天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 北师大版（2012） / 七年级上册 / 第五章 一元一次方程 / 本章复习与测试 / 北师大版七年级数学上册第5章一元一次方程
资料简介
第五章 一元一次方程
1
认识一元一次方程
问题
一辆客车和一辆卡车同时从
A
地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是
70km/h
，卡车的行驶速度是
60km/h
，客车比卡车早
1h
经过
B
地，
A,B
两地间的路程是多少？
设A、B两地相距x km,则根据题意得：
1.
算术方法解决应怎样列算式：
2.
如果设
A,B
两地相距
x km
，那么客车从
A
地到
B
地的行驶时间为
，货车从
A
地到
B
地的行驶时间为
。
议一议
3.
客车与货车行驶时间的关系是
:
4.
根据上述相等关系，可列
方程为
。
5
、对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？
方程的定义：含有未知数的等式叫做方程
.
判断方程的条件
1、含有未知数
2、是等式
讨论交流
算术方法
:
列
出的算式表示解题的计算过程
,
其中只能 用已知数
.
对于较复杂的问题
,
列算式比较困难
.
列方程
(
代数方法
):
方
程是根据题中的等量关系列出的等式
.
其中既含已知数
,
又含未未知数
.
使问题的已知量与未知量之间的关系很容易表示
,
解决问题就比较方便
.
什么叫方程
?
含有未知数的等式叫
方程。
什么是方程的解呢？
使
得方程左右两边相等的未知数的值叫做
方程的解
.
1、x=2是2x=4的解吗？
2、x=3是2x-1=7的解吗？
用一根长为
24cm
的铁丝围成一个正方形，正方形的边长为多少？（只列方程）
等量关系：正方形的周长=边长
×4
4x=24
例
一台电脑已经使用
1 700 h
，预计每个月再使用
150 h
，经过多少个月这台电脑的使用时间达到规定的检修时间
2 450
h
？（只列方程）
已知量
未知量
等量关系
原来使用时间+还可以使用的时间=规定的检修时间
1 700+150
x
=2 450
1、已经使用了
1 700
h; 2、预计每月再使用150 h；3、这台电脑规定检修时间是
2 450
h
这台电脑还能用几个月达到规定的检修时间
例
我校女生人数占全体学生数的
52%
，比男生多
80
人，我们学校有多少学生？（只列方程）
等量关系：
女生数--男生数=80 或
女生数=男生数+80 或
女生数-80=男生数
52％
x
-(1-52％)
x=
80或
52％
x=
(1-52％)
x+
80或
52％
x
-80=(1-52％)
x
例
构建方程解决实际问题的关键是什么？
一般步骤又是什么呢？
找等量关系
分析题意
找等量关系
设未知数
根据等量关系列方程
以下五个方程具有什么样的共同特征呢？
2
x
+5=27
1 700+150
x
=
2 450
52％
x
-(1-52％)
x
=80 ④ 4
x
=24
1、都只含有一个未知数
;
2、未知数的次数都是1
一元一次方程的概念：
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是
1
，这样的方程叫做一元一次方程。
等式的性质
b
a
a = b
右
左
你能发现什么规律
?
b
a
a
=
b
c
右
左
学科网
c
b
a
右
左
a
=
b
a
c
b
右
左
a
=
b
c
b
c
a
右
左
a
=
b
c
b
c
a
a+c b+c
=
右
左
有什么规律？
a
=
b
c
c
a
b
右
左
a
=
b
c
右
左
学科网
b
a
a
=
b
c
右
左
b
a
a
=
b
右
左
b
a
a
=
b
a-c b-c
=
右
左
你能发现什么规律
?
b
a
a
=
b
等式的性质１：等式的两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．
b
a
右
左
a
b
2a = 2b
a
=
b
b
a
a = b
右
左
b
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
C
个
C
个
ac = bc
b
a
右
左
a = b
回答：
(1)
从
x=y
能否得到
x+5=y+5
？为什么
(
2)
从
x=y
能否得到
= ?
