求 CE 的长 . 解 :(1) 如图所示 . 5 . 画图并回答问题 . (1) 过点 P 画 OA 的垂线交 OC 于点 B ； (2) 画点 P 到 OB 的垂线段 PM ； (3) 指出上述作图中哪条线段的长度表示 P 点到 OB 的距离； (4) 比较 PM 与 OP 的大小，并说明理由 . 解 : (1) 如图所示 . (2) 如图所示 . (3) PM 的长度表示 P 点到 OB 的距离 . (4) PM < OP ，垂线段最短 . 第十六章轴对称与中心对称 16.3 角的平分线学习新知 . 在一次军事演习中 , 红方侦察员发现蓝方指挥部设在 A 区内 , 到公路 BC , 铁路 BD 的距离均为 350 米 , 又测得∠ CBD =60 ° . 你能在图中确定出蓝方指挥部的位置吗 ?( 比例尺为 1∶20000) 问题思考活动一 : 角平分线的性质定理及其逆定理按下图所示的过程，将你画出的∠ AOB 依上述办法对折后，设折痕为直线 OC ；再折纸 , 设折痕为直线 n, 直线 n 与边 OA ， OB 分别交于点 D ， E ，与折线 OC 交于点 P ；将纸展开后，猜想线段 PD 与线段 PE , 线段 OD 与线段 OE 分别具有怎样的数量关系，并说明理由 . 角平分线的性质定理：定理 1 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 . 定理应用所具备的条件：（ 1 ）角的平分线；（ 2 ）点在角平分线上；（ 3 ）垂直距离 . 定理的作用：证明线段相等。已知：如图所示， OC 是的平分线， P 是 OC 上任意一点，，，垂足分别为 D ， E 。求证： PD=PE . B A D O P E C 应用定理的书写格式： OP 是的平分线， ∴ PD = PE. （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 . ） ∵ 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。定理 2 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。已知：如图，，，垂足分别是 D ， E ， PD=PE ，求证：点 P 在的角平分线上 . B A D O P E 证明：作射线 OP, 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，（全等三角形的对应角相等） OP = OP （公共边） PD = PE （已知） B A D O P E ∵ ≌ （ HL ） ∵ ∴ ∴ 点 P 在角的平分线上 ∴ ( 补充例题 ) 如图所示， Δ ABC 的角平分线 BM ， CN 相交于点 P ，求证点 P 到三边 AB ， BC ， CA 的距离相等 . 证明 : 过点 P 作 PD ， PE ， PF 分别垂直于 AB ， BC ， CA ，垂足为分别 D ， E ， F. ∵ BM 是 Δ ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， ∴ PD = PE. 同理 PE = PF ， ∴ PD = PE = PF, 即点 P 到三边 AB ， BC ， CA 的距离相等 . [ 知识拓展 ] 利用角的平分线的性质可直接推导出与角的平分线有关的两条线段相等 , 但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写 , 同时涉及角平分线上的点与角的两边的垂直关系时 , 可直接得到垂线段相等 , 不必再证两个三角形全等而走弯路 . [ 知识拓展 ] (1) 角平分线的判定可帮助我们证明角相等 , 使证明过程简化 . (2) 角平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合 . (3) 三角形的三条角平分线相交于一点 , 这点到三角形三边的距离相等 . 活动二 : 角平分线的画法 3 . 作射线 OC , 则 OC 为所要求作的∠ AOB 的平分线 . 1 . 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 OA ， OB 于点 D ， E. 2 . 分别以点 D ， E 为圆心 , 适当长为半径，在∠ AOB 的内部画弧，两弧相交于点 C. D E C 3. 区别与联系 : 性质说明了角平分线上点的纯粹性 , 即 : 只要是角平分线上的点 , 那么它到此角两边一定等距离 , 无一例外 ; 判定反映了角平分线的完备性 , 即只要是到角两边距离相等的点 , 都一定在角平分线上 , 绝不会漏掉一个 . 