资料简介
考点 10 概率统计
一、单选题
1．（2021·广东茂名市·高三月考）“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能
源汽车产业的迅速发展.下表是 2020 年我国某地区新能源乘用车的前 5 个月销售量与月份的统计表：
月份代码 x 1 2 3 4 5
销售量 y (万辆) 0.5 0.6 1 1.4 1.5
由上表可知其线性回归方程为： 0.28y x a ，则 a 的值为（ ）
A．0.16 B．1.6 C．0.06 D．0.8
【答案】A
【分析】由表中数据可得 1 2 3 4 5 35x ， 0.5 0.6 1 1.4 1.5 15y ，
将 3,1 代入 0.28y x a ，即1 0.28 3 a ，解得 0.16a .
故选：A.
2．（2021·全国高三其他模拟）互联网宽带接入用户数是指在电信企业登记注册，通过 xDSL ，FTTx LAN ，
WLAN 等方式接入中国互联网的用户，主要包括 xDSL 用户、 LAN 专线用户、 LAN终端用户及无线接
入用户．如图为 2019 年 6 月—2020 年 4 月中国互联网宽带接入用户数及增速走势图．
利用统计知识对上图进行分析，下列说法正确的是（ ）
A．2019 年 6 月—2020 年 4 月中国互联网宽带接入用户数逐月增加
B．2019 年 6 月—2020 年 4 月中国互联网宽带接入用户数增速的平均值为 0.74%
C．中国互联网宽带接入用户数在 2019 年 9 月增速最快，2019 年 11 月的用户数比 10 月少
D．中国互联网宽带接入用户数在 2019 年 7 月和 2019 年 8 月这两月的增速相同，因此用户数没有增加
【答案】C
【分析】对于 A，在 2019 年 11 月和 2019 年 12 月的增速为负值，说明用户数在减少，所以 A 不正确；
对于 B，互联网宽带接入用户数增速的平均值为
1.0% 1.0% 1.5% 0.5% 0.1% 0.6% 0.6% 0.6% 0.8% 0.6% 0.59%10
，所以 B 不正确；
对于 C，2019 年 9 月的增速为1.5% ，增速最快，2019 年 11 月的增速为负值，
说明 2019 年 11 月的用户数比 2019 年 10 月的少，所以 C 正确；
对于 D，中国互联网宽带接入用户数在 2019 年 7 月和 2019 年 8 月这两个月的增速相同，
增速均是正值，因此每一月用户数在上一月的基础上是增加的，所以 D 不正确．
故选：C．
3．（2021·河北唐山市·高三二模）劳动力调查是一项抽样调查.2021 年的劳动力调查以第七次人口普查的最
新数据为基础抽取相关住户进入样本，并且采用样本轮换模式．劳动力调查的轮换是按照“ 2 10 2 ”模式
进行，即一个住户连续 2 个月接受调查，在接下来的10个月中不接受调查，然后再接受连续 2 个月的调查，
经历四次调查之后退出样本．调查进行时保持每月进入样本接受第一次调查的新住户数量相同．若从第 k 个
月开始，每个月都有 1
4
的样本接受第一次调查， 1
4
的样本接受第二次调查， 1
4
的样本接受第三次调查， 1
4
的样本接受第四次调查，则 k 的值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】C
【分析】假设每月新增一组人，将其编号为 1,2,3,4,……，则每个月接受调查的情况为：
1 月 ：1；2 月：1,2；3 月：2,3；4 月：3,4；5 月：4,5；6 月：5,6；7 月：6,7；8 月：7,8；9 月：8,9；10
月：9,10；11 月：10,11；12 月：11,12；13 月：12,13,1；14 月：14,13,2,1；15 月：15,14,3,2；可知到第 14
个月开始，接受调查的有 4 组，并且分别是第一次调查、第二次调查、第三次调查和第四次调查.
故选：C.
4．（2021·全国高三月考（理））某省今年开始实行新高考改革跟以往高考最大的不同就是取消了文理分科，
除了语文、数学、外语三门科目必选外，再从物理、化学、生物、政治、地理、历史这 6个科目中任选 3 门
作为选考科目，甲和乙分别从 6科中任选 3 科，若他俩所选科目都有物理．其余 2 科均不同，则甲不选历史，
且乙不选化学的概率是（ ）
A． 3
200 B． 3
100 C． 27
400 D． 9
100
【答案】B
【分析】从 6科中任选 3 科共 3
6 20C 种不同的方案，两人分别从 6科中任选 3 科，共有 3 3
6 6 400C C 种不
同的方案．
因为他们都选了物理，其余 2 科又不同，所以对甲是否选化学分成两类讨论：
第1类甲选化学，甲只需再从生物、地理、政治3 门中选1门，有 1
3 3C 种方法，乙从剩余 3 门中选 2 门，
有 2
3 3C 种方法，所以一共有9 种选法；
第 2 类甲不选化学，甲又不选历史，所以他只能从生物、政治、地理 3 门中选 2 门，有 2
3 3C 种方法，乙
只能选剩下的 2 门，有1种方法，此时一共有3 种选法．
综上所知，满足要求的选法共有12 种，所以所求事件的概率 12 3
400 100P .
