天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 沪科版（2012） / 七年级上册 / 第3章 一次方程与方程组 / 本章复习与测试 / 沪科版七年级数学上册第3章一次方程与方程组
资料简介
第
3
章 一次方程与方程组
1
一元一次方程及其解法
1
一元一次方程
1
一元一次方程及其解法
问题
一辆客车和一辆卡车同时从
A
地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是
70km/h
，卡车的行驶速度是
60km/h
，客车比卡车早
1h
经过
B
地，
A,B
两地间的路程是多少？
设A、B两地相距x km,则根据题意得：
1.
算术方法解决应怎样列算式：
2.
如果设
A,B
两地相距
x km
，那么客车从
A
地到
B
地的行驶时间为
，货车从
A
地到
B
地的行驶时间为
。
议一议
3.
客车与货车行驶时间的关系是
:
4.
根据上述相等关系，可列方程为
。
5
、对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？
方程的定义：含有未知数的等式叫做方程
.
判断方程的条件
1、含有未知数
2、是等式
讨论交流
算术方法
:
列出的算式表示解题的计算过程
,
其中只能 用已知数
.
对于较复杂的问题
,
列算式比较困难
.
列方程
(
代数方法
):
方程是根据题中的等量关系列出的等式
.
其中既含已知数
,
又含未未知数
.
使问题的已知量与未知量之间的关系很容易表示
,
解决问题就比较方便
.
什么叫方程
?
含有未知数的等式叫
方程。
什么是方程的解呢？
使得方程左右两边相等的未知数的值叫做
方程的解
.
1、x=2是2x=4的解吗？
2、x=3是2x-1=7的解吗？
用一根长为
24cm
的铁丝围成一个正方形，正方形的边长为多少？（只列方程）
等量关系：正方形的周长=边长
×4
4x=24
例
一台电脑已经使用
1700h
，预计每个月再使用
150 h
，经过多少个月这台电脑的使用时间达到规定的检修时间
2450 h
？（只列方程）
已知量
未知量
等量关系
原来使用时间+还可以使用的时间=规定的检修时间
1700+150
x
=2450
1、已经使用了1700 h; 2、预计每月再使用150 h；3、这台电脑规定检修时间是2450 h
例
这台电脑还能用几个月达到规定的检修时间
我校女生人数占全体学生数的
52%
，比男生多
80
人，我们学校有多少学生？（只列方程）
等量关系：
女生数--男生数=80 或
女生数=男生数+80 或
女生数-80=男生数
52％
x
-(1-52％)
x=
80或
52％
x=
(1-52％)
x+
80或
52％
x
-80=(1-52％)
x
例
构建方程解决实际问题的关键是什么？
一般步骤又是什么呢？
找等量关系
分析题意
找等量关系
设未知数
根据等量关系列方程
以下五个方程具有什么样的共同特征呢？
2
x
+5=27
1700+150
x
=2450
52％
x
-(1-52％)
x
=80
④
4
x
=24
1、都只含有一个未知数
;
2、未知数的次数都是1
一元一次方程的概念：
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是
1
，这样的方程叫做一元一次方程。
b
a
a
=
b
右
左
你能发现什么规律
?
b
a
a
=
b
c
右
左
学科网
c
b
a
右
左
a
=
b
a
c
b
右
左
a
=
b
c
b
c
a
右
左
a
=
b
c
b
c
a
a+c b+c
=
右
左
有什么规律？
a
=
b
c
c
a
b
右
左
a
=
b
c
右
左
学科网
b
a
a
=
b
c
右
左
b
a
a
=
b
右
左
b
a
a
=
b
a-c b-c
=
右
左
你能发现什么规律
?
b
a
a
=
b
等式的性质１：等式的两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．
b
a
右
左
a
b
2a = 2b
a
=
b
b
a
a = b
右
左
b
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
C
个
C
个
ac = bc
b
a
右
左
a = b
回答：
(1)
从
x=y
能否得到
x+5=y+5
？
为什么
(2)
从
x=y
能否得到
= ?
为什么？
x
9
y
9
等式的性质２
：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为０的数，结果仍相等．
可以，由等式性质1可得
可以，由等式性质2可得
(3)从a+2=b+2能否得到a=b？为什么？
中学学科网
(4)从-3a=-3b能否得到a=b？为什么？
可以，由等式性质1可得
可以，由等式性质2可得
用等式的性质解方程
解:（1）两边减7得
（
2
）
两边同时除以
-5
得
解：两边加5，得
化简得：
两边同乘-3，得
2 求解一元一次方程
合并同类项
约公元
825
年，中亚细亚数学家阿尔
—
花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程。这本书的拉丁译本为
《
对消与还原
》
。“
对消
”与“
还原
”是什么意思呢？
实际问题
一元一次方程
设未知数 列方程
分析实际问题中的数量关系，利用其中的
相等关系
列出方程，是解决实际问题的一种数学方法
.
