资料简介
第
14
章 全等三角形
14.1
全等三角形
合作探究
例
:
如图，△
OCA
≌△
OBD
，
C
和
B
，
A
和
D
是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．
（
1
）
（4）
（
3
）
（2）
（5）
思考
:
它们
能完全重合吗
?
请观察，并说出你看到的
现象
.
形状、大小完全一样的两个图形能够完全
重合
.
1
、能够完全重合的两个图形叫做
全等图形
.
2
、你能够找出生活中的一些全等图形吗？
把一块三角板按在纸上，画下图形，照图形剪下纸板
.
剪下的纸板与三角板大小、形状完全一样吗？它们能够完全重合吗？
能够完全重合的图形叫做
全等图形
.
能够重合的两个三角形叫做
全等三角形
.
做一做
A
B
C
全等三角形的表示方法
△
ABC
≌
△
DEF
D
E
F
思考
:
两个三角形全等表示的含义是什么
?
两个全等三角形能够完全重合
互相重合的顶点叫
__________
互相重合的边叫
_______
其中重合的角叫
_______
对应顶点
对应角
对应边
点
A
、点
F
的对应顶点分别是
___,
___
AB
,
DF
的对应边分别是
___,
___
∠
A
,
∠
F
的对应角分别是
___
、
___
D
C
DE
AC
∠
D
∠
C
(
读作
:
△
ABC
全等于
△
DEF
)
A
B
C
D
E
F
注意：书写全等式时要求把
对应顶点
字母放在对应
的位置
上
.
△
ABC
≌
△
EFD
想一想：
BD
与
FH
,
DC
与
HG
,
BC
与
FG
∠
B
与∠
F
,
∠
D
与∠
H
,
∠
C
与∠
G
能否根据下列全等式
说出两个三角形的对应边和对应
角
.
AO
与
BO
,
OC
与
OD
,
AC
与
BD
∠
A
与∠
B
,∠
AOC
与∠
BOD
∠
C
与∠
D
注意：
在具体图形中，有时角不能用一
个大写字母
表示
.
2
、
△
BDC
≌
△
FHG
1
、如
图，
△
AOC
≌
△
BOD
A
C
O
D
B
A
B
C
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等
全等三角形的对应角相等
D
E
F
思考：
1
、全等三角形的周长、面积相等吗？
2
、两个三角形三边对应相等，三对角也对应相等，这两个三角形全等吗？
如
图，
∵△
ABC
≌△
DEF
（已知），
∴
AB
=
DE
，
AC
=
DF
，
BC
=
EF
.
（全等三角形的对应边相等）
∠
A
=∠
D
，∠
B
=∠
E
，∠
C
=∠
F
.
（全等三角形的对应角相等）
几何语言：
有什么办法判断两个三角形全等？用数学式子表示两个三角形全等
,
并指出对应角、对应边
.
C
A
B
F
E
D
两个三角形全等是通过什么方法验证的？
平移
解：对应边是：
对应角是：
AC
与
DF
，
AB
与
DE
，
BC
与
EF
.
∠
A
与∠
D
，∠
B
与∠
E
，∠
C
与∠
F
.
小结：
最大边（角）是对应边（角
）
.
最小边（角）是对应边（角
）
.
当堂训练
A
C
O
B
如
图，△
AOC
≌
△
BOD.
1.
对应边：
2.∠
AOC
的对应角
是
∠
A
的对应角
是
OA
与
OB
OC
与
OD
，
AC
与
BD
∠
BOD
∠
B
D
旋转
小结：有对顶角的，对顶角也是对应角
.
A
B
D
A
A
B
B
D
C
如
图，△
ABD
≌
△
ABC
.
⑴
AD
的对应边是
；
AB
的对应边是
⑵
∠DAB
的对应角是
AC
AB
∠CAB
C
翻折
小结：有公共边的，公共边也是对应边
.
A
B
B
C
D
A
⑴
AC
的对应边是
AB
的对应边是
⑵∠
ABC
的对应角
是
BD
BA
∠
BAD
A
C
D
翻折
有哪些
办法可以验证两个三角形全等？
B
（
1
）有公共边的，公共边也是对应边
.
（
2
）有公共角的，公共角也是对应角
.
（
3
）有对顶角的，对顶角也是对应角
.
（
4
）最大边（角）是对应边（角）
.