故选：B．
5．（2021·全国高三其他模拟）算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是
中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见
于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把
木板刻为 3 部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，
自右向左，分别是个位、十位、百位……，上面一颗珠（简称上珠）代表 5，下面一颗珠（简称下珠）代表
1，即五颗下珠的大小等于同组一颗上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一颗上珠，从
个位、十位和百位这三组中随机往上拨 2 颗下珠，算盘表示的数能被 5 整除的概率是（ ）
A． 2
3 B． 1
2 C． 1
3 D． 3
4
【答案】B
【分析】由题意可知，若上珠下拨的是个位，表示 5，下珠上的两个都在个位、十位、百位，这时表示的数
是5 2 7 ，5 20 25 ，5 200 205 ；若上珠下拨的是十位，表示 50，下珠上的两个都在个位、十
位、百位，这时表示的数是算盘所表示的数是 50 2 52 ，50 20 70 ，50 200 250 ；若上珠下拨
的是个位，表示 5，下珠上的两个分别在个位、十位，或者个位、百位，或者十位、百位，这时表示的数是
5 11 16 ，5 101 106 ，5 110 115 ；若上珠下拨的是十位，表示 50，下珠上的两个分别在个位、
十位，或者个位、百位，或者十位、百位，这时表示的数是50 11 61 ，50 101 151 ，50 110 160 ，
所以表示的数可能有 7，16，25，52，61，70，106，115，151，160，205，250，其中能被 5 整除的有 6 个，
故所求事件的概率为 6 1
12 2P .
故选：B．
6．（2021·山东枣庄市·高三二模）医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.
内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特
殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要
的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率
20.9372,0.0139x N: .若 2, 0x N : ，则 2 2 0.9545P x ，
3 3 0.9973P x ， 500.97725 0.3164 .有如下命题：甲： 0.9 0.5P x ；乙：
0.4 1.5P x P x ；丙： 0.9789 0.00135P x ；丁：假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽
取的 50 只口罩中过滤率大于 2 的数量，则 1 0.6P X .其中假命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】由题意可知，正态分布的 0.9372, 0.0139 ；
甲．因为 0.9 ，所以 0.9 0.5P x P x ，故正确；
乙．因为 0.4 1.5 ,0.4 1.5 ，所以 0.4 1.5P x P x ，故正确；
丙．因为 0.9789 3P x P x ，且 3 3 0.9973P x ，
所以 1 0.99730.9789 0.001352P x ，故正确；
丁．因为一只口罩过滤率小于等于 2 的概率为 1 0.95450.9545 0.977252
，
又因为 501 1 0 1 0.97725 0.6836P X P X ，故错误；
故选：D.
7．（2021·全国高三专题练习）已知两种不同型号的电子元件（分别记为 X ，Y ）的使用寿命均服从正态分
布， ~X N 2
1 1, ， 2
2 2~ ,Y N ，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论错误的是（ ）
参考数据：若 2~ ,Z N ，则 0.6827P Z ≤ ≤ ， 2 2 0.9545P Z ≤ ≤
A． 1 1 1 12 0.8186P X B． 2 1P Y P Y
C． 2 1P X P X ≤ ≤ D．对于任意的正数t ，有 P X t P Y t≤ ≤
【答案】C
【分析】解：对于 A， 1 1 1 1
12 (0.6827 0.9545) 0.81862P X ，故 A 选项正确；
对于 B，由正态分布密度曲线，可知 1 2 ，所以 2 1( ) ( )P Y P Y ≤ ≤ ，故 C 选项错误；
对于 D，对于任意的正数t ，由图象知 ( )P X t 表示的面积始终大于 ( )P Y t 表示的面积，所以
( ) ( )P X t P Y t ，D 选项正确，
故选：C．
8．（2021·全国高三其他模拟）在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了 10 个小球，其中
9 个是白球，1 个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在 20 箱中各任意摸出一个小球；方法二：
在 10 箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为 1p 和 2p ，则（ ）
A． 1 2p p B． 1 2p p C． 1 2p p D．以上三种情况都有可能
【答案】B
【分析】方法一：每箱中的黑球被选中的概率为 1
10
，所以至少摸出一个黑球的概率
20
1
91 10p
．
方法二：每箱中的黑球被选中的概率为 1
5
，所以至少摸出一个黑球的概率
10
2
41 5p
．
10 20 10 10
1 2
4 9 4 81 05 10 5 100p p
，则 1 2p p ．
故选：B.
