资料简介
第三十章 二次函数
30.1
二次函数
篮球运行的路线是什么曲线？
怎样出手才能把球投进篮圈？
起跳多高才能成功盖帽？
在一个变化过程中
,
如果有两个变量
x
与
y,
并且对于
x
的每一个确定的值
,y
都有唯一确定的值与其对应
,
那么就说
y
是
x
的函数
, x
是自变量
.
函数
一次函数
反比例函数
y=kx+b (k≠0)
(
正比例函数
) y=kx (k≠0)
y= (k≠0)
k
x
函数
:
正方体的六个面是全等的正方形
,
设正方形的棱长为
x
,
表面积为
y
,
显然对于
x
的每一个值
,
y
都有一个对应值
,
即
y
是
x
的函数
,
它们的具体关系可以表示为
问题
:
y=6x
2
①
问题
1
多边形的对角线数
d
与边数
n
有什么关系？
由图可以想出
,
如果多边形有
n
条边
,
那么它有
个顶点
,
从一个顶点出发
,
连接与这点不相邻的各顶点
,
可以作
条对角线
.
n
(n-3)
因为像线段
MN
与
NM
那样
,
连接相同两顶点的对角线是同一条对角线
,
所以多边形的对角线总数
M
N
即
②
式表示了多边形的对角线数
d
与边数
n
之间的关系
,
对于
n
的每一个值
,d
都有一个对应值
,
即
d
是
n
的函数
.
问题
2
某工厂一种产品现在的年产量是
20
件
,
计划今后两年增加产量
.
如果每年都比上一年的产量增加
x
倍
,
那么两年后这种产品的产量
y
将随计划所定的
x
的值而确定
,
y
与
x
之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是
20
件
,
一年后的产量是
件
,
再经过一年后的产量是
件
,
即两年后的产量为
20(1+x)
20(1+x)
2
即
③
式表示了两年后的产量
y
与计划增产的倍数
x
之间的关系
,
对于
x
的每一个值
,
y
都有一个对应值
,
即
y
是
x
的函数
.
函数①②③有什么共同点
?
观察
y
是
x
的函数吗？
y
是
x
的一次函数？反比例函数？
y=6x
2
①
在上面的问题中
,
函数都是用自变量的二次式表示的
.
2
、定义：一般地，形如
y=ax²+bx+c
(a,b,c
是常数
,a≠ 0)
的函数叫做
x
的
二次函数。
（
1
）等号左边是变量
y
，右边是关于自变量
x
的
（
3
）等式的右边最高次数为
，可以没有一次项和常数项，但
不能没有二次项
。
注意
：
（
2
）
a,b,c
为常数，且
（
4
）
x
的取值范围是 。
整式
a≠0.
2
任意实数
二次函数的一般形式
:
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
其中
a
、
b
、
c
是常数
,a≠0
)
二次函数的特殊形式：
当
b
＝
0
时，
y
＝
ax
2
＋
c
当
c
＝
0
时，
y
＝
ax
2
＋
bx
当
b
＝
0
，
c
＝
0
时，
y
＝
ax
2
函数解析式
二次项系数
a
一次项系数
b
常数项
c
0
0
2
4
2
－
1
58
－
112
13
0
说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
试一试
:
二次函数
y=ax²+bx+c
中
a≠0,
但
b
、
c
可以为
0.
例
1
、下列函数中，哪些是二次函数？若是
,
分别指出二次项系数
,
一次项系数
,
常数项
.
(1) y=3(x
－
1)
²
+1 (2)y=x+
(3)s=3
－
2t² (4)y=(x+3)²
－
x²
(5)y=
－
x (6)v=10 r ²
1
x
__
x²
1
__
(
是
)
(
否
)
(
是
)
(
否
)
(
否
)
(
是
)
例题
解
:
（
1
）原式
= .
二次项系数是
3
，一次项系
数是
-6
，常数项是
4.
(3)
s=3-2t²
是二次函数
.
二次项系数是
-2
，一次项系数是
0
，常数项是
3.
(4)
原式
=
y=6x+9
.
不是二次函数
.
二次项系数是
10
π
，
一次项系数是
0
，常数项是
0.
(6)
v=10πr²
是二次函数
.
例
2
如果函数
y=(k-3) +kx+1
是二次函数
,
则
k
的值一定是
______ .
0
例题
例题
例
3
用
20
米的篱笆围一个矩形的花圃（如图）
.
设连墙的一边为
x,
矩形的面积为
y.
求：
(1)
写出
y
关于
x
的函数关系式
.
(2)
当
x=3
时
,
矩形的面积为多少
?
x
(2)
当
x=3
时
(00,
c
< 0 a
0
a 0
时，向上平移
c
个单位长度得到
.