为什么？
x
9
y
9
等式的性质２
：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为０的数，结果仍相等．
可以，由等式性质1可得
可以，由等式性质2可得
(3)从a+2=b+2能否得到a=b？为什么？
中学学科网
(4)从-3a=-3b能否得到a=b？为什么？
可以，由等式性质1可得
可以，由等式性质2可得
用等式的性质解方程
解:（1）两边减7得
（
2
）
两边同时除以
-5
得
解：两边加5，得
化简得：
两边同乘-3，得
第五章 一元一次方程
2 求解一元一次方程
2 求解一元一次方程
合并同类项
约公元
825
年，中亚细亚数学家阿尔
—
花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程。这本书的拉丁译本为
《
对消与还原
》
。“
对消
”与“
还原
”是什么意思呢？
实际问题
一元一次方程
设未知数 列方程
分
析实际问题中的数量关系，利用其中的
相等关系
列出方程，是解决实际问题的一种数学方法
.
某
校三年共购买计算机
140
台，去年购买数量是前年的
2
倍，今年购买数量又是去年的
2
倍．前年这个学校购买了多少台计算机？
分析
:
设前年这个学校购买了计算机
x
台，则去年购买计算机
2x
台，今年购买计算机
4x
台，
根据问题中的相等关系：
前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝
140
台
列得方程
x + 2
x
+4
x
= 140
思考：怎样解这个方程呢？
分析：解方程，就是把方程变形，变为
x = a
（
a
为常数）的形式。
合并同类项
系数化为
1
想一想：上面解方程中“
合并同类项
”起了什么作用？
根据等式的性质２
合
并同类项起到了“化简”的作用，即把含有未知数的项合并，从而把方程转化为
ax=b
，使其更接近
x=a
的形式
(
其中
a,b
是常数
)
。
合并同类项的作用：
实际问题
一元一次方程
设
未知数
列
方程
思考：如何列方程？分哪些步骤？
一
.
设未知数
二
.
分析题意找出等量关系
三
.
根据等量关系列方程
解下列方程
解：
例2
有一列数，按一定规律排成1，-3, 9 ，-27, 81
，-243
，...其中某三个相邻数的和是-1701，这三个数各是多少
？
解：后面一个数都是前一个数的 -3 倍，设某三个相邻的数第一个是 x ，则第二、第三个分别是 -3x , 9x，所以
x - 3x+9 x= -1701
解
得 x
= -243
解下列方程
请欣赏一首诗：
太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼；
一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中；
剩下十五围着我，共有多少请算清。
你能列出方程来解决这个问题吗？
一
个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是
33
。求这个数。
解：设这个数是
x
，则：
移项
把
一些图书分给某班同学阅读，如果每人
3
本，则剩余
20
本；若每人
4
本，则还缺少
25
本，这个班的学生有多少人？
问题
分析：设这个班有
x
名学生，这批书共有（
3x+20
）本这批书共有（4x
－
25）本。
表示同一个量的两个不同的式子相等（即：这批书的总数是一个定值）
3x+20=4x
－
25
1、使方程右边不含
x
的项
2
、使方程左边不含常数项
等式两边减4x，得：
3x+20
－
4x
=4x
－
25
－
4x
3x+20
－
4x
=
－
25
3x+20
－
4x
－
20
=
－
25
－
20
等式两边减
20
，得：
3x
－
4x
=
－
25
－
20
3x
－
4x
=
－
25
－
20
3x+20 = 4x
－
25
上面方程的变形，相当于把原方程
左边
的
20
变为－
20
移到
右边
，把
右边
的
4x
变为－
4x
移到
左边
.
把某项从等式一边移到另一边时有什么变化？
解方程中“移项”起了什么作用？
通过移项，含
未知数的项
与
常数项
分别列于方程的
左右两边
，使方程更接近于
x = a
的形式
.
像上面那样，等式一边的某项
变号
后移到另一边，叫做
移项
。
移项
合并同类项
系数化为
1
例
2
解方程
解：
例
4
某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多
200 t
；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少
100 t
.