最小边（角）是对应边（角）
.
对应边所对的角是对应角
.
对应角所对的边是对应边
.
小结
找对应元素的规律：
合作提高
请指出下列全等三角形的对应边和对应
角
.
如图
,
△
ABD
≌
△
CDB,
则
AB
=
，
AD
=
，
BD
=
，
∠
ABD
=
，
∠
ADB
=
，
∠
A=
.
CD
CB
DB
∠
CDB
∠
CBD
∠
C
总结提升
全等三角形的概念、性质、表示方法、对应写法等
.
1
、回忆这节课，学习了全等三角形的哪些知识？
2、找全等三角形对应边、对应角的方法.
Ａ、大
（小）
边对应大
（小）
边， 大
（小）
角对应大
（小）
角
.
Ｂ、公共边是对应边，公共角是对应角， 对顶角也是对应
角
.
Ｃ、对应边所对的角是对应角， 对应角所对的边是对应边
.
记住哟！
第
14
章 全等三角形
14.2
三角形全等的判定（第
1
课时）
活动（动手实践）
已知：
△
ABC
，画一个
△
A’B’C’
,
使
AB
=
A’B
’
，
∠
B=
∠
B’
，
BC
=
B’C’
.
猜想结论：
有
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
.
全等三角形的判定
边角
边定理
：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
.
简记
:“
边角边
”或“
SAS
”.
注意条件书写顺序
如图，在
△
ABC
和
△
A’B’C’
中，
（
SAS
）
.
C
A
B
D
O
1.
在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：
(1)如图，在△
AOB
和△
DOC
中，
AO=DO
，
(
已知
)
__
____
=___
_____
，
( )
BO
=
CO
，
(
已知
)
∴ △
AOB
≌△
DOC
.
（
）
∠
AOB
∠
DOC
对顶角相等
SAS
(2)
如图，在
△
AEC
和
△
ADB
中，
AE
=
AD
(
已知
),
___
_
_= ____
_
_
(
),
AC
=
AB
(已知
),
∴
△
AEC
≌
△
ADB
（ ）
.
A
E
B
D
C
SAS
∠
A
∠
A
公共角
A
E
C
B
D
A
2.
已知
:
如图，
AC
=
AD
，
∠
CAB
=∠
DAB
.
求证
:
BC
=
BD
.
B
A
C
D
证明：在
△
ACB
和
△
ADB
中，
AC
=
AD
(
已知
),
∠
CAB
=∠
DAB
(
已知
),
AB
=
AB
(
公共边
),
∴ △
ACB
≌△
ADB
（
SAS
）
,
∴
BC
=
BD
(
全等三角形的对应边相等
).
3.
已知：如图，
AB
=
AC
，
AD
=
AE
.
求证
：
∠
B
=∠
C
.
B
A
C
D
E
证明：在
△
ADB
和
△
AEC
中，
AB
=
AC
(
已知
),
∠
A
=∠
A
(
公共角
),
AD
=
AE
(
已知
),
∴ △
ADB
≌△
AEC
（
SAS
）
,
(
全等三角形的对应
角
相等
).
∴ ∠
B
=∠
C
B
A
D
C
E
A
如图，有一池塘，要测池塘两端
A
，
B
的距离，可在平地上取一个可直接到达
A
和
B
的点
C
，连结
AC
并延长至
D
使
CD
=
CA
，连结
BC
并延长至点
E
使
CE
=
CB
，连结
ED
，那么量出
DE
的长，就是
A
，
B
的距离，为什么？
解决问题
B
A
D
E
C
证明：在
△
ABC
和
△
DEC
中，
AC
=
DC
(已知
)
,
∠
ACB
=∠
DCE
(对顶角相等
)
,
BC
=
EC
(已知
)
,
∴△
ABC
≌△
DEC
（
SAS
）
,
∴
AB
=
DE
(全等三角形的对应边相等
)
.
如图，
已知
AB
=
AC
，则添加什么条件可得
△
ABD
≌△
ACD
?
请说明理由
.
A
B
D
C
拓展
(1)
(1)
补充
∠
BAD
=
∠
CAD.
AB
=
AC
(已知
)
,
∠
BAD
=∠
CAD
(已知
)
,
AD
=
AD
(公共边
)
,
∴ △
ABD
≌△
ACD
（
SAS
）
.