某校三年共购买计算机
140
台，去年购买数量是前年的
2
倍，今年购买数量又是去年的
2
倍．前年这个学校购买了多少台计算机？
分析
:
设前年这个学校购买了计算机
x
台，则去年购买计算机
2x
台，今年购买计算机
4x
台，
根据问题中的相等关系
：
前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝
140
台
列得方程
x + 2
x
+4
x
= 140
思考：怎样解这个方程呢？
分析：解方程，就是把方程变形，变为
x = a
（
a
为常数）的形式。
合并同类项
系数化为
1
想一想：上面解方程中“
合并同类项
”起了什么作用？
根据等式的性质２
合并同类项起到了“
化简”
的作用，即把含有未知数的项合并，从而把方程转化为
ax=b
，使其更接近
x=a
的形式
(
其中
a,b
是常数
)
。
合并同类项的作用：
实际问题
一元一次方程
设未知数
列方程
思考：如何列方程？分哪些步骤？
一
.
设未知数
二
.
分析题意找出等量关系
三
.
根据
等量关系
列方程
解下列方程
解
：
例2
有一列数，按一定规律排成1，-3, 9 ，-27, 81，-243，...其中某三个相邻数的和是-1701，这三个数各是多少？
解：后面一个数都是前一个数的 -3 倍，设某三个相邻的数第一个是 x ，则第二、第三个分别是 -3x , 9x，所以
x - 3x+9 x= -1701
解得
x = -243
解下列方程
请欣赏一首诗：
太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼；
一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中；
剩下十五围着我，共有多少请算清。
你能列出方程来解决这个问题吗？
一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是
33
。求这个数。
解：设这个数是
x
，则：
移项
把一些图书分给某班同学阅读，如果每人
3
本，则剩余
20
本；若每人
4
本，则还缺少
25
本，这个班的学生有多少人？
问题
分析：设这个班有
x
名学生，这批书共有（
3x+20
）本这批书共有（4x
－
25）本。
表示同一个量的两个不同的式子相等（即：这批书的总数是一个定值）
3x+20=4x
－
25
1、使方程右边不含
x
的项
2
、使方程左边不含常数项
等式两边减4x，得：
3x+20
－
4x
=4x
－
25
－
4x
3x+20
－
4x
=
－
25
3x+20
－
4x
－
20
=
－
25
－
20
等式两边减
20
，得
：
3x
－
4x
=
－
25
－
20
3x
－
4x
=
－
25
－
20
3x+20 = 4x
－
25
上面方程的变形，相当于把原方程
左边
的
20
变为－
20
移到
右边
，把
右边
的
4x
变为－
4x
移到
左边
.
把某项从等式一边移到另一边时有什么变化？
解方程中“移项”起了什么作用
？
通过移项，含
未知数的项
与
常数项
分别列于方程的
左右两边
，使方程更接近于
x = a
的形式
.
像上面那样，等式一边的某项
变号
后移到另一边，叫做
移项
。
移项
合并同类项
系数化为
1
例
2
解方程
解：
例
4
某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多
200t
；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少
100t.
新、旧工艺的废水排量之比为
2
︰
5
，两种工艺的废水排量各是多少？
分析：因为新，旧工艺的废水排量之比为2:5，所以可设它们分别为2x t和5x t，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程。
解：设新、旧工艺的废水排量分别为 2
x
t 和 5
x
t
根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得
5
x
-200=2
x
+100
移项，得
5
x
-2
x
=100+200
合并同类项，得
3
x
=300
系数化为1，得
x
=100
所以
2
x
=200 5
x
=500
答：新、旧工艺生产的废水排量分别为200 t和500 t。
练习 解下列方程
去括号
某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少
2000
度，全年用电
15
万度，这个工厂去年上半年每月平均用电多少度？
分析：若设上半年每月平均用电
x
度，
则下半年每月平均用电
度
上半年共用电
度，
下半年共用电
度。
等量关系：
所以
,
可列方程
。
（
x-2000
）
6
（
x-2000
）
6x
6x+ 6
（
x-2000
）
=150000
上半年用电
+
下半年用电
=
全年用电
15
万度
解：设上半年每月平均用电
x
度，则下半年每月平均用电（
x-2000
）度
,
上半年共用电
6x
度，下半年共用电
6
（
x-2000
）度。
根据题意列方程得：
6x+ 6
（
x-2000
）
=150000
去括号得：
6x+6x-12000=150000
移项得
：
6x+6x=150000+12000
合并同类项得：
12x=162000
系数化为
1
得：
x=13500
答
:
这个工厂去年上半年每月平均用电
13500
度。
解一元一次方程的步骤：
移项
合并同类项
系数化为
1
去括号
例
1
解方程
2
x-(x
+10
)=
5x+
2(x
-1
)
解
:
去括号得：
移项得
：
合并同类项得：
系数化为
1
得：
2
x-x
-10
=
5x+
2x-
2
2
x-x
-5
x
-2x
=
-2+10
－
6
x =
8
X
=
-4/3
例
2
解方程
3x-7(x-1)=3-2(x+3)
解
:
去括号得：
移项得
：
合并同类项得：
系数化为
1
得：
3x-7x+7=3-2x-6
3x-7x+2x=3-6-7
－
2x =
－
10
X=5
解方程
②
③
①
④
1
、关于
x
的方程 的解为
-1
，则
a
的值为（ ）
2
、甲、乙两人登一座山，甲每分钟登高
10
米，并且先出发
30
分钟，乙每分钟登高
15
米，两人同时登上山顶。甲用多少时间登山？这座山有多高？
练习
例
2
一艘船从甲码头到乙码头顺流航行
,
用了
2
小时
;
从乙码头到甲码头逆流航行
,
用了
2.5
小时
;
已知水流的速度是
3
千米
/
小时
,
求船在静水中的平均速度是多少千米
/
小时
?