新、旧工艺的废水排量之比为
2
︰
5
，两种工艺的废水排量各是多少？
分析：因为新，旧工艺的废水排量之比为2:5，所以可设它们分别为2x t和5x t，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程。
解：设新、旧工艺的废水排量分别为 2
x
t 和 5
x
t
根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得
5
x
-200=2
x
+100
移项，得 5
x
-2
x
=100+200
合并同类项，得 3
x
=300
系数化为1，得
x
=100
所
以2
x
=200 5
x
=500
答：新、旧工艺生产的废水排量分别为200 t和500 t。
练习 解下列方程
；
.
去
括号
某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少
2 000
度，全年用电
15
万度，这个工厂去年上半年每月平均用电多少度？
分析：若设上半年每月平均用电
x
度，
则下半年每月平均用电
度
上半年共用电
度，
下半年共用电
度。
等量关系：
所以
,
可列方程
。
（
x-2 000
）
6
（
x-2 000
）
6x
6x+ 6
（
x-2 000
）
=
150 000
上半年用电
+
下半年用电
=
全年用电
15
万度
解：设上半年每月平均用电
x
度，则下半年每月平均用电（
x-2000
）度
,
上半年共用电
6x
度，下半年共用电
6
（
x-2000
）度。
根
据题意列方程得
：
6x
+ 6
（
x-2 000
）
=
150 000
去括号得：
6x+6x-12 000=150 000
移项得
：
6x+6x=150 000+12 000
合并同类项得：
12x=162 000
系数化为
1
得：
x=13 500
答
:
这个工厂去年上半年每月平均用电
13 500
度。
解一元一次方程的步骤：
移项
合并同类项
系数化为
1
去括号
例
1
解方程 2
x-(x
+10
)=
5x+
2(x
-1
)
解
:
去括号得：
移项得
：
合并同类项得：
系数化为
1
得：
2
x-x
-10
=
5x+
2x-
2
2
x-x
-5
x
-2x
=
-2+10
－6
x =
8
X=
-4/3
例
2
解方程
3x-7(x-1)=
3-2(x+3)a
解
:
去括号得：
移项得
：
合并同类项得：
系数化为
1
得：
3x-7x+7=3-2x-6
3x-7x+2x=3-6-7
－
2x =
－
10
x=5
解方程
②
③
①
④
1
、关于
x
的方程
的
解为
-1
，则
a
的值
为
.
2
、甲、乙两人登一座山，甲每分钟登高
10
米，并且先出发
30
分钟，乙每分钟登高
15
米，两人同时登上山顶。甲用多少时间登山？这座山有多高？
练习
例
2
一艘船从甲码头到乙码头顺流航行
,
用了
2
小时
;
从乙码头到甲码头逆流航行
,
用了
2.5
小时
;
已知水流的速度是
3
千米
/
小时
,
求船在静水中的平均速度是多少千米
/
小时
?
分析
:
等量关系
甲码头到乙码头的路程
=
乙码头到甲码头的路程
也就是
:
顺航速度
___
顺航时间
=
逆航速度
___
逆航时间
×
×
解： 设船在静水中的平均速度为 x km/h，则顺流速度为（x+3）km/h，逆流速度为（x-3）km/h。
根据往返路程相等，列得
2（x+3）=2.5（x-3）
去括号，
得2x+6=2.5x-7.5
移项、合
并同类项，
得0.5x=13.5
系
数化为1，
得x=27
答：船在静水中的平均速度为27 km/h。
3.
大箱子装洗衣粉
36
千克，把大箱子里的洗衣粉分装在
4
个大小相同的小箱子里，装满后还剩余
2
千克洗衣粉，则每个小箱子装洗衣粉的千克数为（
）
A
．
6.5 B
．
7.5
C.
８
.5
D.
９
.5
4
、某物品标价为
130
元
,
若以
9
折出售
,
仍可获利
10%,
则该物品进价约是
( )
A
. 105
元
B. 106
元
C
. 108
元
D
. 118
元
C
B
去分母
1
．会用去分母的方法解含分母的一元一
次方
程．
2
．会检验方程的解及总结解方程的一般步骤
.