二、解答题
9．（2021·河北高三月考）“T2 钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜
制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5 模式”.在前 24 分钟内进行的常规模式中，每小局
比赛均为 11 分制，率先拿满 1 分的选手赢得该局；如果两名球员在 24 分钟内都没有人赢得 4 局比赛，那
么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为 5 分制的小局比赛，率先拿满 5 分的选手赢得该局.24 分钟计时后开
始的所有小局均采用“FAST5”模式.某位选手率先在 7 局比赛中拿下 4 局，比赛结束.现有甲、乙两位选手进
行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24 分钟内甲、乙可以完整打满 2 局或 3 局，且在 11 分
制比赛中，每局甲获胜的概率为 2
3
，乙获胜的概率为 1
3
；在“FAST5”模式，每局比赛双方获胜的概率都为 1
2
，
每局比赛结果相互独立.
（Ⅰ）求 4 局比赛决出胜负的概率；
（Ⅱ）设在 24 分钟内，甲、乙比赛了 3 局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为 X ，求 X 的分布列及
数学期望.
【答案】（Ⅰ） 11
36
；（Ⅱ）分布列见解析，137
24 .
【分析】（Ⅰ）设前 24 分钟比赛甲胜出分别为 1,2,3iA i ，乙胜出分别为 1,2,3iB i ，在“FAST5”模式
每局比赛甲获胜为 C ，4 局比赛决出胜负记为事件 D .
1 2 1 2 3 1 2 1 2 3P D P A A CC A A A C B B CC B B B C
2 2 3 2 2 32 1 2 1 1 1 1 1 11
3 2 3 2 3 2 3 2 36
；
（Ⅱ） X 的可能取值为 4、5、6、7
3 32 1 1 1 14 3 2 3 2 6P X
；
3 2 2 2 2 2 3 2
2 1
3 3
2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 15 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 4P X C C
；
3 3 2 3 2 3
2 1 1
3 2 3
2 1 2 1 1 2 1 16 3 2 3 3 2 3 3 2P X C C C
3 3 2 3 2 3
2 1 1
3 2 3
1 1 1 2 1 1 2 1 7
3 2 3 3 2 3 3 2 24C C C
；
3 4 2 4 2 4 3 4
2 1 1 2
3 3 3 3
2 1 2 1 1 2 1 1 1 17 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2P X C C C C
3 4 2 4 2 4 3 4
2 1 1 2
3 3 3 3
1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 7
3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 24C C C C
；
所以，随机变量 X 的概率分别列为：
X 4 5 6 7
P 1
6
1
4
7
24
7
24
X 的数学期望为 1 1 7 7 1374 5 6 76 4 24 24 24EX .
10．（2021·全国高三其他模拟（理））甲､乙､丙三名同学高考结束之后，一起报名参加了驾照考试，在科目
二考试中，甲通过的概率为 1
2
，甲､乙､丙三人都通过的概率为 1
24
，甲､乙､丙三人都没通过的概率为 1
4
，
且在平时的训练中可以看出乙通过考试的概率比丙大.
（1）求乙，丙两人各自通过考试的概率；
（2）令甲､乙､丙三人中通过科目二考试的人数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望.
【答案】（1）乙： 1
3
，丙： 1
4
；（2）分布列答案见解析，数学期望： 13
12 .
【分析】（1）设甲､乙､丙三人分别通过科目二考试的概率为 1P ， 2P ， 3P ，
由题可知 1
1
2P ， 1 2 3
1
24PP P ， 1 2 3
11 1 1 4P P P ，
解得 2
1
3P ， 3
1
4P 或 2
1
4P ， 3
1
3P
由于乙通过考试的概率比丙大， 2
1
3P ， 3
1
4P .
