资料简介
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
课时1 认识勾股定理
北师大版八年级上册数学教学课件全册
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
学习目标
1.经历探索、验证勾股定理的过程，了解勾股定理的
各种探索方法及内在联系. （重点）
新课导入
相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，
发现朋友家用砖铺成的地
面反映直角三角形三边的
某种数量关系，同学们，
我们也来观察下面的图案，
看看你能发现什么？
新课讲解
知识点1 勾股定理
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的
直角边称为股，斜边称为弦. 图1称为“弦图”，最早是由
三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.
弦
股
勾
图1
新课讲解
定义：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用
a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么
a2＋b2＝c2.
数学表达式：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，
则a2＋b2＝c2.
定义
新课讲解
例 1
解：由题意易知，AC2＋BC2＝AB2，
所以AC2＝AB2－BC2＝102－82＝36.
所以AC＝6 cm.
典例分析
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，
BC＝8 cm，求AC的长．
课堂小结
勾
股
定
理
直角三角形三边关系
数学表达式a2＋b2＝c2
C
当堂小练
1.若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边
长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是( )
A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2
当堂小练
2.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格
中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为( )
A．5
B．6
C．7
D．25
A
拓展与延伸
1. 勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角
三角形三边关系．
2．由勾股定理的基本关系式：a2＋b2＝c2可得到一些
变形关系式：c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2
＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
课时2 验证并应用勾股定理
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
学习目标
1.掌握勾股定理，并能用勾股定理解决一些实际问题.
（重点）
新课导入
上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了
勾股定理.在下图中，分别以直角三角形的三条边为边
长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正
确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.
新课讲解
知识点1 勾股定理的验证
做一做
为了计算图1中大正方形的面积，小明对这个大正方形
适当割补后得到图2、图3.
图1 图2 图3
新课讲解
1.将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来；
2.图2、图3中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪
些表示方式？与同伴进行交流.
3.你能分别利用图2、图3验证勾股定理吗？
议一议
1.常用方法：通过拼图法利用求面积来验证．这种
方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，
以各部分面积之间的关系为依据而达到目的的．
新课讲解
结论
2．用拼图法验证勾股定理的思路：
(1)图形经过割补、拼接后，只要没有重叠，没有空
隙，面积不会改变；
(2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
(3)利用等式性质验证结论成立，即拼出图形→写出
图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→
推导结论．
新课讲解
新课讲解
例 1
典例分析
如图是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是a，b，斜边长为c的
全等的直角三角形和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能
说明勾股定理正确性的图形．
(1)画出拼成的这个图形的示意图；
(2)说明勾股定理的正确性．
新课讲解
分析：可以以边长为c的正方形为基础，一在形外补拼(不
重叠)成新的正方形；二在形内叠合成新的正方形．
解：方法一(补拼法)：(1)如图.
(2)因为大正方形的面积可以表示为(a＋b)2，
也可以表示为c2＋4× ab，
所以(a＋b)2＝c2＋4× ab，
a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab.
1
2
1
2
新课讲解
所以a2＋b2＝c2，
即直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方．
方法二(叠合法)：(1)如图.
(2)因为大正方形的面积可以表示为c2，
也可以表示为 ab×4＋(b－a)2，
所以c2＝ ab×4＋(b－a)2，c2＝2ab＋b2－2ab＋a2.
所以a2＋b2＝c2，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
新课讲解
知识点2 勾股定理的应用
勾股定理的应用：
（1）已知直角三角形的两边长，求其第三边长
（2）已知直角三角形的一边，确定其另两边长之间的关系
（3）证明含有平方关系的几何关系
（4）解决生产、生活中的实际问题
新课讲解
例 2
典例分析
我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆
敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车
与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能帮小王计
算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图，其中
点A表示小王所在位置，点C、点B表示
两个时刻敌方汽车的位置.
由于小王距离公路400m，因此∠C是直角，这样就可以由勾
股定理来解决这个问题了.