学习目标
解有分数系数的一元一次方程的步骤：
1
．去分母；
2
．去括号；
3
．移项；
4
．合并同类项；
5
．系数化为
1
．
主要依据：等式的性质和运算律等．
以上步骤是不是一定要顺序进行，缺一不可？
这
件珍贵的文物是纸莎草文书，是古代埃及人用象形文字写在一种特殊的草上的著作，至今已有
3700
多年的历史了，在文书中记载了许多有关数学的问题．
问
题：
一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是
33
．试问这个数是多少？
你能解决这个问题吗？
解：设这个数为
x
，可得方程：
为
使方程变为整系数方程，方程两边应该同
乘什
么数？
各分母的最小公倍数
42
．
解：去分母，得
28x
＋
21x
＋
6x
＋
42x
＝
1 386
．
合并同类项，得
97x
＝
1 386
．
系数化为
1
，得
例3
解下列方程：
（
1
）
（
2
）
解
：
1
、解方程
观察：这个方程有什么特点？应该怎么解？
2
、解方程
观察：这个方程有什么特点？又应该怎么解？
解方程
解：去分母，得
2y-(y-2)=6
去括号，得
2y-y+2=6
移项，得
2y-y=6-2
合并同类项
y=4
归纳
去分母时须注意：
1.
确定分母的最小公倍数；
2.
不要漏乘没有分母的项；
3.
去掉分母后，若分子是多项式，应该多项式（分子）添上括号，视多项式为一整体．
第五章 一元一次方程
应用一元一次方程
——
水箱变高了
某居民楼顶有一个底面直径和高均为
4m
的圆柱形储水箱
.
现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由
4m
减少为
3.2 m
.
那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的
4 m
增高为多少米？
1
．使同学们知道形积问题的意义，能分析题中已知数与末知数之间的相等关系，列出一元一次方程解简单的应用题
.
2
．使同学们了解列出一元一次方程解应用题的方法
.
3
．通过对实际问题的解决，体会方程模型的作用，发展分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力
.
学 习 目 标
【
小组讨论
1】
谈谈你对形积变化问题的认识
.
【
反思小结
】
对于这类问题，虽然形状和体积都可能发生变化，但应用题中任然含有一个相等关系，要通过分析题意和题目中的数量关系，把这个能够表示应用题全部含义的相等关系找出来，然后根据这个相等关系列出方程
.
此类问题常见的有以下几种情况：
探究点一：形积变化问题
1. 形状发生了变化，而体积没变.此时，相等关系为变化前后体积相等.
2. 形状、面积发生了变化，而周长没变.此时，相等关系为变化前后周长相等.
3. 形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为相等关系.
活动二：
用一根长为
10m
的铁丝围成一个长方形
.
（
1
）使得该长方形的长比宽多
1.4m
，此时长方形的长、宽各为多少米？
（
2
）使得该长方形的长比宽多
0.8m
，此时长方形的长、宽各为多少米？它所转成的长方形与（
1
）中所围长方形相比，面积有什么变化？
（
3
）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所转成的面积与（
2
）中相比又有什么变化？
【
展示点评
】
分析：由题意可知，长方形的周长始终是不变的，即长与宽的和为：
20×½
＝
10m.
在解决这个问题的过程中，要抓住这个等量关系
.
解：（
1
）设此时长方形的宽为
x
m
，则长为
x+1.4
根据题意，得
x+x+1.4=10 ×
解这个方程，得
x=1.8
此时长方形的长为
3.2
，宽为
1.8
，面积为
5.76
.
（
2
）设此时长方形的宽为
x
，则长为
x+0.8
根据题意，得
x+x+1.4=10 ×
解这个方程，得
x=2.1
此时长方形的长为
2.9
，宽为
2.1
，面积为
6.09
此时长方形的面积比（
1
）中面积
6.09-5.76=0.33
m².
（
3
）设正方形的边长为
x,
根据题意，得
x
+x=10
×
解这个方程，得
x=2.5
此时正方形的长为
2.5
，面积为
6.25
的面积比 （
2
）中面积
增大
6.25-6.09=0.16
m².