（2）由题意，随机变量 的可能取值为 0 ，1， 2 ， 3
则 1( 0) 4P ，
1 2 3 1 2 3 1 2 3( 1) 1 1 1 1 1 1P P P P P P P P P P
1 2 3 1 1 3 1 2 1 11
2 3 4 2 3 4 2 3 4 24
1( 3) 24P ，
1( 2) 1 ( 0) ( 1) ( 3) 4P P P P
的分布列为
0 1 2 3
P 1
4
11
24
1
4
1
24
1 11 1 1 13( ) 0 1 2 34 24 4 24 12E
11．（2021·广东茂名市·高三月考）茂名市是著名的水果之乡，“三高农业”蓬勃发展，荔枝､三华李､香蕉､龙
眼等“岭南佳果”驰名中外，某商铺推出一款以新鲜水果为原料的加工产品，成本为每份 10 元，然后以每份
20 元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的作垃圾处理.
（1）若商铺一天准备 170 份这种产品，求当天的利润 y (单位：元)关于当天需求量 n 份， n N 的函数解
析式.
（2）商铺记录了 100 天这种产品的日需求量(单位：份)，整理得下图：
若商铺计划一天准备 170 份或 180 份这种产品，用 X 表示准备 170 份的利润，Y 表示准备 180 份的利润，
你认为应准备哪个数量更合理？请说明理由.(以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率)
【答案】（1） 20 1700, 170 ( )1700, 170
n ny n Nn
；（2）准备 170 份，理由见解析.
【分析】（1）当 170n 时， 170 (20 10) 1700y ，
当 170n 时， 20 1700y n ，
所以 20 1700, 170 ( )1700, 170
n ny n Nn
；
（2）若准备 170 份，则 X 的可能取值为 1100，1300，1500，1700，
则 ( 1100) 0.1P X ， ( 1300) 0.2P X ， ( 1500) 0.2P X ， ( 1700) 0.5P X ，
故 X 的分布列如下，
X 1100 1300 1500 1700
P 0.1 0.2 0.2 0.5
则 X 的数学期望为 ( ) 1100 0.1 1300 0.2 1500 0.2 1700 0.5 1520E X ；
若准备 180 份，则Y 的可能取值为 1000，1200，1400，1600，1800，
则 ( 1000) 0.1P Y ， ( 1200) 0.2P Y ， ( 1400) 0.2P Y ， ( 1600) 0.14P Y ，
( 1800) 0.36P Y
故Y 的分布列如下，
Y 1000 1200 1400 1600 1800
P 0.1 0.2 0.2 0.14 0.36
则Y 的数学期望为 ( ) 1000 0.1 1200 0.2 1400 0.2 1600 0.14 1800 0.36 1492E Y ；
因为 ( ) ( )E X E Y ，所以该商铺应该准备 170 份.
12．（2021·高三月考）新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数
是50岁以上人群.该病毒进入人体后有潜伏期.潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.
潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.现对 400 个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平
均数为 7.2 ，方差为 22.25 .如果认为超过8 天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列
联表：
年龄/人数 长期潜伏 非长期潜伏
50 岁以上 60 220
50 岁及 50 岁以下 40 80
（1）是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；
（2）假设潜伏期 X 服从正态分布 2,N ，其中 近似为样本平均数 x ， 2 近似为样本方差 2s .
（i）现在很多省市对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；
（ii）以题目中的样本频率估计概率，设1000个病例中恰有 *k k N 个属于“长期潜伏”的概率是 p k ，
当 k 为何值时， p k 取得最大值.
附：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
2
0P K k 0.1 0.05 0.010
0k 2.706 3.841 6.635
若 2~ ,N ，则 0.6862P ， 2 2 0.9544P ，
3 3 0.9974P .
【答案】（1）有；（2）（i）答案见解析；（ii）250.
【分析】（1）依题意有 2
2 400 60 80 220 40 6.35280 120 100 300K
，
由于 6.35 3.841 ，故有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；
（2）(ⅰ)若潜伏期 2~ 7.2,2.25X N ，
由 1 0.997413.95 0.00132P X ，
得知潜伏期超过14 天的概率很低，因此隔离14天是合理的；
(ⅱ)由于 400 个病例中有100个属于长潜伏期，
若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是 1
4
，
于是
1000
1000
1 3
4 4
k k
kp k C
，
则
1000
1000
1 1001
1
1000
1 3
4 4
1 1 3
4 4
k k
k
k k
k
Cp k
p k C
，
1000
1
1000
1 ! 1001 !1 1 1001 13 3 ! 1000 ! 3
k
k
k kC
C k k k
，
当 10010 4k 时，
11
p k
p k
；
当 1001 10004 k 时，
11
p k
p k
；
∴ 1 2 250p p p ， 250 251 1000p p p .
故当 250k 时， p k 取得最大值.
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