当
c
< 0 时，向下平移 - c 个单位长度得到 . 问题 3 函数 的图像，能否也可以由函数 平移得到？ 答：应该可以 . 二次函数 y = a （ x - h ） 2 的图像和性质 一 例1 画出二次函数 的图像，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点． x ··· － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· - 2 - 4.5 - 2 0 0 - 2 - 2 － 2 2 － 2 － 4 － 6 4 － 4 - 4.5 0 x y -8 -8 x y O － 2 2 － 2 － 4 － 6 4 － 4 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 x =- 1 ( - 1 , 0 ) 直线 x = 0 直线 x = 1 向下 向下 ( 0 , 0 ) ( 1 , 0) a ＞ 0 时，开口 , 最 ____ 点是顶点 ; a ＜ 0 时，开口 , 最 ____ 点是顶点 ; 对称轴是 ， 顶点坐标是 . 向上 低 向下 高 直线 x = h ( h ,0 ) 知识要点 二次函数 y = a （ x - h ) 2 的特点 若抛物线 y ＝ 3( x ＋ ) 2 的图像上的三个点， A ( － 3 ， y 1 ) ， B ( － 1 ， y 2 ) ， C (0 ， y 3 ) ，则 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系为 ________________ ． 解析： ∵ 抛物线 y ＝ 3( x ＋ ) 2 的对称轴为 x ＝－ ， a ＝ 3 ＞ 0 ， ∴ x ＜－ 时， y 随 x 的增大而减小； x ＞－ 时， y 随 x 的增大而增大． ∵ 点 A 的坐标为 ( － 3 ， y 1 ) ， ∴ 点 A 在抛物线上的对称点 A ′ 的坐标为 ( ， y 1 ) ． ∵ － 1 ＜ 0 ＜ ， ∴ y 2 ＜ y 3 ＜ y 1 . 故答案为 y 2 ＜ y 3 ＜ y 1 . 练一练 y 2 ＜ y 3 ＜ y 1 向右平移 1 个单位 二次函数 y = ax 2 与 y = a ( x - h ) 2 的关系 二 想一想 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ x y O － 2 2 － 2 － 4 － 6 4 － 4 向左平移 1 个单位 二次函数 y = ax 2 与 y = a （ x - h ) 2 的关系 可以看作互相平移得到 . 左右平移规律： 括号内：左加右减；括号外不变 . 知识要点 例 2. 抛物线y＝ ax 2 向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求 a 的值和平移后的函数关系式． 解：二次函数 y ＝ ax 2 的图像向右平移 3 个单位后的二次函数关系式可表示为 y ＝ a ( x － 3) 2 ， 把 x ＝－ 1 ， y ＝ 4 代入，得 4 ＝ a ( － 1 － 3) 2 ， ， ∴ 平移后二次函数关系式为 y ＝ ( x － 3) 2 . 方法总结： 根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后， a 不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”． 将二次函数 y ＝－ 2 x 2 的图像平移后，可得到二次函数 y ＝－ 2( x ＋ 1) 2 的图像，平移的方法是 ( ) A ．向上平移 1 个单位 B ．向下平移 1 个单位 C ．向左平移 1 个单位 D ．向右平移 1 个单位 解析：抛物线 y ＝－ 2 x 2 的顶点坐标是 (0 ， 0) ，抛物线 y ＝－ 2( x ＋ 1) 2 的顶点坐标是 ( － 1 ， 0) ．则由二次函数 y ＝－ 2 x 2 的图像向左平移 1 个单位即可得到二次函数 y ＝－ 2( x ＋ 1) 2 的图像．故选 C. 练一练 C 二次函数 y = a （ x - h ） 2 + k 的图像和性质 三 例 3 画出函数 的图像 . 指出它的开口方向、顶点与对称轴 . 探究归纳 … … … … 2 1 0 -1 -2 -3 -4 x 解 : 先列表 -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 再描点、连线 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 直线 x = － 1 开口方向向下； 对称轴是直线 x =-1; 顶点坐标是 (-1,-1) 试一试 画出函数 y = 2 （ x +1 ） 2 -2 图像，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点 . 开口方向向下； 对称轴是直线 x =-1; 顶点坐标是 (-1,-2) -2 2 x y O -2 4 6 8 -4 2 4 知识要点 二次函数 y = a （ x - h) 2 + k 的特点 a ＞ 0 时，开口 , 最 点是顶点 ; a ＜ 0 时，开口 , 最 点是顶点 ; 对称轴是 ， 顶点坐标是 . 向上 低 向下 高 直线 x = h ( h , k ) 顶点式 例 4. 已知二次函数 y ＝ a ( x － 1) 2 － c 的图像如图所示，则一次函数 y ＝ ax ＋ c 的大致图像可能是 ( ) 解析：根据二次函数开口向上则 a ＞ 0 ，根据－ c 是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出 c ＞ 0 ，故一次函数 y ＝ ax ＋ c 的大致图像经过第一、二、三象限．故选 A. 典例精析 A 例 5. 已知二次函数 y ＝ a ( x －1) 2 －4的图像经过点(3，0)． (1)求 a 的值； (2)若 A ( m ， y 1 )、 B ( m ＋ n ， y 2 )( n ＞0)是该函数图像上的两点，当 y 1 ＝ y 2 时，求 m 、 n 之间的数量关系． 解： (1) 将 (3 ， 0) 代入 y ＝ a ( x － 1) 2 － 4 ， 得 0 ＝ 4 a － 4 ，解得 a ＝ 1 ； (2) 方法一： 根据题意，得 y 1 ＝ ( m － 1) 2 － 4 ， y 2 ＝ ( m ＋ n － 1) 2 － 4 ， ∵ y 1 ＝ y 2 ， ∴( m － 1) 2 － 4 ＝ ( m ＋ n － 1) 2 － 4 ，即 ( m － 1) 2 ＝ ( m ＋ n － 1) 2 . ∵ n ＞ 0 ， ∴ m － 1 ＝－ ( m ＋ n － 1) ，化简，得 2 m ＋ n ＝ 2 ； 方法二： ∵ 函数 y ＝ ( x － 1) 2 － 4 的图像的对称轴是经过点 (1 ，－ 4) ，且平行于 y 轴的直线， ∴ m ＋ n － 1 ＝ 1 － m ，化简，得 2 m ＋ n ＝ 2. 方法总结： 已知函数图像上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式． 例 6 要修建一个圆形喷水池 , 在池中心竖直安装一根水管 . 