在实际应用中 , 前者用来证明线段相等 , 后者用来证明角相等 ( 角平分线 ). 课堂小结 1. 角的平分线的性质 : 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 作用 : 直接证明两线段相等 . 使用的前提是有角的平分线 , 关键是图中是否有“垂直” . 2. 角的平分线的判定 : 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 . 作用 : 证明角相等 . 解析 : 过点 D 作 DF ⊥ AC 于 F ， ∵ AD 是 Δ ABC 中∠ BAC 的平分线， DE ⊥ AB ,∴ DE = DF ， ∵ S Δ ABC = S Δ ABD + S Δ ACD ， ∴ 4 × 2+ AC × 2=7 ，解得 AC =3 . 故选 A. 检测反馈 1 . 如图所示， AD 是 Δ ABC 中∠ BAC 的平分线， DE ⊥ AB 于点 E ， S Δ ABC =7 ， DE =2 ， AB =4 ，则 AC 的长是 ( ) A.3 B.4 C.6 D.5 A 2 . 如图所示 , OP 平分∠ AOB ， PA ⊥ OA ， PB ⊥ OB , 垂足分别为 A ， B ，连接 AB. 下列结论中不一定成立的是 ( ) A. PA = PB B. PO 平分∠ APB C. OA = OB D. AB 平分 OP 解析 : ∵ OP 平分∠ AOB ， PA ⊥ OA ， PB ⊥ OB ,∴ PA = PB ， ∴ Δ OPA ≌ Δ OPB ， ∴ ∠ APO = ∠ BPO ， OA = OB ， ∴ A,B,C 正确 . 设 PO 与 AB 相交于 E. ∵ OA = OB ， ∠ AOP = ∠ BOP , OE = OE ， ∴ Δ AOE ≌ Δ BOE ， ∴ ∠ AEO = ∠ BEO =90 ° ， ∴ OP 垂直于 AB , 而不能得到 AB 平分 OP ，故 D 不一定成立 . 故选 D. D 3 . 如图所示 , 在 Δ ABC 中，角平分线 AD ， BE 相交于 O 点，连接 CO , 则下列结论成立的是 ( ) A.Δ CEO ≌ Δ CDO B. OE = OD C. CO 平分∠ ACB D. OC = OD 解析 : ∵ 角平分线 AD ， BE 相交于 O 点， ∴ CO 平分∠ ACB. 故选 C. C 解 : 如图所示 , 过点 M 作 MD ⊥ AB 于 D ， ∵ BC =16 cm ， CM ∶ MB =3∶5 ， ∴ CM = 16=6(cm) ， ∵ ∠ C =90 ° , AM 平分∠ CAB ， ∴ DM = CM =6 cm ，即点 M 到 AB 的距离为 6 cm . 4 . 如图所示 ,Δ ABC 中，∠ C =90 ° ， AM 平分∠ CAB ， BC =16 cm, CM ∶ MB =3∶5 ，求点 M 到 AB 的距离 . 解析 : 过点 M 作 MD ⊥ AB 于 D ，先求出 CM ，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DM = CM. D 第十六章轴对称与中心对称 16.4 中心对称图形如图 (1) 所示的是 4 张扑克牌 , 然后手中拿同样四张扑克牌充当魔术师，把任意一张牌旋转 180 ° ，把旋转过的扑克牌贴到黑板上，得到的扑克牌如图 (2) 所示，让学生猜哪一张牌被旋转过了 ? 问题思考图 (1) 图 (2) 活动一 : 中心对称图形观察这几幅图片 , 将它们分别绕各自标示的“中心点”旋转 180 ° 后，能不能与它们自身重合 ? 中心对称图形 : 如果一个图形绕某一个点旋转 180 ° 后能与它自身重合 , 我们就把这个图形叫做中心对称图形 , 这个点就叫做它的对称中心 , 其中对称的点叫做对应点 . (1) 如图所示的是我国古代数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中所画的图形 , 它是由四个相同的直角三角形拼成的 , 下面关于此图形的说法正确的是 ( ) A . 它是轴对称图形 , 但不是中心对称图形 B. 它是中心对称图形 , 但不是轴对称图形 C. 它既是轴对称图形 , 又是中心对称图形 D. 它既不是轴对称图形 , 又不是中心对称图形 (2) 在 26 个英文大写正体字母中 , 哪些字母是中心对称图形 ? 