分析
:
等量关系
甲码头到乙码头的路程
=
乙码头到甲码头的路程
也就是
:
顺航速度
___
顺航时间
=
逆航速度
___
逆航时间
×
×
解： 设船在静水中的平均速度为 x km/h，则顺流速度为（x+3）km/h，逆流速度为（x-3）km/h。
根据往返路程相等，列得
2（x+3）=2.5（x-3）
去括号，得
2x+6=2.5x-7.5
移项及合并同类项，得
0.5x=13.5
系数化为1，得
x=27
答：船在静水中的平均速度为27 km/h。
3.
大箱子装洗衣粉
36
千克，把大箱子里的洗衣粉分装在
4
个大小相同的小箱子里，装满后还剩余
2
千克洗衣粉，则每个小箱子装洗衣粉的千克数为（
）
A
．
6.5 B
．
7.5
C.
８
.5
D.
９
.5
4
、某物品标价为
130
元
,
若以
9
折出售
,
仍可获利
10%,
则该物品进价约是
( )
A. 105
元
B. 106
元
C. 108
元
D. 118
元
C
B
去分母
1
．会用去分母的方法解含分母的一元一次 方程．
2
．会检验方程的解及总结解方程的一般步骤
.
学习目标
解有分数系数的一元一次方程的步骤：
1
．去分母；
2
．去括号；
3
．移项；
4
．合并同类项；
5
．系数化为
1
．
主要依据：等式的性质和运算律等．
以上步骤是不是一定要顺序进行，缺一不可？
这件珍贵的文物是纸莎草文书，是古代埃及人用象形文字写在一种特殊的草上的著作，至今已有
3700
多年的历史了，在文书中记载了许多有关数学的问题．
问题
：
一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是
33
．试问这个数是多少？
你能解决这个问题吗？
解：设这个数为
x
，可得方程：
为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？
各分母的最小公倍数
42
．
解：去分母，得
28x
＋
21x
＋
6x
＋
42x
＝
1386
．
合并同类项，得
97x
＝
1386
．
系数化为
1
，得
例3
解下列方程：
（
1
）
（
2
）
解
：
．
1
、解方程
观察：这个方程有什么特点？应该怎么解？
2
、解方程
观察：这个方程有什么特点？又应该怎么解？
解方程
解：
去分母，得
2y-(y-2)=6
去括号，得
2y-y+2=6
移项，得
2y-y=6-2
合并同类项
y=4
归纳
去分母时须注意：
1.
确定分母的最小公倍数；
2.
不要漏乘没有分母的项；
3.
去掉分母后，若分子是多项式，应该多项式（分子）添上括号，视多项式为一整体．
第
3
章 一次方程与方程组
3.2
一元一次方程的应用（一）
思考：
1.
圆柱体体积
=_______________
长方体体积
=_______________.
2.
行程问题中的数量关系
知识回顾
底面积
X
高
底面积
X
高
创设情境，引入新知
【
例
1 】
：
用直径为
200mm
的圆柱钢，锻造一个长、宽、高分别是
300mm
、
300mm
和9
0mm
的长方体，至少应截取多少毫米的圆柱体钢（计算时
π
取
3.14,
结果精确到
1mm)
截取部分高为
x
毫米
长方体
圆住体半径 长方体长
300mm
、
为
200
÷2
=100
宽
300mm
、高为
80
mm
思考：题目中隐藏着怎样的等量关系？
＝
3.14
×
100
2
x
300
×
300
×9
0
分析：假设圆住体的高为
xmm.