【
小组讨论
2】
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤有哪些？
【
反思小结
】
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
审：审题，明确各数量之间的关系；
找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；
设：设未知数（一般求什么，就设什么为
x
）；
列：根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程；
解：解所列的方程，求出未知数的值；
检：检查所求解是否符合题意；
1.
形积变化问题的情况：
（
1
）形状发生了变化，而体积没变
.
此时，相等关系为变化前后体积相等
.
（
2
）形状、面积发生了变化，而周长没变
.
此时，相等关系为变化前后周长相等
.
（
3
）形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为相等关系
.
1.
小明在一次登山活动中捡到一块矿石，回家后，他使
用一
把刻度尺，一只圆柱形的玻璃杯和足量的水，就测
量出
了这块矿石的体积
.
如果他量出玻璃杯的内直径是
d,
把
矿石完全浸没在水中，测出杯中水面上升的高度为
h
，
则小明的这块矿石体积是
(
)
A
．
B
．
C
．
D
．
A
2.
小明用长
250 cm
的铁丝围成一个长方形，并且长方形的长比宽多
25 cm
，设这个长方形的长为
x cm
，则
x
等于
(
)
A
．
75 cm B
．
50 cm
C
．
137.5 cm D
．
112.5 cm
A
3.
请根据图中给出的信息，可得正确的方程是
(
)
A.π·( )
2
x
＝
π·( )
2
·(x
＋
5)
B.π·( )
2
x
＝
π·( )
2
·(x
－
5)
C.π·8
2
x
＝
π·6
2
(x
＋
5)
D.π·8
2
x
＝
π·6
2
×5
A
4.
用直径为
4cm
的圆钢，铸造三个直径为
2 cm
，
高
16 cm
的圆柱形零件，则需要截取的圆钢
长
_______cm.
5.
用
5
个一样大小的小长方形恰好可以拼成如
图的
大长方形，若大长方形的周长是
14
，
则小
长方形的长是
______
，宽是
_____.
12
2
1
第五章 一元一次方程
4
应用一元一次方程
——
打折销售
与销售有关的几个概念：
进价
：购进商品时的价格。（有时也叫成本价）
售价
：在销售商品时的售出价。
标价
：在销售商品时标出的价格。（有时也称原价）
利润
：在销售商品过程中的纯收入。
利润
=
售价
—
成本价
利润率
：利润占成本的百分比。
利润率
=
利润
÷
成本
×100
％
打折是怎么回事？
所谓打折，就是商品以标价为基础，按一定的比例降价出售，它是商家们的一种促销行为。
例如：一个滑板标价200元，若以九折出售，则实际售价为 200 ×0.9 = 180（元），若打七折，则实际售价为200 × 0.7 = 140（元）。
某
超市将一件成本是
100
元的夹克
,
按成本价提高
50%
后
,
标价
150
元
,
后按标价的
8
折出售给某顾客
,
结果仍获利
20
元。
在打折销售问题中经常会遇到一些特有的名词
:
成本价
标
价
售价
利
润
利
润率
你能说出上题中的各个量分别是多少吗
?
100
元
150
元
120
元
20
元
20%
1
、
500
元的
9
折价是
______
元 ，
x
折是
_______
元
.
2
、某商品的每件销售利润是
72
元，进价是
120
，则
售价是
_____
元
.
3
、某商品利润率
13﹪
，进价为
50
元，则利润
是
__
_
__
元
.
利润
=
售价－进价
打
x
折后的售价
=
利润率
=
进价
利润
原价
×
王
洁做服装生意。她进了一批运动衫，每件进价
90
元，卖出时每件
100
元。请问一件运动衫利润是多少元？利润率又是多少？
进价：
90
元。
售价：
100
元。
利润：（
100 – 90
）元
= 10
元。
进价、售价、利润和利润率之间的关系是：
商品利润
=
商品售价
–
商品进价
商品的利润率
=
商品售价
–
商品进价
商品进价
例
.