活动二 : 两个图形成中心对称如图所示， Δ ABC 和 Δ DEF 的顶点 A ， C ， F ， D 在同一条直线上， O 为线段 CF 的中点， AC = DF ， BC = EF ， ∠ ACB = ∠ DFE. 两个三角形有什么位置关系 ? Δ ABC 绕点 O 旋转 180 ° 可以和 Δ DEF 重合 . 如果一个图形绕某一点旋转 180 ° 后与另一个图形重合 , 我们就把这两个图形叫做成中心对称 , 这个点叫做对称中心 , 其中成中心对称的点、线段、角 , 分别叫做对应点、对应线段和对应角 . 中心对称图形和成中心对称有怎样的区别 ? 名称中心对称中心对称图形定义联系把一个图形绕着某一个点旋转 180 , 如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称 , 两个图形关于点对称也称中心对称 . 如果一个图形绕着一个点旋转 180  后的图形能够与原来的图形重合 , 那么这个图形叫做中心对称图形 . 若把中心对称图形的两部分分别看作两个图形，则它们成中心对称，若把成中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形 . 如图所示 , Δ ABC 和 Δ ADE 就是成中心对称的两个三角形 , 点 A 是对称中心 . 点 B 的对应点为 , 点 C 的对应点为 ; ∠ B 的对应角是 , ∠ C 的对应角是 , ∠ BAC 的对应角是 ; AB 的对应线段是 , BC 的对应线段是 , AC 的对应线段是 . 活动三 : 中心对称的性质大家谈谈 : 1 . 如果将成中心对称的两个图形看成一个图形 , 那么这个图形是不是中心对称图形 ? 2 . 我们已经学习过图形的旋转 , 中心对称图形和图形的旋转之间有什么关系 ? 将成中心对称的两个图形看成一个图形 , 这个图形也是中心对称图形 ; 中心对称图形可以看作是旋转角度是 180 度的旋转对称图形 . 轴对称图形中心对称图形至少有一条对称轴—— 直线只有一个对称中心——点沿对称轴翻折绕对称中心旋转 180° 翻折后对称轴两侧的图形互相重合旋转前、后的图形互相重合轴对称图形与中心对称图形异同 3 . 对于图形的旋转 , 有基本性质 : “一个图形和它经过旋转所得到的图形中 , 对应点到旋转中心的距离相等 , 两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等” , 中心对称图形具有怎样的性质 ? 在成中心对称的两个图形中 , 对应点的连线经过对称中心 , 并且被对称中心平分 . (3) 利用中心对称的性质可以作出一个图形关于某一点的中心对称图形 . [ 知识拓展 ] (1) 中心对称是一种特殊的旋转对称 , 因此它具有旋转对称的一切特征 . (2) 成中心对称的两个图形 , 对称中心在对应点的连线上 , 对应点到对称中心的距离相等 , 对应角相等 , 对应线段平行 ( 或在同一条直线上 ) 且相等 . 如图 (1) 所示，已知线段 AB 和点 O ，画出线段 AB 关于点 O 的中心对称图形 . 【解析】要画出线段 AB 关于点 O 的中心对称图形，就是根据中心对称的性质找到 A ， B 两点关于点 O 的对称点 . (2) 连接 CD. 线段 CD 即为所求 . 解 : (1) 连接 AO ， BO ，并延长 AO 到点 C ，延长 BO 到点 D ，使得 OC = OA ， OD = OB. C D 课堂小结 1 . 中心对称图形的定义如果一个图形绕某一个点旋转 180 ° 后能与它自身重合 , 我们就把这个图形叫做中心对称图形 , 这个点就叫做它的对称中心 . 注意 : 常见的中心对称图形有 : 线段、长方形、正方形、圆等 . 2 . 成中心对称的定义及中心对称的性质 (1) 成中心对称的定义 : 如果一个图形绕某一点旋转 180 ° 后与另一个图形重合 , 我们就把这两个图形叫做成中心对称 . 注意 : 成中心对称是相对于两个图形来说的 . (2) 中心对称的性质 : 在成中心对称的两个图形中 , 对应点的连线都经过对称中心 , 并且被对称中心平分 . 注意 : 该性质可以帮我们判别两线段是否相等或求线段的长 , 也可以帮我们来画中心对称图形 . 检测反馈 1 . 如图所示， Δ ABC 与 Δ A 1 B 1 C 1 关于点 O 成中心对称，下列说法 :① ∠ BAC = ∠ B 1 A 1 C 1 ； ② AC = A 1 C 1 ； ③ OA = OA 1 ； ④ Δ ABC 与 Δ A 1 B 1 C 1 的面积相等 . 