在水管的顶端安装一个喷水头 , 使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1m 处达到最高 , 高度为 3m, 水柱落地处离池中心 3m, 水管应多长 ? C(3,0) B(1 ， 3) A x O y 1 2 3 1 2 3 解 : 如图建立直角坐标系 , 点 (1,3) 是图中这段抛物线的顶点 . 因此可设这段抛物线对应的函数是 ∵ 这段抛物线经过点 (3,0) ， ∴ 0= a (3 － 1) 2 ＋ 3. 解得 因此抛物线的解析式为 : y = a ( x － 1) 2 ＋ 3 (0≤ x ≤3). 当 x =0 时 , y =2.25. 答 : 水管长应为 2.25m. 3 4 a = － y = ( x － 1) 2 ＋ 3 (0≤ x ≤3) 3 4 － 向左平移 1 个单位 二次函数 y = a ( x - h ) 2 + k 与 y = ax 2 的关系 四 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 探究归纳 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 平移方法 1 向下平移 1 个单位 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 平移方法 2 向左平移 1 个单位 向下平移 1 个单位 二次函数 y = ax 2 与 y = a （ x - h ) 2 + k 的关系 可以看作互相平移得到的 . y = ax 2 y = ax 2 + k y = a ( x - h ) 2 y = a ( x - h ) 2 + k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 平移规律 简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减 . 二次项系数 a 不变 . 要点归纳 1. 请回答抛物线 y = 4( x － 3) 2 ＋ 7 由抛物线 y =4 x 2 怎样平移得到 ? 由抛物线向上平移 7 个单位再向右平移 3 个单位得到的 . 2. 如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐标是（ 4 ， -2 ），试求这个函数关系式 . 练一练 1. 把抛物线 y =- x 2 沿着 x 轴方向平移 3 个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 . 2. 二次函数 y =2( x - ) 2 图像的对称轴是直线 _______ ，顶点是 ________. 3 . 若（ - ， y 1 ）（ - ， y 2 ）（ ， y 3 ）为二次函数 y =( x -2) 2 图像上的三点，则 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系为 _______________. y =-( x +3) 2 或 y =-( x -3) 2 y 1 ＞ y 2 ＞ y 3 4. 指出下列函数图像的开口方向 , 对称轴和顶点坐标 . 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 直线 x = 3 ( 3 , 0 ) 直线 x = 2 直线 x = 1 向下 向上 (2 , 0 ) ( 1 , 0) 5. 在同一坐标系中，画出函数 y ＝ 2 x 2 与 y ＝ 2( x -2) 2 的图像，分别指出两个图像之间的相互关系． 解：图像如图 . 函数 y =2( x -2) 2 的图像由函数 y =2 x 2 的图像向右平移 2 个单位得到 . y O x y = 2 x 2 2 6. 已知一个二次函数图像的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x 2 平移得到，请直接写出该二次函数的解析式 . y=a(x-h) 2 +k 课堂小结 二次函数 y = a ( x - h ) 2 的图像及性质 图像性质 对称轴是直线 x = h ; 顶点坐标是（ h ,0) a 的符号决定开口方向 . 左右平移 平移规律： 括号内：左加右减；括号外不变 . 一般地，抛物线 y = a ( x - h ) 2 + k 与 y = ax 2 形状相同，位置不同 . 二次函数 y = a ( x - h ) 2 + k 的图像和性质 图像特点 当 a >0,
开口向上；当
a
0
a
h
时，
y
随着
x
的增大而减小
.
x
=
h
时
,
y
最小
=
k
x
=
h
时
,
y
最大
=
k
抛物线
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
可以看作是由抛物线
y
=
ax
2
经过平移得到的
.
顶点坐标
对称轴
最值
y
=-2
x
2
y
=-2
x
2
-5
y
=-2(
x
+2)
2
y
=-2(
x
+2)
2
-4
y
=(
x
-4)
2
+3
y
=-
x
2
+
2
x
y
=3
x
2
+
x
-6
(0,0)
y
轴
0
(0,-5)
y
轴
-5
(-2,0)
直线
x
=-2
0
(-2,-4)
直线
x
=-2
-4
(4,3)
直线
x
=4
3
?
?
?
?
?
?
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的图像和性质
一
探究归纳
我们
已经
知道
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
的图像和性质，能否利用这些知识来讨论 的图像和性质？
问题
1
怎样将 化成
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
的形式？
配方可得
想一想：配方的方法及步骤是什么？
配方
你知道是怎样配方的吗？
(1)“
提”：提出二次项系数；
(
2
)
“
配”：括号内配成完全平方；
(
3
)“化”：化成顶点式.
提示
:
配方后的表达式通常称为
配方式
或
顶点式
.
问题
2
你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？
答：对称轴是直线
x
=6,
顶点坐标是（
6
，
3
）
.
问题
3
二次函数
可以看作是由 怎样平移得到的？
答：平移方法
1
：
先向上平移
3
个单位，再向右平移
6
个单位得到的；
平移方法
2
：
先向右平移
6
个单位，再向上平移
3
个单位得到的
.
问题
4
如何用描点法画二次函数
的图像？
…
…
…
…
9
8
7
6
5
4
3
x
解
:
先利用图形的对称性列表
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
5
10
x
y
5
10
O
然后描点画图，得到图像如图
.
问题
5
结合
二次函数
的图像，说出其性质
.
5
10
x
y
5
10
x
=6
当
x
6
时，
y
随
x
的增大而增大
.
O
例
1
画出函数 的图像，并说明这个函数具有哪些性质
.
x
···
-2
-1
0
1
2
3
4
···
y
···
···
-6.5
-4
-2.5
-2
-2.5
-4
-6.5
解
:
函数 通过配方可得 ，
先列表：
典例精析
2
x
y
-2
0
4
-2
-4
-4
-6
-8
然后描点、连线，得到图像如下图
.
