资料简介
考点 09 计数原理
一、单选题
1．某省今年开始实行新高考改革跟以往高考最大的不同就是取消了文理分科，除了语文、数学、外语三门
科目必选外，再从物理、化学、生物、政治、地理、历史这6个科目中任选 3 门作为选考科目，甲和乙分别
从6科中任选 3 科，若他俩所选科目都有物理．其余 2 科均不同，则甲不选历史，且乙不选化学的概率是
（ ）
A． 3
200 B． 3
100 C． 27
400 D． 9
100
【答案】B
【分析】从 6科中任选 3 科共 3
6 20C 种不同的方案，两人分别从 6科中任选 3 科，共有 3 3
6 6 400C C 种不
同的方案．
因为他们都选了物理，其余 2 科又不同，所以对甲是否选化学分成两类讨论：
第1类甲选化学，甲只需再从生物、地理、政治3 门中选1门，有 1
3 3C 种方法，乙从剩余 3 门中选 2 门，
有 2
3 3C 种方法，所以一共有9 种选法；
第 2 类甲不选化学，甲又不选历史，所以他只能从生物、政治、地理 3 门中选 2 门，有 2
3 3C 种方法，乙
只能选剩下的 2 门，有1种方法，此时一共有3 种选法．
综上所知，满足要求的选法共有12 种，所以所求事件的概率 12 3
400 100P .
故选：B．
2．二项式
53x x
的展开式中 x 的系数为（ ）
A． 15 B． 3 C． 3 D．15
【答案】A
【分析】由题意知，二项展开式中第 r+1 项的通项公式
5 3
5 2
1 5 5
3( ) ( 3)
r r
r r r r
rT C x C xx
， 0r ，
1， 2 ，3 ， 4 ， 5 ．
令 5 3 12
r 得 1r ，
所以 x 的系数为 1 1
5( 3) 15C .
故选：A．
3．小华在学校里学习了二十四节气歌，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在立冬、小
雪、大雪、冬至、小寒、大寒 6 个冬季节气与立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨 6 个春季节气中一共
选出 3 个节气，若冬季节气和春季节气各至少选出 1 个，则小华选取节气的不同方法种数是（ ）
A．90 B．180 C．220 D．360
【来源】云南省昆明市 2021 届“三诊一模”高三复习教学质量检测数学（理）试题
【答案】B
【分析】依题意，6 个冬季节气和 6 个春季节气各至少选出 1 个，小明可以选 1 冬 2 春、2 冬 1 春.
1 冬 2 春的不同情况有： 1 2
6 6 6 15 90C C 种，
2 冬 1 春的不同情况有： 2 1
6 6 15 6 90C C 种，
故小华选取节气的不同方法种数是90 90 180 种.
故选：B.
4．消除贫困、改善民生、逐步实现共同富裕，是社会主义的本质要求，是中国共产党的重要使命，中共中
央、国务院于 2015 年 11 月 29 日颁布了《中共中央国务院关于打赢脱贫攻坚战的决定》.某中学积极参与脱
贫攻坚战，决定派 6 名教师到 A 、 B 、C 、 D 、 E 五个贫困山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至
少安排一名教师前去支教.学校考虑到教师甲的家乡在山区 A ，决定派教师甲到山区 A ，同时考虑到教师乙
与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（ ）
A．120 种 B．216 种 C．336 种 D．360 种
【答案】C
【分析】根据条件 A 、 B 、C 、 D 、 E 五个贫困山区有 1 个地区有 2 人，其他个地区各 1 人.
若派到山区 A 有 2 人，则不同派法有 5
5 120A 种；
若派到山区 A 有 1 人，则只能为甲，
则将剩余的 5 人分成 4 组，其中乙、丙不能在同一组，则有 2
5 1C 种不同的分组方法.
所以不同派法有 2 4
5 41 216C A 种，
故不同安排方法一共有120 216 336 种，
故选：C.
5．如图，准备用 4 种不同的颜色给 a 、b 、c 、 d 、 e 五块区域涂色，要求每个区域随机用一种颜色涂色，
且相邻区域（有公共边的）所涂颜色不能相同，则不同涂色方法的种数共有（ ）
A．96 B．114 C．168 D． 240
【答案】C
【分析】根据题意，涂色分 4 步进行分析：
对于 e 区域，有 4 种颜色可选，即有 4 种情况，
对于 c 区域，与 e 区域相邻，有 3 种情况，
对于 d 区域，与 e 、 c 区域相邻，有 2 种情况，
对于 a 、b 区域，分 2 种情况讨论：
若 a 区域与 d 区域涂色的颜色相同，则b 区域有 3 种颜色可选，即有 3 种情况，
此时 a 、b 区域有1 3 3 种情况；
若 a 区域与 d 区域所涂的颜色不相同，则 a 区域有 2 种情况，b 区域有 2 种情况，
此时 a 、b 区域有 2 2 4 种情况，
则 a 、b 区域共有 3 4 7 种情况，
则不同涂色的方案种数共有 4 3 2 7 168 种．
故选：C．
6．若 2 3 66
0 1 2 3 61 1 1 1x a a x a x a x a x L ，则 3a （ ）
A．20 B． 20 C．15 D． 15
【答案】B
因为 66 1 1x x ，所以展开式的通项为 6
1 6 1 1r rr
rT C x
，
令 6 r 3 ，则 3r ，所以 33
3 6 1 20a C ，
故选：B.