其中正确的有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个解析 : 成中心对称的两个图形全等 , 则 ①②④ 正确 ; 对应点到对称中心的距离相等 , 故 ③ 正确 . 即 ①②③④ 都正确 . 故选 D. D 2 . 下列说法中错误的是 ( ) A. 成中心对称的两个图形全等 B. 成中心对称的两个图形中 , 对应点的连线被对称轴平分 C. 中心对称图形的对称中心是对应点连线的中点 D. 中心对称图形绕对称中心旋转 180 ° 后 , 都能与自身重合解析 : 在平面内 , 把一个图形绕着某个点旋转 180°, 如果旋转后的图形与另一个图形重合 , 那么就说明这两个图形关于这个点成中心对称 , 中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点 , 根据中心对称图形的定义和性质可知 A,C,D 正确 ,B 错误 . 故选 B. B 3 . 已知 A ， B ， O 三点不在同一直线上， A ， A' 关于 O 点对称 , B ， B' 关于 O 点对称，那么线段 AB 与 A' B' . ( 填数量和位置关系 ) 解析 : 中心对称图形中的不在同一直线上的两条对应线段的关系是平行且相等 . 故填平行且相等 . 平行且相等 4 . 如图所示，线段 AB ， CD 互相平分于点 O ，过 O 作 EF 交 AC 于 E ，交 BD 于 F ，则这个图形是中心对称图形，对称中心是 O. 指出图形中的对应点 : , 对应线段 :______, 对应三角形 : . 解析 : 根据中心对称的定义结合图形可知图形中的对应点、对应线段、对应三角形 . 答案 : A 和 B ， C 和 D ， E 和 F OA 和 OB ， OC 和 OD ， OE 和 OF ， AC 和 BD ， AE 和 BF ， CE 和 DF Δ AOC 和 Δ BOD ， Δ AOE 和 Δ BOF ， Δ COE 和 Δ DOF. 5 . 如图所示，若四边形 ABCD 与四边形 FGCE 成中心对称，则它们的对称中心是 , 点 A 的对应点是 , 点 E 的对应点是 .BD ∥ 且 BD = . 连接 A , F 的线段经过 , 且被 C 点 , Δ ABD ≌ . 解析 : 四边形 ABCD 与四边形 CEFG 成中心对称 , 则它们的对称中心是 C , 点 A 的对应点是 F , E 的对应点是 D.BD ∥ EG 且 BD = EG. 连接 A , F 的线段经过 C , 且被 C 点平分 , Δ ABD ≌ Δ FGE. Δ FGE 平分 C F D EG EG C 6 . 如图 (1) 所示的是 4 × 4 正方形网格 , 请在其中选取一个白色的单位正方形并涂色 , 使图中涂色部分是一个中心对称图形 . 解析 : 图中间的相邻的 2 对涂色的正方形已是中心对称图形 , 需找到与最上边的那个正方形成中心对称的图形 , 那么将它旋转 180 ° 即可 . 解 : 如图 (2) 所示 . 7 . 如图 (1) 所示的是以 O 为对称中心的中心对称图形正六边形 ABCDEF 的部分，补全正六边形 ABCDEF ，并指出所有的对应点和对应线段 . 解析 : 画中心对称图形，要确保对称中心是对应点所连线段的中点，即 B ， O ， E 共线，并且 OB = OE ， C ， O ， F 共线 , 并且 OC = OF. 解 : 如图 (2) 所示 . 图中 A 的对应点是 D ， B 的对应点是 E ， C 的对应点是 F ； AB 的对应线段是 DE ， BC 的对应线段是 EF ， CD 的对应线段是 FA. 第十六章轴对称与中心对称 16.5 利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案讨论 : 下列图案是怎样形成的？上面图案设计过程就用到了我们以前学习的轴对称、平移、旋转的知识 . 将图形的平移、旋转、轴对称统称为图形变换 . 图形变换用学过的哪种图形变换 , 可以把下面各组中的甲图形变换为乙图形 . (1) 平移 ;(2) 轴对称 ;(3) 旋转 ( 中心对称 );(4) 轴对称后 , 再旋转 . 学习新知比较分析旋转 ( 中心对称除外 ): 各对对应点所连线段不相交于同一点 . 深层探究将上述 4 幅图中的各对对应点连接起来 , 探究如下结论 : 平移 : 各对对应点所连线段平行 ( 或在一条直线上 ) 且相等 ; 轴对称 : 各对对应点所连线段平行 ( 或在一条直线上 ), 但不一定相等 ; 中心对称 : 各对对应点所连线段交于一点 , 并被这一点平分 ; 观察与思考问题 1: 观察两组图案 , 请你分别说说由图案 (1) 到图案 (2) 的变化过程 . 