由图像可知，这个函数具有如下性质：
当
x
＜
1
时，函数值
y
随
x
的增大而增大；
当
x
＞
1
时，函数值
y
随
x
的增大而减小；
当
x
=1
时，函数取得最大值，最大值
y
=-2.
求二次函数
y
=2
x
2
-8
x
+7
图像的对称轴和顶点坐标
.
因此，二次函数
y
=2
x
2
-8
x
+7
图像的对称轴是直线
x=
2
，顶点坐标为
(2,-1).
解：
练一练
将一般式
y
=
ax
2
+
bx
+
c
化成顶点式
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
二
我们如何用配方法将一般式
y
=
ax
2
+
bx
+
c
（
a
≠0)
化成顶点式
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
？
y
=
ax
²
+
bx
+
c
归纳总结
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的图像和性质
1.
一般地，
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的
可以通过配方化成
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
的形式，即
因此，抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的顶点坐标是：
对称轴是：直线
归纳总结
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的图像和性质
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
如果
a
>0,
当
x
< 时， y 随 x 的增大而减小；当 x >
时，
y
随
x
的增大而增大
.
如果
a
时，
y
随
x
的增大而减小
.
例
2
已知二次函数
y
=
－
x
2
＋2
bx
＋
c
，当
x
＞1
时，
y
的值随
x
值的增大而减小，则实数
b
的取值范围是（ ）
A
．
b
≥
－
1 B
．
b
≤
－
1
C
．
b
≥1
D
．
b
≤1
解析：
∵
二次项系数为－1
＜
0
，∴
抛物线开口向下，在对称轴右侧，
y
的值随
x
值的增大而减小，由题设可知，当
x
＞1
时，
y
的值随
x
值的增大而减小，
∴
抛物线
y
=
－
x
2
＋2
bx
＋
c
的对称轴应在直线
x
=1
的左侧而抛物线
y
=
－
x
2
＋2
bx
＋
c
的对称轴 ，即
b
≤1
，故选
D .
D
填一填
顶点坐标
对称轴
最值
y
=-
x
2
+
2
x
y
=-2
x
2
-
1
y
=
9
x
2
+
6
x
-5
(
1
,
3
)
x
=1
最大值
1
(0,-
1
)
y
轴
最大值
-1
最小值
-6
(
,
-6
)
直线
x
=
二次函数字母系数与图像的关系
三
合作探究
问题
1
一次函数
y
=
kx
+
b
的图像如下图所示，请根据一次函数图像的性质填空：
x
y
O
y
=
k
1
x
+
b
1
x
y
O
y
=
k
2
x
+
b
2
y
=
k
3
x
+
b
3
k
1
___ 0
b
1
___ 0
k
2
___ 0
b
2
___ 0
＞
＞
＜
＜
k
3
___ 0
b
3
___ 0
＜
＞
x
y
O
问题
2
二次函数 的图像如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
a
1
___ 0
b
1
___ 0
c
1
___ 0
a
2
___ 0
b
2
___ 0
c
2
___ 0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
开口向上，
a
＞
0
对称轴在
y
轴左侧，
x
＜
0
对称轴在
y
轴右侧，
x
＞
0
x
=0
时
，
y
=
c
.
x
y
O
a
3
___ 0
b
3
___ 0
c
3
___ 0
a
4
___ 0
b
4
___ 0
c
4
___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
开口向下，
a
＜
0
对称轴是
y
轴，
x=
0
对称轴在
y
轴右侧，
x
＞
0
x
=0
时
，
y
=
c
.
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的图像与
a
、
b
、
c
的关系
字母符号
图像的特征
a
＞
0
开口
_____________________
a
＜
0
开口
_____________________
b=
0
对称轴为
_____
轴
a
、
b
同号
对称轴在
y
轴的
____
侧
a
、
b
异号
对称轴在
y
轴的
____
侧
c=
0
经过原点
c
＞
0
与
y
轴交于
_____
半轴
c
＜
0
与
y
轴交于
_____
半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
知识要点
例
3
已知二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
的图像如图所示，下列结论：
①
abc
＞
0
；
②2
a
－
b
＜
0
；
③4
a
－
2
b
＋
c
＜
0
；
④
(
a
＋
c
)
2
＜
b
2
.
其中正确的个数是
(
)
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
D
由图像上横坐标为
x
＝－
2
的点在第三象限可得
4
a
－
2
b
＋
c
＜
0
，故
③
正确；
由图像上
x
＝
1
的点在第四象限得
a
＋
b
＋
c
＜
0
，由图像上
x
＝－
1
的点在第二象限得出
a
－
b
＋
c
＞
0
，则
(
a
＋
b
＋
c
)(
a
－
b
＋
c
)
＜
0
，即
(
a
＋
c
)
2
－
b
2
＜
0
，可得
(
a
＋
c
)
2
＜
b
2
，故
④
正确．
【解析】
由图像开口向下可得
a
＜
0
，由对称轴在
y
轴左侧可得
b
＜
0
，由图像与
y
轴交于正半轴可得
c
＞
0
，则
abc
＞
0
，故
①
正确；
由对称轴
x
>
－
1
可得
2
a
－
b
＜
0
，故
②
正确；
练一练
二次函数
的图像如图，反比例函数 与正比例函数 在同一坐标系内的大致图像是（ ）
解析：由二次函数的图像得知：
a
＜
0
，
b
＞
0.
故反比例函数的图像在二、四象限，正比例函数的图像经过一、三象限
.
即正确答案是
C.
C
1.
已知二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的
x
、
y
的部分对应值如下表：
x
-1
0
1
2
3
y
5
1
-1
-1
1
A
.y
轴
B.