(2)补充
BD
＝
CD.
AB
=
AC
(已知
)
,
AD
=
AD
(公共边
)
,
∴ △
ABD
≌△
ACD
(
SSS
)
.
BD
=
CD
(已知
)
,
拓展(２)
由“两边及其中一边的对角对应相等
(
SSA
)”
能否判定两个三角形全等？
A
B
C
D
如图，在
△
ABC
和
△
ABD
中，
AB
=
AB
(公共边
)
,
AC
=
AD
(已知
)
,
∠
Ｂ
=∠
B
(公共角
)
,
但△
ABC
和△
ABD
不全等.
课堂小结
1.
边角
边定理
：有两边和它们的
______
对应
相等
的两
个三角形全等（
SAS
）
夹角
2.
边角
边定理
的发现过程所用到的数学方法（包括
画图
、实验、猜想、分析、归纳
等
) .
3.边角
边定理
的应用中所用到的数学方法:
证明线段（或角相等）
证明线段（或角）所在的两个三角形全等
.
转化
定理中
所出现的边与角必须在所证明的两个三角形中
.
定理中
涉及的角必须是两边的夹角
.
要充分利用图形中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角
等
.
用定理证明
两个三角形全等需注意
:
第
14
章 全等三角形
14.2
三角形全等的判定（第
2
课时）
如图，小明不慎把一块三角形的玻璃打碎成两块。试问：小明应该带哪一块碎片到商店去才能配一块与原来一样的三角形玻璃呢？
1
、
想一想
猜一猜
Ⅰ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
解：带第
Ⅱ
块
去
.
2
、探索活动
活动一：猜想、测量、验证
观察图中的三角形
：
（
1
）先
观察，猜一猜哪两个三角形是全等三角形
?
（
2
）
哪些条件决定了
△
ABC
≌△
FDE
?
（
3
）
△
ABC
与△
PQR
有哪些相等的条件？为什么它们不全等？
A
B
3
60°
40°
C
3
40°
60°
P
R
Q
60
°
40°
D
F
E
3
活动二：做一做
1
、画线段
AB
=5 cm
，再画∠
BAP
=45
°
，∠
ABQ
=60°
，
AP
与
BQ
相交于点
C
.
2、剪下所画的△
ABC
与同桌进行
比较
.
3、你能得到什么结论?
A
B
P
Q
C
45°
60°
全等三角形判定方法
2
：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全
等
.
简写
成“
角边角
”或“
ASA
”
.
一定要注意“两角夹边”的顺序哦！
例
1
已知：如
图，
AB
=
A′C，
∠
A
=∠
A′
，∠
B
=∠
C.
求证：△
ABE
≌ △
A′CD
.
________
（
）
,
________
（
）
,
________
（
）
,
证明：在
______
和
_______
中，
∴△_____
≌
△_____
（
）
.
在证明三角形全等时，应注意书写格式
！
例
2
已知
：如
图
,
∠
DAB
＝∠
CAB
，∠
DBP
＝∠
CBP
.
求证
：
DB=CB.
D
A
C
P
B
证明：
∵∠
DBA
与∠
DBP
互为邻补角
,
∠
ABC
与∠
CBP
互为邻补角
,
且∠
DBP
＝∠
CBP
，
∴∠
DBA
＝ ∠
CBA
.
（等角的补角相等）
在△
ABD
和△
ABC
中，
∠
DAB
＝∠
CAB
，
（已知）
AB
=
AB
，
（公共边）
∠
DBA
＝∠
CBA
，
（已证）
∴△
ABD
≌△
ABC
.
（
ASA
）
∴
DB
=
CB
.
注意：
1
、在证明三角形全等时，要善于把已知的条件转化为可以直接判定三角形全等的
条件
,
如例
2.
2、
证明三角形全等是证明线段相等和角相等的常用
方法
.
学以致用
已知，如图，要测量河两岸相对的两点
A
，
B
之间的距离，可以在
AB
的垂线
BF
上取两点
C
，
D
，使
BC
=
CD
，再过点
D
作
BF
的垂线
DE
.