一家商店将服装按成本价提高
40%
后标价，又以
8
折（即按标价的
80%
）优惠卖出，结果每件仍获利
15
元，这种服装每件的成本是多少元？
仔细审题
！
[
分析
]
：若设每件衣服的成本价为
x
元
,
则每
件衣服标价为
__________
元；
每件衣服的实际售价
为
______________
元；
每件衣服的利润
为
__________________
。
由此，列出
的方程
.
解方程，得
x=______
因此每件服装的成本
____
元。
(1+40%)x
(1+40%) ·
x·80%
(1+40%) ·x·80%
－
x
(1+40%) ·
x·80%
－
x=15
125
125
例： 商店对某种商品作调价，按原价的
8
折出售，此时商品的利润率是
10%
，此商品的进价为
1600
元。商品的原价是多少？
解：设此商品的原价为
元
，根据题意，得
去分母，得：
移项，得：
合并同类项，得：
系数化为
1
，得：
答：此商品的原价为
2 200
元。
1、某商品的进价为250元，按标价的9折销售时，利润率为15.2%，求商品的标价是多少？
2、某商品的进价为200元，标价为300元，折价销售时的利润率为5%，求此商品按几折销售的？
某商店在某一时间以每件
60
元的价格卖出两件衣服
,
其中一件盈利
25%
，另一件亏损
25 %
，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏
?
销售中的盈亏
可
以设另一件衣服的进价
y
元，它的商品利润是
_______
，列出方程
______________
，解
得
______.
两
件衣服的进价是
x
+ y
=_____
元，而两件衣服的售价是
60+60=120
元，进价
_____
于售价，由此可知卖这两件衣服总的盈亏情况是
_______.
1
、某服装商店以
135
元的价格售出两件衣服，按成本计算，第一件盈利
25
%
，第二件亏损
25
%
，则该商店卖这两件衣服总体上是赚了，还是亏了？
议一议
这两件
衣服的成本价会一样吗？
解：
设第一件衣服的成本价
是
x
元
，
则由题意得
：
x
·
（
1+25%
）
=135
解这个方程，得
：
x=108
。
则第一件衣服赢利：
135
－
108=27
。
设第二件衣服的成本价是
y
元，
由题意得：
y ·
（
1
－
25%
）
=135
解这个方程，得：
y=180
。
则第二件衣服亏损：
180
－
135=45
总体上约亏损了：
45
－
27=18
（元）
因此，总体上约亏损
了
18
元。
例
3
某商店中的一批钢笔按售价的八折出售仍能获得
20%
的利润，求商店在定价时的期望利润百分率？（原定价时的利润率）
答：商店在定价时的期望的利润百分率为
50%
解：设商店在定价时的期望利润率为
x
，依题意得
等量关系：售价的八折
=
成本
×
（
1+20%
）
（
1+x
）
×
80%=1+20%
解得：
x = 50%
2
）商品出售的利润是增长百分率的一类
，等
量关系为
:
售
价
=
成本价
+
利润
售价
=
成本价
×
（
1+
利润率）
3
）要注意“利润”和“利润率”的区别，
利
润
=
成本
×
利润率
=
销售价－成本价
注：
1
）一般在成本不知道具体多少的情况下，设为“
1”
；
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？
实际问题
数学问题
已知量、未知量、
等量关系
方程
方程
的解
解的
合理性
解释
抽象
分析
列出
求出
验证
合理
不合理
第五章 一元一次方程
5
应用一元一次方程
——
“希望工程”义演
某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出
1 000
张票，筹得票款
6 950
元
.
成人票与学生票各售出多少张？
1.
通过分析有关和、差、倍、分问题中已知数与未知数之间的相等关系，列出方程
.
2
.
巩固用一元一次方程解决实际问题中的步骤，并注意检验解的合理性
.
学 习 目 标
活动一：
探讨解决课前引例
.
正确找出等量关系：成人票数
+
学生票数＝
1 000
张，成人票款
+
学生票款＝
6 950
元
.