直线
x
=
C.
直线
x
=2 D.
直线
x
=
则该二次函数图像的对称轴为
( )
D
O
y
x
–1
–2
3
2.
已知二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
≠0)
的图像如图所示，则下列结论：
（
1
）
a
、
b
同号；
（
2
）当
x
=–1
和
x
=3
时，函数值相等；
（
3
）
4
a
+
b
=0
；
（
4
）当
y
=–2
时，
x
的值只能取
0
；
其中正确的是
.
直线
x
=1
（
2
）
3.
如图是二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a≠
0)图像的一部分，
x
=-1是对称轴，有下列判断：①
b
-2
a
=0；②4
a
-2
b
+
c
y
2
.其中正确的是（ ）
A
．①②③
B
．①③④
C
．①②④
D
．②③④
x
y
O
2
x
=-1
B
4.
根据公式确定下列二次函数图像的对称轴和顶点坐标：
直线
x
=3
直线
x
=8
直线
x
=1.25
直线
x
= 0.5
课堂小结
顶点：
对称轴：
y
=
ax
2
+
bx
+
c
（
a
≠0)
(
一般式
)
配方法
公式
法
(
顶点式
)
第三十章 二次函数
30.3
由不共线三点的坐标确定二次函数*
学习目标
1.
会用待定系数法求二次函数的表达式
.(
难点）
2.
会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题
.
（重点）
复习引入
1.一次函数
y
=
kx
+
b
(
k
≠0)
有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
2个
2个
待定系数法
(
1
)
设：（表达式）
(
2
)
代：（坐标代入）
(
3
)
解：方程（组）
(
4
)
还原：（写表达式）
特殊条件的二次函数的表达式
一
典例精析
例
1.
已知二次函数
y
＝
ax
2
＋
c
的图象经过点
(2,3)
和
(
－
1,
－
3)
，求这个二次函数的表达式．
解
:∵
该图象经过点（
2,3
）和
(
－
1,
－
3
)
，
3=4
a
+
c
，
－
3
=
a
+
c
，
∴
所求二次函数表达式为
y
=
2
x
2
－
5.
∴
a
=2
，
c
=
－
5.
解得
关于
y
轴对称
1.
已知二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
的图象经过点
(
－
2
，
8)
和
(
－
1
，
5)
，求这个二次函数的表达式．
解
:∵
该图象经过点（
-2,8
）和（
-1,5
），
做一做
图象经过原点
8=4a-2b
，
5=a-b
，
∴
解得
a=-1,b=-6.
∴ y=-x
2
-6x.
顶点法求二次函数的表达式
二
选取顶点（
-2
，
1
）和点（
1
，
-8
），试求出这个二次函数的表达式
.
解：设这个二次函数的表达式是
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
,把顶点（-2，1）代入
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
得
y
=
a
(
x
+2)
2
+1，
再把点（1，-8）代入上式得
a
(1+2)
2
+1=-8，
解得
a
=-1
.
∴所求的二次函数的表达式是
y
=-(
x
+2)
2
+1或y=-
x
2
-4
x
-3.
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做
顶点法
.
其步骤是：
①
设函数表达式是y=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
；
②先代入顶点坐标，得到关于
a
的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出
a
值；
④
a
用数值换掉，写出函数表达式
.
例
2
一个二次函数的图象经点
(0, 1)
，它的顶点坐标为
(8,9)
，求这个二次函数的表达式
.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为
(8,9)
，因此，可以设函数表达式为
y
=
a
(
x
-8
)
2
+
9.
又由于它的图象经过点
(0 ,1)
，可得
0
=
a
(
0-8
)
2
+
9.
解得
∴所求的二次函数的解析式是
解：
∵
（-3，0）（-1，0）是抛物线
y
=
ax
2
+bx+c
与
x
轴的交点
.
所以可设这个二次函数的表达式是
y
=
a
(
x
-
x
1
)(
x
-
x
2
).(其中
x
1
、
x
2
为交点的横坐标
.
因此得
y
=
a
(
x
+3)(
x
+1)
.
再把点
（0，-3）
代入上式得
∴
a
(0+3)(0+1)=-3，
解得
a
=-1，
∴所求的二次函数的表达式是
y
=-(
x
+3)(
x
+1),即
y
=-
x
2
-4
x
-3.
选取（
-3
，
0
），（
-1
，
0
），（0，
-3
），试出这个二次函数的表达式
.
交点法求二次函数的表达式
三
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
归纳总结
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与
x
轴的交点，求表达式的方法叫做
交点法
.
其步骤是：
①
设函数表达式是
y
=
a
(
x
-
x
1
)(
x
-
x
2
)；
②先把两交点的横坐标
x
1
,
x
2
代入到表达式中，得到关于
a
的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出
a
值；
④
a
用数值换掉，写出函数表达式
.
想一想
确定二次函数的这三点应满足什么条件？
任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于
x
轴，但不可以平行于
y
轴
.
一般式法二次函数的表达式
四
探究归纳
问题
1
（
1
）二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
≠0)
中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个
3个
（
2
）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：
x
-3
-2
-1
0
1
2
y
0
1
0
-3
-8
-15
解： 设这个二次函数的表达式是y=
ax
2
+
bx
+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入
y
=
ax
2
+
bx
+
c
得
①选取（
-3
，
0
），（
-1
，
0
），（0，
-3
），试求出这个二次函数的表达式
.
9
a
-3
b
+
c
=0，
a
-
b
+
c
=0，
c
=-3，
解得
a
=-1，
b
=-4，
c
=-3
.
∴所求的二次函数的表达式是
y
=-
x
2
-4
x
-3.
待定系数法
步骤：
1
.
设：
（表达式）
2
.