第 1 个图案可以看作是由基本图形一次轴对称得到 ; 而第 2 个图案可以看作是由基本图形两次轴对称得到 . 问题 2: 观察下图 , 请你说说由图案 (1) 到图案 (2), 再到图案 (3) 的变化过程 . 可以看作是由基本图形 (1) 围绕旋转中心旋转 120 度 , 旋转两次得到 (2), 再把 (2) 旋转 60 度得到 (3) . 1. 如图所示 , 在同一平面内有一些几何图形 , 请利用图形的平移、旋转和轴对称 , 设计一个你想象中的“房屋示意图” . 做一做 2. 请同学们讨论怎样用直尺和圆规画出这个六花瓣图 ? 3. 下面的图案是由圆弧、圆构成的 . 仿照此图 , 请你为班级的板报设计一条花边 . 要求 :(1) 只要画出组成花边的一个“基本图形” ;(2) 用圆弧、圆或线段画出 ;(3) 图案应有美感 . 图案设计的过程 : (1) 首先确定图案要表达的意图 ; (2) 分析进行图案设计的基本图形 ; (3) 对基本图形综合运用平移、旋转和轴对称变换 ; (4) 对图案进行适当修饰 . 课堂小结设计图案所能应用的变换是 :(1) 平移变换 ;(2) 旋转变换 ;(3) 轴对称变换 ;(4) 多种变换的组合 . 1 . 如图 (1) 所示 , 在 4 × 4 的正方形网格中 , 每个小正方形的顶点称为格点 , 左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形 ( 简称格点正方形 ) . 若再作一个格点正方形 , 并涂上阴影 , 使这两个格点正方形无重叠面积 , 且组成的图形是轴对称图形 , 又是中心对称图形 , 则这个格点正方形的作法共有 ( ) A.2 种 B.3 种 C.4 种 D.5 种解析 : 如图 (2) 所示 , 组成的图形是轴对称图形 , 又是中心对称图形 , 则这个格点正方形的作法共有 4 种 . 故选 C. C 2 . 在下列四个汽车标志图案中 , 能用平移变换来分析其形成过程的图案是 ( ) 解析 :A. 通过轴对称变换得到 , 故本选项错误 ;B. 通过旋转变换得到 , 故本选项错误 ;C. 通过平移变换得到 , 故本选项正确 ;D. 通过旋转变换得到 , 故本选项错误 . 故选 C. C 3 . 如图 (1) 所示的是一个镶边的模板 , 它的内部是由“基本图案”通过一次平移得到的 , 则该“基本图案”是 ( 如图 (2) 所示 ) ( ) 解析 : 是由基本图案平移得到的 . 故选 B. B 4 . 在下列某品牌 T 恤的四个洗涤说明图案的设计中 , 没有运用旋转或轴对称知识的是下图中的 ( ) 解析 : A. 既运用了轴对称 , 也利用了旋转对称 , 故本选项错误 ;B. 既运用了轴对称 , 也利用了旋转对称 , 故本选项错误 ;C. 既没有运用旋转 , 也没有运用轴对称 , 故本选项正确 ;D. 利用了轴对称 , 故本选项错误 . 故选 C. C 5 . 下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上 , 在“几何画板”软件中拖动一点后形成的 , 它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来 , 旋转的角度正确的是 ( ) A.30 ° B.45 ° C.60 ° D.90 ° 解析 : 每一个图案都可以被通过中心的射线分成 6 个全等的部分 , 则旋转的角度是 60 度 . 故选 C. C 6 . 已知图形 B 是一个正方形 , 图形 A 由三个图形 B 构成 , 如图 (1) 所示 , 请用图形 A 与 B 拼接 . (1) 拼得的图形是轴对称图形 , 但不是中心对称图形 ;( 在图 (2) 中完成 ) (2) 拼得的图形是中心对称图形而不是轴对称图形 ;( 在图 (3) 中完成 ) (3) 拼得的图形既是轴对称图形 , 也是中心对称图形 . ( 在图 (4) 中完成 ) 解 : (1) 如图 (1) 所示 . (2) 如图 (2) 所示 . (3) 如图 (3) 所示 . 7 . 利用轴对称变换可设计出美丽图案 , 如图所示的是在方格纸中每一个顶点都在格点上的四边形 , 且每个小正方形的边长都为 1, 完成下列问题 : (1) 图案设计 : 先作出四边形关于直线 l 对称的图形 , 再将你所作的图形和原四边形绕 O 点按顺时针旋转 90 ° ; (2) 完成上述图案设计后 , 可知这个图案的面积等于 . 解 : (1) 如图所示 . (2)20 查看更多

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