解：设售出的学生票为
x
张，填写下表：
探究点一：含两个等量关系问题
学 生
成 人
票数
/
张
票款
/
元
【
展示点评
】
学会寻找相等关系是关键
.
在本节所涉及的和、差、倍、分问题中，要善于利用“总量等于各个分量之和”来确定相等关系，列出方程
.
【
小组讨论
1】
列方程解应用题，并考虑引例还有没有另外的解题方法？
解法
2
：设所得学生票款为
y
元，填写下表：
【
反思小结
】
列方程解应用题所求出的解不同于一般的一元一次方程的解，它必须要符合题目的实际情况，否则，就不是应用题的解
.
像引例这类问题的解是否存在，其判别标准是最后的解必须是自然数
.
若票价不变，售票数量也不变，问能否售出
6 930
元的票款？若能，请求出学生数和成人数；若不能，请说明理由．
学 生
成 人
票款
/
元
票数
/
张
活动二：
刘成用
150
元买了甲、乙两种书，共
20
本，甲种书单价
10
元，乙种书单价
5
元，则刘成买了这两种书各多少本？
解：
(
方法
1)
设刘成买了甲种书
x
本，则买了乙种书
(20
－
x)
本，
根据题意，得
10x
＋
5(20
－
x)
＝
150
，
10x
＋
100
－
5x
＝
150
，
5x
＝
50
，
x
＝
10
，
20
－
10
＝
10(
本
).
答：刘成买了甲、乙两种书各
10
本
.
探究点二：列方程解决实际问题
(方法2)
设买了乙种书x本，则甲种书有(20－x)本.
根据题意，得10(20－x)＋5x＝150，
200－10x＋5x＝150，
－5x＝－50，
x＝10，
20－10＝10(本).
答：刘成买了甲、乙两种书各10本.
【
展示点评
】
本题的两个等量关系是：甲种书款＋乙种书款＝
150
元，甲种书量＋乙种书量＝
20
本
.
本题有两个未知数：甲种书的数量和乙种书的数量
.
因此既可以设甲书的数量为未知数，又可以设乙书的数量为未知数
.
探究点二：列方程解决实际问题
【
小组讨论
2】
再次温习：用一元一次方程解应用题一般有哪些步骤？
【
反思小结
】
(1)
从实际问题中抽象出数学问题
.
(2)
分析数学问题中的等量关系
(
关键
).
(3)
列出方程
.
(4)
解出方程的解
.
(5)
检验解的合理性
.
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？
实际问题
数学问题
已知量、未知量、
等量关系
方程
方程
的解
解的
合理性
解释
抽象
分析
列出
求出
验证
合理
不合理
1.
根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是
(
)
A.51
元
B.35
元
C.8
元
D.7.5
元
C
2.
某牧场放养的鸵鸟和奶牛一共
70
头，已知鸵鸟和奶牛的腿数之和为
196
条，则鸵鸟比奶牛多
(
)
A.20
头
B.14
头
C.15
头
D.13
头
3
.
学校买篮球和排球共
30
个，共用
936
元，篮球 每个
36
元，排球每个
24
元，则篮球买了
(
)
A.12
个
B.15
个
C.16
个
D.18
个
B
C
4.
希望中学团委组织
65
名新团员为学校建花坛
搬砖
，女同学每人每次搬
6
块，男同学每人每次
搬
8
块，每人搬了
4
次，共搬了
1 800
块，问这些
新团
员中有
_____
名男同学
.
5.
一个三位数，其各位上数字之和为
15
，百位
上的
数字比十位上的数字少
1
，个位上的数字是
十位
上的数字的
2
倍，则这个三位数是
_______.
30
348
第五章 一元一次方程
6
应
用一元一次方程
——
追赶小明
例１：小明早晨要在
7
：
20
以前赶到距家
1 000
米的学校上学，一天，小明以
80
米
/
分的速度出发，
5
分钟后， 小明的爸爸发现他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以
180
米
/
分的速度
去追小明，并且在途中追上了他
．
（
1
）爸爸追上小明用了多长时间？
（
2
）追上小明时，距离学校还有多远？
分析：等量关系：
小明所用时间
=5+
爸爸所用时间；
小明走过的路程
=
爸爸走过的路程
.