代：
（坐标代入）
3
.
解：
方程（组）
4
.
还原：
（写解析式）
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做
一般式法
.
其步骤是：
①
设函数表达式为
y
=
ax
2
+
bx
+
c
；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到
a
,
b
,
c
的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式
.
归纳总结
一般式法求二次函数表达式的方法
例
3
一个二次函数的图象经过
(0, 1)
、
(2,4)
、
(3,10)
三点，求这个二次函数的表达式
.
解： 设这个二次函数的表达式是y=
ax
2
+
bx
+c,由于这个函数经过点
(0, 1)
，可得
c
=1.
又由于其图象经过
(2,4)
、
(3,10)
两点，可得
4
a
+
2
b
+
1
=
4
，
9
a
+
3
b
+
1
=
1
0，
解这个方程组，得
∴所求的二次函数的表达式是
1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是
.
y
=
ax
2
与
y
=
ax
2
+
k
、
y
=
a
(
x
-
h
)
2
、
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式
.
注意
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
3
2
1
-1
3
4
5
2.过点（2，4），且当
x
=1时，
y
有最值为6，则其表达式
是
.
顶点坐标是（1，6）
y
=-2(
x
-1)
2
+6
3.
已知二次函数的图象经过点
(
－
1
，－
5)
，
(0
，－
4)
和
(1
，
1)
．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
．
依题意得
∴
这个二次函数的表达式为
y
＝
2
x
2
＋
3
x
－
4.
a
＋
b
＋
c
＝
1
，
c
＝－
4
，
a-b
＋
c
＝
-5
，
解得
b
＝
3
，
c
＝－
4
，
a
＝
2
，
4.
已知抛物线与
x
轴相交于点
A
(
－
1
，
0)
，
B
(1
，
0)
，且过点
M
(0
，
1)
，求此函数的表达式．
解：因为点
A
(
－
1
，
0)
，
B
(1
，
0)
是图象与
x
轴的交点，所以设二次函数的表达式为
y
＝
a
(
x
＋
1)(
x
－
1)
．
又因为抛物线过点
M
(0
，
1)
，
所以
1
＝
a
(0
＋
1)(0
－
1)
，解得
a
＝－
1
，
所以所求抛物线的表达式为
y
＝－
(
x
＋
1)(
x
－
1)
，
即
y
＝－
x
2
＋
1.
5.
如图，抛物线
y
＝
x
2
＋
bx
＋
c
过点
A
(
－
4
，－
3)
，与
y
轴交于点
B
，对称轴是
x
＝－
3
，请解答下列问题：
(1)
求抛物线的表达式；
解：
(1)
把点
A
(
－
4
，－
3)
代入
y
＝
x
2
＋
bx
＋
c
得
16
－
4
b
＋
c
＝－
3
，
c
－
4
b
＝－
19.
∵
对称轴是
x
＝－
3
，
∴
＝－
3
，
∴
b
＝
6
，
∴
c
＝
5
，
∴
抛物线的表达式是
y
＝
x
2
＋
6
x
＋
5
；
(2)
若和
x
轴平行的直线与抛物线交于
C
，
D
两点，点
C
在对称轴左侧，且
CD
＝
8
，求
△
BCD
的面积．
(2)∵
CD
∥
x
轴，
∴
点
C
与点
D
关于
x
＝－
3
对称．
∵
点
C
在对称轴左侧，且
CD
＝
8
，
∴
点
C
的横坐标为－
7
，
∴
点
C
的纵坐标为
(
－
7)
2
＋
6×(
－
7)
＋
5
＝
12.
∵
点
B
的坐标为
(0
，
5)
，
∴△
BCD
中
CD
边上的高为
12
－
5
＝
7
，
∴△
BCD
的面积＝
×8×7
＝
28.
课堂小结
①已知三点坐标
②已知顶点坐标或对称轴或最值
③已知抛物线与x轴的两个交点
已知条件
所选方法
用一般式法：
y
=
ax
2
+
bx
+
c
用顶点法：
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
用交点法：
y
=
a
(
x
-
x
1
)(
x
-
x
2
)
(
x
1
,
x
2
为交点的横坐标）
待定系数法
求二次函数解析式
第三十章 二次函数
30.4
二次函数的应用
-2
0
2
4
6
2
-4
x
y
⑴
若－
3≤
x
≤3
，该函数的最大值、最小值分别为
.
⑵
又若
0≤
x
≤3
，该函数的最大值、最小值分别为
求函数的最值问题，应注意什么
?
2
、图中所示的二次函数图像的解析式为：
1
、求下列二次函数的最大值或最小值：
⑴
y=
－
x
2
＋
2x
－
3; ⑵ y=x
2
＋
4x
已知有一张边长为
10cm
的正三角形纸板，若要从中剪一个面积最大的矩形纸板，应怎样剪？最大面积为多少？
A
B
C
D
E
F
K
探究活动
某商品现在的售价为每件
60
元，每星期可卖出
300
件，市场调查反映：每涨价
1
元，每星期少卖出
10
件；每降价
1
元，每星期可多卖出
18
件，已知商品的进价为每件
40
元，如何定价才能使利润最大？
来到商场
请大家带着以下几个问题读题
（
1
）题目中有几种调整价格的方法？
（
2
）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？
分析
:
调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价
x
元，则每星期售出商品的利润
y
也随之变化，我们先来确定
y
与
x
的函数关系式。涨价
x
元时则每星期少卖
件，实际卖出
件
,
每件利润为
元，因此，所得利润
为
元
.
10x
(300-10x)
(60+x -40 )
y=(60+x-40)(300-10x)
即
(0≤X≤30)
(0≤X≤30)
可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说当
x
取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值。由公式可以求出顶点的横坐标
.