使
点
A
，
C
，
E
在一条直线上，这时测得
DE
的长等于
AB
的长，请说明
道理
.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------
A
B
C
D
E
F
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A
B
C
D
E
已知
AB
⊥
BD
，
ED
⊥
BD
，且
AE
交
BD
于点
C
，
BC
=
CD
分析：
1、寻求已知条件：
2、转化为判定的条件：
∠
ABC
=∠
EDC
=90
O
(垂直定义）
BC
=
DC
(已知条件）
∠
ACB
=∠
ECD
(对顶角相等）
3、得出结论：
训练拔高
1、如图
OP
是∠
MON
的角平分线，
C
是
OP
上的一点，
CA
⊥
OM
，
CB
⊥
ON
，垂足分别为
A
，
B
，△
AOC
≌△
BOC
吗？为什么？
O
B
N
P
M
C
┎
┛
A
解：
△
AOC
≌△
BOC
.
∵
CA
⊥
OM
，
CB
⊥
ON
,
∴∠
CAO
=∠
CBO
=90°
.
∵
OP
是∠
MON
的平分线，
∴∠
AOC
=∠
BOC
.
又∵
OC
=
OC
,
∴△
AOC
≌△
BOC
.
(
ASA
)
∴∠
OCA
=∠
OCB
.
第
14
章 全等三角形
14.2
三角形全等的判定（第
3
课时）
判定方法1:
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.
（边角边）（
SAS
）
复习回顾
判定方法2：
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.
（角边角）（
ASA
）
我们已经学习了几种三角形全等的判定方法？
下面各组中的两个三角形全等吗？依据是什么？
6cm
4 cm
60°
C
B
A
6 cm
4 cm
60°
C'
B'
A'
SAS
判 断
下面各组中的两个三角形全等吗？依据是什么？
5 cm
A
B
C
3
5°
5 cm
A'
B'
C'
3
5°
ASA
判 断
本节课你将会：
（
1
）掌握已知三边画三角形的方法
；
（
2
）掌握边边边公理，能用边边边公理证明两个三角形全等
；
（
3
）会添加较明显的辅助线
.
画全等三角形的另一个方法
:
画法：
1
、画线段
A
'
B
'
=
AB
,
如右下
图
.
2、分别以
A
'
,
B'
为圆心，
AC
,
BC
为半径画弧，两弧相交于点
C'
.
3、连结
A'C
'
,
B'C
'
得
△
A'B'C'
.
剪下
△
A'B'C'
放
在
△
ABC
上，可以看到
△
A'B'C'
≌
△
ABC
，由此可以得到判定两个三角形全等的又一
个定理
.
A´
B
'
C'
如右图，
已知任意
△
ABC
，画一个
△
A
'
B
'
C
'
,
使
A
'
B
'
=
AB
,
A
'
C
'
=
AC
,
B
'
C
'
=
BC
.
A
B
C
归 纳
全等三角形判定方法 3
三边对应相等的两个三角形全
等
.
简写成“
边边边
”或“
S
S
S
”
.
A
B
C
D
E
F
在△
A
B
C
和△
DEF
中，
∴
△
ABC
≌
△
DEF
（SSS
）
AB
=
DE
，
AC
=
DF
，
BC
=
EF
，
三角形
稳定性，在日常生活和实际生产中有着广泛的应用.
上面
结论说明，只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定，这个性质叫做
三角形的
稳定性
.
∴∠
B
=∠
DEF
,∠
ACB
=∠
F
(
全等三角形的对应角相等
)
，
∴
AB
∥
DE
，
AC
∥
DF
（
同位角相等，两直线平行
）
.
证明：
∵
BE
=
CF
(
已知
)，
∴
BE
+
EC
=
CF
+
EC
(
等式性质
)，
即
BC
=
EF
.
∴△
ABD
≌△
ABC
（SSS
),
在
△
ABC
和△
DEF
中，
AB
=
DE
(
已知
)，
AC
=
DF
(
已知
)
，
BC
=
EF
(
已证
)
，
例
已知：如图，点
B
，
E
，
C
，
F
在同一条直线上，
AB
=
DE
，
AC=DF
，
BE
=
CF
.
求证
：
AB∥DE
，
AC∥DF
.
挑战
已知
:
如
图
,
AB
=
DC
,
AC
=
DB
，
求证
:∠
A
=∠
D.
A
B
D
C
o
本节课的收获
?
2.掌握三角形的判定方法“
SSS
”；
1.
知道三角形三条边的长度怎样画三角形；
3.
了解三角形的稳定性.
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