解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，
也就是5002=BC2+4002,
所以BC=300.敌方汽车10s行驶了300m，
那么它1h行驶的距离为300×6×60=108000（m）,
即它行驶的速度为108km/h.
新课讲解
课堂小结
勾
股
定
理
验证
应用
当堂小练
1.用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如 图所示的图
形，则下列结论中正确的是( )
A．c2＝a2＋b2 B．c2＝a2＋2ab＋b2
C．c2＝a2－2ab＋b2 D．c2＝(a＋b)2
A
当堂小练
2.两棵树之间的距离为8 m，两棵树的高度分别是
8 m，2 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵
树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？
分析：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，
构造直角三角形，再利用勾股定理求解．
解：根据题意画出示意图，如图所示，
两棵树的高度分别为AB＝8 m，CD＝2 m，
两棵树之间的距离BD＝8 m，
过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AC.
则BE＝CD＝2 m，EC＝BD＝8 m，
AE＝AB－BE＝8－2＝6(m)．
在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2＝AE2＋EC2，
即AC2＝62＋82＝100，所以AC＝10 m.
答：这只小鸟至少要飞10 m．
当堂小练
拓展与延伸
用拼图验证勾股定理的方法：首先通过拼图找出
面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合
图形进行代数变形即可推导出勾股定理．
它一般都经过以下几个步骤：拼出图形→写出图
形面积的表达式→找出相等关系→恒等变形→导出勾
股定理．
第一章 勾股定理
2 一定是直角三角形吗
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
学习目标
1.掌握直角三角形的判别条件，并哪个那个进行简单
运算. （重点）
2.掌握勾股定理的概念，探索常用勾股数的规律. （重点）
新课导入
问题1 在一个直角三角形中三条边满足什么样的关系呢？
问题2 如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的
平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？
答：在一个直角三角形中两直角边的平方和等于斜边
的平方
新课讲解
知识点1 直角三角形的判定
合作探究 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
回答这样两个问题:
1.这三组数都满足 a2+b2=c2吗？
2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，
它们都是直角三角形吗？
① 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;
② 7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;
③ 8,15,17满足a2+b2=c2 ,可以构成直角三角形.
7
24 25
5
1312 17
8
15
0180
150
120
90
60
30
0180
150
120
90
60
30
新课讲解
新课讲解
讨论
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是
直角三角形.
结论
从刚才的分组实验，有什么样的结论发现吗？
新课讲解
例 1
典例分析
一个零件的形状如图（a）所示，按规定这个零件中∠A
和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸
如图（b）所示，这个零件合格吗？
A B
CD
A B
CD
3
4 5 12
13
(a) (b)
新课讲解
解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，
所以△ABD是直角三角形，∠A是直角。
在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，所以
△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角。因此这个零件
符合要求。
新课讲解
讨论
满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.
结论
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这
个三角形就是直角三角形吗？
知识点2 勾股数
2.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2， DF=1，图中有几
个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流。
4
1
2 2
4
3
解:△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形
由勾股定理知
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，BF2=32+42=25
∴BE2+EF2=BF2
∴ △BEF是直角三角形
新课讲解
例
典例分析
课堂小结
一
直
是
直
角
三
角
形
吗
直角三角想的判定
勾股数
当堂小练
1.一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行240海里时方位仪坏了，凭
经验，船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能
判断船转弯后，是否沿正西方向航行？
解:由题意画出相应的图形AB=240海里,BC=70海里,AC=250海里;