圆柱体体积＝长方形体积
解：设至少要截取圆柱体钢
Xmm.
根据题意得：
答：至少应截圆柱体钢长约是
2
58
mm
3.14
×
x
=300
×
300
×9
0
解得x
≈2
58
例
2
为了适应经济发展，铁路运输再次提速。如果客车行驶的平均速度增加40㎞∕h
，
提速后由合肥到北京1110 ㎞的路程只需行驶10h。那么，提速前，这趟客车平均每小时行驶多少千米？
思考：行程问题中常涉及的量有路程、平均速度、时间。它们之间的关系是：
路程=平均速度×时间。
客车行驶的路程为1110km，
客车行驶的时间为10h。
如果设提速前客车平均速度为x ㎞∕h，
那么提速后客车平均速度为（x+40） ㎞∕h。
解：设提速前客车平均速度为x ㎞∕h，
根据题意，得
10（x+40）= 1110
解方程，得x= 71.
答：提速前这趟客车的平均速度为71 ㎞∕h
.
1
、
审：
审题，分析题中各数量之间的关系
2
、
设：
设未知数
3
、
列：
找出能够表示题中全部含义的一个等量关系 根据等量关系列出方程
4
、
解：
解方程，求出未知数的值
6
、
答
:
写出答案（包括单位名称）
通过例题的学习，你能总结列方程解应用题的一般步骤吗？
5
、
验：
检验所得的值是否正确和符合实际情形
1.
一条地下管线由甲工程队单独铺设需要
12
天，由乙工程队单独铺设需要
24
天
.
如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？
解：设
x
多少天可以铺好这条管线
.
依题意得： ，
解方程，得：
x
＝
8.
答：两个工程队从两端同时施工，要
8
天可以铺好这条管线
.
2.
孙子问爷爷：“您今年多大岁数了？”爷爷说：“当我是你现在的年龄时，你才2岁，等你到了我这个年龄时，我就是128岁了”。请问，爷爷今年多大岁数？
学习并不等于就是摹仿某些东西，
而是掌握技巧和方法。
————
高尔基
3.2
一元一次方程的应用
（储蓄问题）
储蓄知多少？
利率、利息、
本金
1.
本金
×
利率
×
年数=利息
2.
本金+利息=本息和
创设情境，引入新知
1
） 某学生按定期一年存入银行
100
元，若年利率为
2.5%
，则一年后可得利息
___
元；本息和为
____
元；
自主预习
2
）小颖的父母给她存了一个三年期的教育储蓄
1000
元，若年利率为
2.70%
，则三年后可得利息
____
元；本息和为
_____
元；
自主预习
3
）某学生存三年期教育储蓄
100
元，若年利率为
p%
，则三年后可得利息
____
元；本息和为
____
元；
自主预习
例
3
王大伯3年前把手头一笔钱作为3年定期存款存入银行，年利率为5%，到期后得到
本
息
共2
3000元。问当年王大伯存入银行多少钱？
想一想
:
这一问题情境中有哪些已知量?哪些未知量?如何设未知数?涉及的数量关系是什么？
自主探究
分析：
本题中涉及到的数量关系有哪些？
这些数量关系之间有什么关系？
解：设当年王大伯存入银行
x
元，年利率为
5%
，存期
3
年，所以
3
年的利息为
3×5%x
元。
3
年到期后的本息和共为
23000
元。
根据题意，得
x+ 3×5%x=23000
解方程，得
x=
x=20000
答：当年王大伯存入银行
20000
元
随堂练习
练一练，只列方程不解答。
（
1
）两年期定期储蓄的年利率为
2.25%
，王大爷于
2002
年六月存入银行一笔钱，两年到期时，共得利息
450
元，则王大爷
2002
年六月的存款额是多少元？
随堂练习
练一练，只列方程不解答。
(2)
王叔叔想用一笔钱买年利率为
2.89%
的
3
年期国库券，如果他想
3
年后本息和为
2
万元，现在应买这种国库券多少元？
银行一年定期储蓄利率为
1
．
98%
，并要交纳
20%
的利息税，张婆婆把
10000
元按一年定期存入银行，则到期后，张婆婆应交利息税多少元？可拿回本息共多少元？
知识梳理
1.
通过本节课的学习你有哪些收获？
你还有哪些疑惑？
2.
你会解答有关储蓄问题的应用题了吗？
3.2
一元一次方程的应用
（销售问题）
你能根据自己的理解说出它的意思吗？
标价、售价、进价、利润、利润率
知识回顾
跳楼价
清仓处理
满
200
返
160
5
折酬宾
探究销售中的盈亏问题
:
1
、商品原价
200
元，九折出售，卖价是
_____
元
.
2
、商品进价是
150
元，售价是
180
元，则利润
是
元
.