所以，当定价为
65
元时，利润最大，最大利润为
6250
元
在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考
（
1
）
的过程得出答案。
解：设降价
x
元时利润最大，则每星期可多卖
18x
件，实际卖出（
300+18x)
件，每件利润为
(60-x-40)
元，因此，所得利润为
:
答：定价为 元时，利润最大，最大利润为
6050
元
(0≤x≤20)
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤
:
求出函数解析式和自变量的取值范围
配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
检查求
得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内 。
解这类题目的一般步骤
有一经销商，按市场价收购了一种活蟹
1000
千克，放养在塘内，此时市场价为每千克
30
元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天可上升
1
元，但是，放养一天需各种费用支出
400
元，且平均每天还有
10
千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克
20
元（放养期间蟹的重量不变）
.
⑴
设
x
天后每千克活蟹市场价为
P
元，写出
P
关于
x
的函数关系式
.
⑵
如果放养
x
天将活蟹一次性出售，并记
1000
千克蟹的销售总额为
Q
元，写出
Q
关于
x
的函数关系式。
⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，（利润
=
销售总额
-
收购成本
-
费用）？最大利润是多少？
解：①由题意知
:P=30+x.
②
由题意知：死蟹的销售额为
200x
元，活蟹的销售额为（
30+x
）（
1000-10x)
元。
∴Q=(30+x)(1000-10x)+200x=
③
设总利润为
W=Q-30000-400x=
=
∴
当
x=25
时，总利润最大，最大利润为
6 250
元。
x(
元
)
15
20
30
…
y(
件
)
25
20
10
…
若日销售量
y
是销售价
x
的一次函数。 （
1
）求出日销售量
y
（件）与销售价
x
（
元）的函数关系式；（
6
分） （
2
）要使每日的销售利润
最大
，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？（
6
分）
某产品每件成本
10
元，试销阶段每件产品的销售价
x
（元）与产品的日销售量
y
（件）之间的关系如下表：
中考题选练
（
2
）设每件产品的销售价应定为
x
元，所获销售利润为
w
元。则
产品的销售价应定为
25
元，此时每日获得最大销售利润为
225
元。
则
解得：
k=
－
1
，
b
＝
40
。
1
分
5
分
6
分
7
分
10
分
12
分
（
1
）设此一次函数解析式为 。
所以一次函数解析为 。
设旅行团人数为
x
人
,
营业额为
y
元
,
则
旅行社何时营业额最大
1.
某旅行社组团去外地旅游
,30
人起组团
,
每人单价
800
元
.
旅行社对超过
30
人的团给予优惠
,
即旅行团每增加一人
,
每人的单价就降低
10
元
.
你能帮助分析一下
,
当旅行团的人数是多少时
,
旅行社可以获得最大营业额？
某
宾馆有
50
个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天
180
元时，房间会全部住满。当每个房间每天的定价每增加
10
元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出
20
元的各种费用
.
房价定为多少时，宾馆利润最大？
解：设每个房间每天增加
x
元，宾馆的利润为
y
元
y=(50-x/10)(180+x)-20(50-x/10)
y=-1/10x2+34x+8000
1.
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出
20
件，每件盈利
40
元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价
1
元，商场平均每天可多售出
2
件。
（
1
）若商场平均每天要盈利
1200
元，每件衬衫应降价多少元？
（
2
）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
销售问题
2.
某商场以每件
42
元的价钱购进一种服装，根据试销得知这种服装每天的销售量
t
（件）与每件的销售价
x
（元
/
件）可看成是一次函数关系：
t
＝－
3x
＋
204
。
（
1
）写
出商场卖这种服装每天销售利
润
y
（元）与每件的销售价
x
（元）间的
函数
关系式；
（
2
）通过
对所得函数关系式进行配方，指出 商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大利润为多少？
某个商店的老板，他最近进了价格为
30
元的书包。起初以
40
元每个售出，平均每个月能售出
200
个。后来，根据市场调查发现：这种书包的售价每上涨
1
元，每个月就少卖出
10
个。现在请你帮帮他，
如何定价才使他的利润达到
2160
元
？
y
x
o
第二课时 用待定系数法求二次函数的表达式
解：设
y=ax
2
+bx+c
（
a
≠
0
）
c=2
a+b+c=0
4a-2b+c=3
解得
a=-1/2
b=-3/2
c=
２
∴y=-1/2 x
2
- 3/2 x+2
已知一个
二次函数
的图象过点（
0,2
），（
1,0
），（
-2,3
）三点，求这个函数的表达式
.
（
0,2
）（
1,0
） （
-2,3
）
1.
设
2.
找
3.
列
4.
解
5.
写
6.
查
（
三元一次方程组
）
（
三点
）
（一般形式）
y=ax
2
+bx+c
（消元）
（回代
)
小组讨论合作探究
一般式
的
基本步骤
.
当自变量
x= 0
时函数值
y=-2
，当自变量
x= -1
时，函数值
y= -1
，当自变量
x=1
时，函数值
y= 1,
求这个
二次函数
的表达式
.
解：设
y=ax
2
+bx+c
（
a
≠
0
）
（
0,-2
）（
-1,-1
） （
1,1
）
c=-2
a-b+c=-1
a+b+c=3
解得
a=2
，
b=1
，
c=-
２
∴
y=2x
2
+x-2
解：
设
y=a(x
＋
1
)
2
-3
已知抛物线的
顶点
为
（－
1
，
－
3
），与
x
轴
交点为（
-5
，
0
）求抛物线的解析式？
y
o
x
( 0,-5 )
-5=a-3
a=-2
y=
－
2(x
＋
1)
2
-3
即：
y=
－
2x
2
-4x
－
5
y=-2
（
x
2
＋
2x
＋
1
）
-3
顶点式
1.