在△ABC中AC2-AB2=2502-2402
=4900=702=BC2
即AB2+BC2=AC2∴△ABC是Rt△
答:船转弯后,是沿正西方向航行的。
A
BC
北
2.如图，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？
① ② ③
④
⑤
⑥
解：
④⑤是直角三角形
①②③⑥不是直角三角形
当堂小练
拓展与延伸
同学们还能找出哪些勾股数呢？
第一章 勾股定理
3 勾股定理的应用
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1 学习目标
学习目标
1.利用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短距离. （重点）
2.应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题. （难点）
新课导入
两点之间,线段最短．
从二教楼到综合楼怎样走最近？说明理由．
新课讲解
知识点1 勾股定理
合作探究
问题：在一个圆柱石凳上，若小明
在吃东西时留下了一点食物在B处，
恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信
息，于是它想从A处爬向B处，你们想
一想，蚂蚁怎么走最近？
B
A
蚂蚁A→B的路线
B
A
A’ d
A
BA’
A
BB
A
O
新课讲解
A
BA’B
A
A’ r O
h
怎样计算AB？
侧面展开图
在Rt△AA'B中，利用勾股定理可得:
其中AA'是圆柱体的高,A'B是底面圆周长的一半(πr) ．
2 2AB AA A B
新课讲解
若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3，则:
B
A
A’ 3 O
12 侧面展开图 12
3π
A
A’ B
新课讲解
新课讲解
知识点2 应用勾股定理及其逆定理解决实际问题
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边
和BC边是否分别垂直于底边AB，但
他随身只带了卷尺，
（1）你能替他想办法完成任务吗？
所以AD和AB垂直．
（2）李叔叔量得AD长是30 cm，AB
长是40 cm，BD长是50 cm，AD边垂
直于AB边吗？为什么？
解：AD²+AB²=900+1600=2500
BD²=2500
所以AD²+AB²=BD²
所以三角形ABD是直角三角形
新课讲解
（3）小明随身只有一个长度为20 cm
的刻度尺，他能有办法检验AD边是否
垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
新课讲解
新课讲解
例 1
典例分析
甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨
8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，
1小时后乙出发，他以5 km/h的速度向正走．上
午10：00，甲、乙两人相距多远？
新课讲解
分析：如图已知A是甲、乙
的出发点，10:00甲到达B点,
乙到达C点．则：
AB=2×6=12(km)
AC=1×5=5(km)
在Rt△ABC中
AB²+AC²=144+25=169
∴BC=13(km)
课堂小结
勾
股
定
理
应
用
确定立体图形上的最短路线
利用勾股定理及其逆定理
解决实际问题
1.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走
最近？并求出最近距离．
3
2
20 B
A
解:AB2=152+202+=625=252 ∴AB=25
答：沿AB走最近，最近距离为25．
当堂小练
2.有一个高为1.5 m，半径是1 m 的圆柱形油桶，在靠近边的地
方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为
0.5 m，问这根铁棒有多长？
你能尝试画出
示意图吗?
当堂小练
解:设伸入油桶中的长度为x m,则最长时:
x2=1.52+22
x=2.5
∴最长是2.5+0.5=3(m)
最短是1.5+0.5=2(m) ．
答:这根铁棒的长应在2～3m之间．
当堂小练
在我国古代数学著作《九章算术》中
记载了一道有趣的问题，这个问题的意
思是：有一个水池，水面是一个边长为
10尺的正方形，在水池的中央有一根新
生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这
根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到
达岸边的水面，请问这个水池的深度和
这根芦苇的长度各是多少？
拓展与延伸
设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为
AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得:BC2+AC2=AB2
即 52+x2=(x+1)2
25+x2= x2+2x+1，
2x=24，
∴ x =12， x+1=13 ．
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺．
解：
拓展与延伸
第二章 实数
1 认识无理数
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会
无限逼近的思想. （重点）
2.会判断一个数是有理数还是无理数. （重点、难点）
学习目标
新课导入
把两个边长为1的小正方形拼成一个大正方形
a
设大正方形的边长为a，则a满足什么条件？
分析：∵S大正方形=2
∴a2=2
新课讲解
知识点1 现实生活中存在的不是有理数的数
讨论
结论
上式中的a可能是整数吗？a可能是分数吗？
因为 a不是整数，a也不是分数，所以 a不是有理数.
1
1
a
a
2
2
面积为2
由上可得边长a的一个大致的范围，但a的整数部分是几？
十分位是几？百分位呢？千分位呢？……
讨论
新课讲解
知识点2 估计非有理数的大小
请同学们借助计算器进行探索
边长a 面积S
1
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