利润率是
__________
3
、某商品按定价的八折出售，售价是
14.8
元，则原定售价是
.
自主预习
成本价
(
进价
),
标价
;
销售价
;
利润
;
盈利
;
利润率
对上面这些量有何关系
?
对上面商品销售中的盈亏问题里有哪些量
=
商品售价
—
商品进价
●
售价、进价、利润的关系式：
商品
利润
●
进价、利润、利润率的关系
：
利润率
=
商品进价
商品利润
×100%
●
标价、折扣数、商品售价关系
:
商品售价＝
标价
×
折扣数
10
●
商品售价、进价、利润率的关系：
商品进价
商品售价
=
×(1+
利润率
)
销
售
中
的
关
系
式
一个商店出售书包时，将一种双肩背的书包按进价提高30%作为标价，然后再按标价9折出售，每个可盈利8.50元，这种书包每个进价多少钱？
想一想
:
1.这一问题情境中有哪些已知量?哪些未知量?如何设未知数?相等关系是什么？
2.
9折表示是原价的___。
自主探究
分析：买卖商品的问题中涉及的数量关系有：
解： 设每个书包进价为
x
元，
根据题意，得
对它打
9
折得实际售价为
____________
元。
那么这种书包的标价为
_________
元，
解之得x=50.
(1+30%)x
×(1+30%)x-x=8.50
×(1+30%)x
答：这种书包每个进价为
50
元
.
实际售价
—
进价（或成本）
=
利润
1
、一件商品的售价是
40
元，利润是
15
元，则进价是
_____
元。
2
、某商品的进价是
80
元，想获得
25%
的利润率，应把售价定为
______
元。
3
、某服装店为了清仓，某件成本为
90
元的衣服亏损了
10%
，则卖这件衣服亏了
___
元。
25
100
9
随堂练习
4
、一块手表的成本价是
x
元，亏损率是
30﹪
，则这块手表的售价应是
__________
元。
5
、某人买进一批水果，以成本价提高
40%
后出售，卖得
280
元，则这批水果的进价是
____
元。
(X
－
30%x)
200
随堂练习
A
组
B
组
C
组
老师寄语
别着急，
你会做。
仔细些，
你会做。
认真些，
你能行。
不同梯度
某件商品的进价是
100
元，标价 是
130
元，求其利润率。
某商品的进价为
1600
元，标价为
2200
元，折价销售时的利润率为
10%
。问此商品是按几折销售的？
一件夹克按进价加
5
成作为定价，后因季节关系，按定价的
8
折出售，打折后每件卖
60
元，试问一件夹克卖出后商家是赔还是赚？
3.2
一元一次方程的应用
（比例问题）
1
）审题
2
）设元
3
）列方程
4
）解方程
5
）检验
6
）作答
列方程解应用题的一般步骤：
知识回顾
创设情境，引入新知
【
例
5 】
三个作业队共同使用水泵排涝，如果三个作业队排涝的土地面积之比为
4:5:6
，而这一次装运水泵和耗用的电力费用共计
120
元，三个作业队按土地面积比各应该负担多少元？
分析：
各个作业队应负担费用与排涝的土地面积成正比，且三个作业队各自应负担费用之和等于
120
元
.
由于共有土地
4+5+6=15
份，因而
120
元可由
15
份分担
.
自主预习
解： 设每份土地排涝分担费用
x
元，那么三个作业队应负担费用分别为
4x
元、
5x
元、
6x
元
.
根据题意，得
4x + 5x + 6x = 120
解方程，得
x=8
4x=32, 5x=40, 6x=48
答：三个作业队各应该负担
32
元、
40
元、
48
元
.
注意：
本题中“设每份土地排涝分担费用
x
元”属于间接设未知数法
.
当不能或难以直接设未知数时，常用这种方法
.
用一元一次方程解决实际问题的基本过程有几个步骤？分别是什么？
实际问题
一元一次方程
设未知数，列方程
解方程
一元一次方程的解（
x
=
a
）
实际问题的答案
检 验
与其可爱地失败，
不如可恨地成功。
———
曹盛蒂
第
3
章 一次方程与方程组
3.3二元一次方程组及其解法
小明去帮学校购买体育用品
,
足球每只
100
元
,
篮球每只
60
元
,
共购买了
20
只球
,
用去
1680
元
.
你能求出足球、篮球各买了多少只吗？
分析：
100x
元
x
个
（
20–x
）个
60(20–x)
元
购买足球的花费
+
购买篮球的花费
=
总花费
100x+ 60
（
20–x
）
=1680
x =12
球的个数 花费
小明去帮学校购买体育用品
,
足球每只
100
元
,
篮球每只
60
元
,
共购买了
20
只球
,
用去
1680
元
.