线段
图：
解：（
1
）设爸爸追上小明用了
x
分钟，
据题意得
80×5
＋
80
x
=180
x
.
解，得
x
=4.
答：爸爸追上小明用了
4
分钟．
（
2
）
180×4=720
（米），
1 000-720=280
（米）
.
答
：追上小明时，距离学校还有
280
米．
小结：同向而行
①
甲先走，乙后走；
等量关系：甲的路程
=
乙的路程；
甲
的时间
=
乙的时间＋时间差
.
例２：甲、乙两站间的路程为
450
千米，一列慢车从甲站
开
出，每小时行驶
65
千米，一列快车从乙站开出
，每
小时行驶
85
千米．设两车同时开出，同向而行
，则
快车几小时后追上慢车？
分析：等量关系：
快车所用时间
=
慢车所用时间；
快
车行驶路程
=
慢车行驶路程＋相距路程
.
线
段图：
解：设快车
x
小时追上慢车，
据题意得：
85
x
=450+65
x
.
解，得
x
=22.5.
答：快车
22.5
小时追上慢车．
小结：同向而行
②
甲、乙同时走；
等量关系：甲的时间
=
乙的时间；
乙
的路程
=
甲的路程＋起点距离
.
例
3
：甲、乙两人相距
280
米，相向而行，甲从
A
地每秒走
8
米，乙从
B
地每秒走
6
米，那么甲出发几秒与乙相遇？
分析：等量关系：
甲所用时间
=
乙所用时间；
甲路程＋乙路程
=
甲乙相距路程
.
线
段图：
解：设
t
秒后甲、乙相遇，
据题意得
8
t
+6
t
=280.
解，得
t
=20.
答：甲出发
20
秒与乙相遇．
小结：相向而行
等量关系：甲所用时间
=
乙所用时间；
甲
的路程＋乙的路程
=
总路程
.
例
4
：七年级一班列队以每小时
6
千米的速度去甲地
.
王明
从队
尾以每小时
10
千米的速度赶到队伍的排头后又以
同样
的速度返回排尾，一共用了
7.5
分钟，求队伍的长
.
分析：
追及问题：队尾追排头；
相遇问题：排头回队尾
.
解：
7.5
分钟＝
0.125
小时
设王明追上排头用了
x
小时，则返回用了
(0.125
－
x
)
小时
，据
题意得
10
x
－
6
x
=10(0.125
－
x
)
＋
6(0.125
－
x
).
解得
x
=0.1.
此时，
10×0.1
－
6×0.1 =0.4(
千米
)=400(
米
).
答：队伍长为
400
米．
练习
1
：小兵每秒跑
6
米，小明每秒跑
7
米，小兵先跑
4
秒，
小
明几秒钟追上小兵？
分
析：先画线段图：
写解题过程：
解：设小明
t
秒钟追上小兵，
据题意得
6(4
＋
t
) =7
t
.
解得
t
=24.
答：小明
24
秒钟追上小兵．
练习
2
：甲骑摩托车，乙骑自行车同时从相距
150
千米的
两地
相向而行，经过
5
小时相遇，已知甲每小时行
驶的
路程是乙每小时行驶的路程的
3
倍少
6
千米，
求乙
骑自行车的速度
.
解：设乙骑自行车的速度为
x
千米
/
时，
据题意得
5(3
x
－
6)+5
x
=150.
解得
x
=9
.
答：乙骑自行车的速度为
9
千米
/
时．
1.
会借线段图分析行程问题
.
2.
各种行程问题中的规律及等量关系
.
同向追及问题：
①
同时不同地
——
甲路程＋路程差＝乙路程；
甲
时间＝乙时间
.
②
同地不同时
——
甲时间＋时间差＝乙时间；
甲
路程＝乙路程
.
相向的相遇问题：
甲路程＋乙路程＝总路程； 甲时间＝乙时间
.
归纳小结
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