7．2020 年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁 4 名干部派遣到 A ， B ，
C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲、乙2 名干部不被分到同一个贫困县的概率为（ ）
A． 1
2 B． 2
3 C． 3
4 D． 5
6
【答案】D
【分析】甲、乙、丙、丁 4 名干部派遣到 A， B ，C 三个贫困县扶贫，共有 2 3
4 3 36C A 种情况，
其中甲、乙 2 名干部被分到同一个贫困县共有 3
3 6A 种情况，
所以甲、乙两名干部不被分到同一个贫困县的概率为 6 51 36 6
.
故选：D.
8．今天是星期三，经过 7 天后还是星期三，那么经过 20218 天后是（ ）
A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五
【答案】C
【分析】 20212021 0 1 2 2 2021 2021
2021 2021 2021 20218 1 7 7 7 7C C C C
所以 20218 被 7 除得余数为 1，故经过 20218 天后是星期四
故选：C
9．已知 2 52 (1 ) ( )ax x a R 的展开式中 5x 的系数是 8 ，则 3x 的系数为（ ）
A． 20 B．15 C．12 D． 15
【答案】B
【分析】原式 5 522 1 1x ax x ，
展开式中 5x 包含两部分，一部分是 51 x 中的 5x ，一部分是 51 x 中的 3x ，
51 x 中含 5x 的项是 5x ，含 3x 项的系数是 3 3 3
5 10C x x ，
所以 2 10 8a ，得 1a ，
即原式 5 522 1 1x x x ，
展开式中 3x 包含两部分，一部分是 51 x 中的 3x ，一部分是 51 x 中的 x ，
51 x 中的 3x 的项是 3 3 3
5 10C x x ， 51 x 中的 x 的项是 1
5 5C x x ，
即 3x 的项是 3 2 32 10 5 15x x x x ，系数是15 .
故选：B
10．已知
2
1
2 3 2m x dx ，则 4( ) (2 )m mx y x y 中 3 3x y 的系数为（ ）
A． 80 B． 40 C． 40 D．80
【答案】C
【分析】
3
2 2 32
2 2 22
1 3
3 21 1
2
2 3 2 2 (3 2 ) 2 (3 2 ) 2[(3 ) | ] 2[( 3 ) | ] 1m x dx x dx x dx x x x x ，
则 4 5( ) (2 ) ( )(2 )m mx y x y x y x y ，
5(2 )x y 的通项公式 5 5 5
1 5 5(2 ) ( ) ( 1) 2r r r r r r r r
rT C x y C x y
，
则两个通项公式为 5 6
1 5( 1) 2r r r r r
rx T C x y
，当 3r 时 3 3 3
54 40C x y ，
5 5 1
1 5( 1) 2r r r r r
ry T C x y
，当 2r = 时 2 3 3
58 80C x y ，
则 3 3x y 的系数为 40 80 40 .
故选：C.
11．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中
国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安
排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐
器互不相邻的概率为（ ）
A． 1
360 B． 1
6 C． 7
15 D． 1
15
【答案】B
从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为 8
10A .从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全
排列，有 5
7A 种情况，再从排好的五种乐器形成的 6 个空中挑 3 个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有 3
6A 种
情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为 5 3
7 6A A .
所以所求的概率
5 3
7 6
8
10
1
6
A AP A
，
故选：B.
12．2020 年 11 月 15 日，东盟十国及中国、日本、韩国、澳大利亚、新西兰正式签署了区域全面经济伙伴
关系协定.某自媒体准备从这 15 个国家中选取 3 个国家介绍其经济贸易情况，则东盟国家及非东盟国家至少
各有 1 个被选取的概率为（ ）
A． 3
7 B． 5
7 C． 2
3 D． 1
3
【答案】B
从 15 个国家中选取 3 个国家，选取方法数为 3
15C ，
选取的 3 个国家中，东盟国家及非东盟国家至少各 1 个被选取的方法数为 1 2 2 1
10 5 10 5C C C C ，
所以所求概率
1 2 2 1
10 5 10 5
3
15
C C C C 5
C 7P ，
故选：B.
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