你能求出足球、篮球各买了多少只吗？
分析：
100x
元
x
个
y
个
60y
元
+
= 20
个
+
= 1680
元
列出方程：
x + y = 20
100x + 60y = 1680
｛
球的个数
花费
定义：
象
3x–2y=12,y=3x,
含有
两个未知数
(x
和
y),
并且含有未知数的项的
次数
都是
1
,
方程的两边都是整式。这样的方程叫做
二元一次方程
.
定义
:
把几个二元一次方程合在一起
,
就组成了一个
二元一次方程组
x + y = 20
100x + 60y = 1680
｛
1.
下列各式属于二元一次方程的有
( )
① x+y=3 ② x –2y
²=3
③ 3x+4y ④
A.1
个
B.2
个
C.3
个
D.4
个
A
2.
下列方程组是二元一次方程组的是
( )
3x=6 x+2y=5
5x =10 y=3x
z=2x-5
x –2y=4 x –y=1
y=x+1 x
²
+y²
=2
｛
｛
｛
｛
A
B
D
C
C
你能写出满足二元一次方程
x + y = 8
的
x
、
y
的值吗？
x
…
1
2
8
…
…
…
7
6
0
8
9
10
18
象上面
x
、
y
的值，使二元一次方程两边的值相等
的两个未知数的值叫做
二元一次方程的
一个解
。
一个二元一次方程有
无数个解
。
y
0
-1
-2
-10
例
1.
在方程
3x+4y=12
中
,
用含
x
的代数式
表示
y,
则
y=_________;
用含
y
的代数式
表示
x,
则
x=_________
练习
:
已知方程 ，用
x
表示
y,
则
y=_________;
用
y
表示
x,
则
x=_______
x
…
1
2
8
0
-1
-2
-10
…
y
…
7
6
0
8
9
10
18
…
方程
x+y=8
的解有：
方程
2x+y=10
的解有：
x
…
1
2
8
0
-1
-2
-10
…
y
…
…
8
6
-6
10
12
14
30
你能找出这两个方程的公共解吗？
我们发现
x=2
，
y=6
既满足方程
x+y=8 ①
，又满足方程
2x+y=10 ②
，也就是说它们是方程①和方程②的公共解。
一般的，二元一次方程组的两个方程的
公共解
，
叫做
二元一次方程组的解。
｛
我们把 的解记作
x + y = 8
2x + y =10
｛
x = 2
y =6
一般情况下
它有
唯一
的解
3
.
根据下列语句
,
分别设适当的未知数
,
列出二元一次方程或方程组
①.
甲数比乙数的一半小
4
②
甲比乙多
10
%
③
甲、乙两数的和是
25
，甲数比乙数的
2
倍大
8
解：设甲数为
x
，乙数为
y
，则
解：设甲为
x
，乙为
y
，则
解：设甲数为
x
，乙数为
y
，则
x + y = 25
x =2 y +8
｛
x=
（
1+ 10%
）
y
4.
学校准备建设一个周长为
60
米的长方形游泳池，
要求游泳池的长是宽的
2
倍，为了帮建筑工人计
算出长和宽各是多少米请你列出相应的方程组。
解：设游泳池的宽为
x
米，长为
y
米，则
2x + 2y = 60
｛
x
米
y
米
x
米
y
米
y =2x
篮球比赛中
,
每队胜
1
场得
2
分
,
负
1
场得
1
分
,
某队想在全部
22
场比赛
中得
40
分
,
那么这个队
胜负场数分别是多少
?
胜
负
合计
场数
积分
x y 22
2x 1 y 40
x + y = 22
｛
2x + y = 40
二元一次方程组中，方程的个数可以超过两个，
其中有的方程也可以是一元一次方程，如
x=49
x + y= 60
2y =22
｛
2x + y= 17
3y =15
｛
都是二元一次方程组
想一想
一个
二元一次方程组中，方程的个数可以有三个吗？
小结：本课时学习了什么内容
?
①
了解
二元一次方程和它解的概念
②了解
二元一次方程组和它解概念
③会验证一对数是不是某个二元一次方程组的解
④根据题意列出二元一次方程组
含有
两个未知数
(x
和
y),
并且含有未知数的项
次数都是
1
,
这样的整式方程叫做二元一次方程
,
它有无数个解
把几个二元一次方程合在一起
,
就组成了一个
二元一次方程组。
一般情况下
它有唯一的一对解
第
3
章 一次方程与方程组
3.4
二元一次方程组的应用
请把你的年龄乘以
2
减去
5
，说出结果
.
我能直接猜出你的年龄
.
游戏：猜年龄
二．列方程解应用题
【
例
1 】
：
用直径为
200
毫米的圆柱钢，锻造一个长、宽、高分别是
300
毫米、
300
毫米和
80
毫米的长方体，至少应截取长为多少毫米的圆柱体钢（计算时
π
取
3.14,
结果精确到
1
毫米
).
思考：题目中隐藏着怎样的相等关系（等量关系）？
截取部分高为
x
毫米
长方体
观察下图：
圆住体半径 长方体长
300
毫米
、
为
=100
毫米
宽
300
毫米
、高为
80
毫米
200
2
解：设至少要截取圆柱体钢
X
毫米
.
由题意得：
答：至少应截圆柱体钢长约是
230
毫米
x
≈
229.2
x
≈230
（注意：此题结果不是四舍五入）
π
×
100
2
x
300
×
300
×
80
=
变式练习题：
若把内径为
120
厘米的圆柱形玻璃杯的水，倒满内径为
300
厘米，高为
32
厘米的圆柱体铁桶，问玻璃杯内的水需要多高？
示图分析
玻璃容器的出水量
=
铁桶的容积。
杯内水
的高度
为
x
厘米
铁桶的半径
为
=150
厘米
高
32
厘米
，
300
2
玻璃杯的半径
为
=60
厘米
120
2
答：玻璃杯的水至少有
200
厘米
高
.
解：设玻璃杯的水至少有
X
厘米高
.
根据题意得：
120
2
π
×（ ）
2
x
=
π
×（ ）
2
×
32
3600x=22500
×
32
36x=225
×
32
解得x
=200
300
2
例
2
：
用一根长为
100
米的铁丝围成一个长比宽长
10
米的长方形，问这个长方形的长和宽各是多少米？
示图分析
100
米
x
米
例
2
中有什么等量关系呢？
长方形的周长
=
原铁丝的长度
.
(X+10)
米
解：设长方形的宽
X
米
.
根据题意得：
2
（
x+x+10
）
=100
2(2x+10)=100
4x=80
X=20
长为：
x+10=20+10=30
米
答：该长方形的长为
30
米
，宽为
20
米
.
变式练习题
2
：
有
100
米长的篱笆材料，想围成一长方形仓库，在场地的北面有一堵足够长的旧墙，其它三面用篱笆围成，若与墙平行的一面为长，且长比宽长
10
米，求这个仓库的长和宽？
100
米
这一问题和上一题有什么区别和相同点？
篱笆材料的长度
=
围成的三面墙的长度和
解：设仓库的宽
X
米
.
根据题意得：
2x+x+10=100
3x=90
X=30
所以仓库的长为
:x+10=30+10=40
米
答：该仓库的长为
40
米，宽为
30
米
。
1
、 由例题可知，一些实际问题可以设一个未知数，
建立一元一次方程来解决：
三、交流
·
总结
2
、通过例题的学习，你能总结列方程解应用题的一
般步骤吗？
审设
找
列
解
检、答
这节课
我的收获是
……
课后思考
若在上题的仓库平行于墙的一面开一个
6
米宽的一个门，那么这时仓库的长与宽各是多少？
第
3
章 一次方程与方程组
3.5
三元一次方程组及其解法
1
．
解二元一次方程组的基本方法有哪几种？
2
．
解二元一次方程组的基本思想是什么？
创设情景 明确目标
1
．
了解三元一次方程组的定义；
2
．掌握三元一次方程组的解法，
进一步体会消元转化思想
．
学习目标
小明手头有
12
张面额分别是
1
元、
2
元和
5
元的纸币，共计
22
元，其中
1
元纸币的数量是
2
元纸币数量的
4
倍．求
1
元、
2
元和
5
元的纸币各多少张？
思考：题目中有几个未知数？
含有几个相等关系
?
你能根据题意列出几个方程？
探究点一 三元一次方程组的概念
含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是
1
，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做
三元一次方程组
．
把三个方程合在一起
设
1
元、
2
元和
5
元的纸币分别为
x
张、
y
张和
z
张．
思考：
三元一次方程组与二元一次方程组有什么异同？
它们的区别在于：三元一次方程组中含有三个未知数，并且一共有三个方程组成；而二元一次方程组中含有二个未知数，并且一共有二个方程组成
.
相同之处是：每个方程中含未知数的项的次数都是
1
的整式方程
.
如何解这个三元一次方程组呢？
（
1
）二元一次方程组是如何求解的？
（
2
）三元一次方程组可不可以用类似的方法求解？
对于这个方程组，消哪个元比较方便？理由是什么？
① ② ③
将
③代入①②，得
即
用的是什么消元方法？还有什么方法？
① ② ③
如何用加减消元法解这个方程组？
③
与④组成方程组
解这个方程组，得
解：①
②，得
④
把
x
=8
，
y
=2
代入
①，得
所以
z
=2
.
因此，这个三元一次方程组的解为
答：
1
元、
2
元和
5
元纸币分别为
8
张、
2
张、
2
张．
解三元一次方程组的基本思路是：通过
“代入”
或
“加减”
进行消元，把“三元”化为
“二元”
，使解三元一次方程组转化为解
二元一次
方程组，进而再转化为解
一元一次
方程，这与解二元一次方程组的思路是一样的
.
解三元一次方程组的基本思路是什么？
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
例
1
解三元一次方程组
分析
：先消去哪个未知数简单？用什么方法消去其中的
一个未知数？
思考：此题还有其他解法吗？比较一下哪种解法更简单？
解三元一次方程组时如何选择消元的方法
.
解题前要认真观察各方程的系数特点，当方程组中某个方程只含二元时，一般的，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用
加减法
消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用
代入法
求解．
例
2
在等式
中，当
x
＝－
1
时
y
＝
0
；当
x
＝
2
时，
y
＝
3
；当
x
＝
5
时，
y
＝
60
．求
a
、
b
、
c
的值．
分析：
能否把题中的三组数值代入到等式中？
代入后会得到什么？
例
2
在等式
中，当
时，
；当
时，
；当
时，
求
的值．
分析：根据已知条件，你能得到什么？
探究点二 三元一次方程组的简单运用
如何解这个三元一次方程组呢？
（
1
）先消去哪个未知数？为什么？
（
2
）选择哪种消元方法，得到二元一次方程组？
解：根据题意，
得三元一次方程组
②
-①
，得
a
+
b
=
1
;
④
③
-①
，得
4
a
+
b
=
10
;
⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
① ② ③
代入
①，得
c
=
-
5
因此，
答：
消去
a
可以吗？如何操作？
可将②
-①
×
4
，得
即
再将③
-
①
×
25
，得
即
④
⑤
消去
b
可以吗？如何操作？
可将 ①
×
2+
②
，得
即
再将
①
×5+③
，得
即
④
⑤
第
3
章 一次方程与方程组
一次方程组与
CT
技术
一次方程组与
CT
技术
患者在做
CT
扫描
脑梗死
CT
图像
CT
基本结构
扫描部分
：
x
线管、 探测器和扫描架
计
算机系统
：将扫描收集到的信息数据进行储存和运算
图像显示和存储系统
：经计算机处理，重建的图像显示在电视屏上或用多幅照相机或激光相机将图像摄下
CT
扫描的工作程序
处理
高灵敏度仪器
人体对
X
射线吸
收程度
数据
被检查部位图像
发现病变
检测
输出
观察
CT
头部扫描如何成像
CT
将头部分成多个连续的横断面即
断层
，再进行扫描获得各断层图像，最后将断层图像复合。
将断层表面按一定大小分成很小的部分，这些小块称为
体素
。
X
射线照射穿过体素后被吸收的程度叫
吸收值
。将这些体素的吸收值求出后就会得到该断层的图像。
X
射线束
1
X
射线束
2
X
射线束
3
探测器
探测器
探测器
A
B
C
体素A、B、C的吸收值分别为x、y、z
X射线束1穿过A、B后总吸收值为x+y
=
p
1
①
，
X射线束2穿过A、C后总吸收值为x+z
=
p
2
②
，
X射线束3穿过B、C后总吸收值为y+z
=
p
3
③
.
问1：若p
1
=
0.45
,p
2
=0.
44
,p
3
=0.
39
,求体素A、B、C的吸收值。
问题
2
，如下图，已知甲乙丙三个病人的总吸收值如下，求三人的体素
A
、
B
、
C
的吸收值。
总吸收值
p
1
p
2
p
3
甲
0.45
0.44
0.39
乙
0.90
0.88
0.82
丙
0.66
0.64
0.70
体素
x
y
z
甲
0.25
0.20
0.19
乙
丙
组织器官
体素吸收值
健康器官
0.1625~0.2977
肿瘤
0.2679~0.3930
骨质
0.3857~0.5108
设
X
射线穿过健康器官、肿瘤、骨质的体素吸收值如左，对照左表，分析
3
个病人的检测情况，判断哪位患有肿瘤？
CT
图像是由一定数目的由黑到白不同灰度
小方块
（像素）按矩阵排列所构成的。
这些小方块是反映相应单位容积的
吸收系数
。
CT
图像上的黑色表示低吸收区，既低密度区，如脑室；白色表示高吸收区，即高密度区，如颅骨。
CT
图像
CT
图像的社会价值
CT
扫描（也称
CAT
扫描）将传统的
X
光成像技术提高到了一个新的水平。与仅仅显示骨胳和器官的轮廓不同，
CT
扫描可以构建完整的人体内部三维计算机模型。医生们甚至可以一小片一小片地检查患者的身体，以便精确定位特定的区域。
美国科学家马克、英国科学家豪斯菲尔德因发明
CT
扫描，获得
1979
年第
79
届诺贝尔生理学或医学奖。
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