设
y=a(x-h)
2
+k
2.
找
（
一
点
）
3.
列
（
一元一次方程
）
4.
解
（消元）
5.
写
（一般形式）
6.
查
（回代
)
一般式
1.
设
y=ax
2
+bx+c
2.
找
（
三
点
）
3.
列
（
三元一次方程组
）
4.
解
（消元）
5.
写
（一般形式）
6.
查
（回代
)
寻找规律
已知顶点坐标，如何设二次函数的表达式？
1
）顶点（
1
，
-2
） 设
y= a(x )
2
2)
顶点（
-1
，
2
） 设
y= a(x )
2
3
）顶点（
-1
，
-2
） 设
y= a(x )
2
4
）顶点 （
h
,
k
） 设
y= a(x )
2
-1
-2
+1
+2
+1
-2
- h
+ k
1.
某抛物线是将抛物线
y=ax
2
向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度
得到的，且抛物线过点（
3,-3
），求该抛物线表达式。
顶点坐标（
1
，
1
）设
y=a(x-1)
2
+1
2.
已知二次函数的
对称轴是直线
x=1
，图像上最低点
P
的纵坐标为
-8
，
图像还过点
(-2,10)
，求此函数的表达式。
顶点坐标（
1
，
-8
）设
y=a(x-1)
2
-8
3.
已知二次函数的图象与
x
轴两交点间的距离为
4
，且当
x=1
时，函数有最小值
-4
，
求此表达式。
顶点坐标（
1
，
-4
）设
y=a(x-1)
2
-4
4.
某抛物线与
x
轴两交点的横坐标为
2
，
6
，且函数的最大值为
2
，
求函数的表达式。
顶点坐标（
4
，
2
）设
y=a(x-4)
2
+2
抛物线的图象经过（
2
，
0)
与（
6
，
0
）两点，其顶点的纵坐标是
2
，求它的函数关系式
解：由题意得
x=
∴
顶点坐标为（
4
，
2
）
设
y=a(x-4)
2
+2
0=4a+2
a=-1/2
∴y =- 1/2 (x-4)
2
+2
y =- 1/2 x
2
+4x-6
1
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为
16m
，跨度为
40m
．现把它的图形放在坐标系里
(
如图所示
)
，求抛物线的解析式．
解：由题意得
x= 40/2 =20
∴
顶点坐标为（
20
，
16
）
设
y=a(x-20)
2
+16
0=400a+16
a=- 1/25
∴y =- 1/25 (x-20)
2
+16
y =-1/25x
2
+ 8/5 x
今天我们学到了什么？
求二次函数解析式的一般方法：
.
已知图象上
三点
坐标，通常选择
一般式
。
.
已知图象的
顶点
坐标（对称轴或最值），通常选择
顶点式
。
确定二次函数的解析式的
关键
是根据条件的特点，
恰当
地选择一种函数表达式
，灵活应用。
二、求二次函数解析式的
思想方法
1
、求二次函数解析式的
常用方法
：
2
、求二次函数解析式的
常用思想
：
3
、二次函数解析式的最终形式：
一般式
转化思想
解方程或方程组
无论采用哪一种表达式求解，最后结果都化为
一般形式
。
顶点式
数形结合思想
第三十章 二次函数
30.5
二次函数与一元二次方程的关系
问题
1
：如图，以
40m/s
的速度将小球沿与地面成
30
0
角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行
h
（单位：
m
）与飞行时间
t
（单位：
s
）之间具有关系：
h=20t-5t
2
，考虑以下问题：
（
1
）球的飞行高度能否达到
15m
？如果能，需要多少飞行时间？
（
1
）球的飞行高度能否达到
15m
？如果能，需要多少飞行时间？
你能结合图形指出
为什么在两个时间
球的高度为
15m
？
O
h
t
15
1
3
?
（
2
）球的飞行高度能否达到
20m
？如果能，需要多少飞行时间？
你能结合图形指出
为什么只在一个时间
球的高度为
20m
？
?
（
2
）球的飞行高度能否达到
20m
？如果能，需要多少飞行时间？
你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为
20m
？
O
h
t
20
4
?
（
3
）球的飞行高度能否达到
20.5m
？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
你能结合图形指出为什么球不能达到
20.5m
的高度
?
20.5
?
（
4
）球从飞出到落地要用多少时间？
你能结合图形指出
为什么在两个时间球的高度为
0m
吗
?
O
h
t
?
例如
,
已知二次函数
y=-X
2
+4x
的值为
3,
求自变量
x
的值
.
就是求方程
3=-X
2
+4x
的解
,
例如
,
解方程
X
2
-4x+3=0
就是已知二次函数
y=X
2
-4x+3
的值为
0,
求自变量
x
的值
.
观察
:
下列二次函数的图
象与
x
轴有公共点吗
?
如
果有
,
公共点横坐标是多
少
?
当
x
取公共点的横坐
标时
,
函数的值是多少
?
由此
,
你得出相应的一
元二次方程的解吗
?
(1)y=x
2
+x-2
(2)y=x
2
-6x+9
(3)y=x
2
-x+1
二次函数
y=ax
2
+bx+c
的图象和
x
轴交点的
横坐标
与一元二次方程
ax
2
+bx+c=0
的
根
有什么关系
?
例
方法
: (1)
先作出图象
;
(2)
写出交点的坐标
;
(3)
得出方程的解
.
利用二次函数的图象求方程
x
2
-x-3=0
的实数根（精确到
0.1
）
.
-1
3
y
x
2
O
Y=x
2
-x-3
?
试一试
C
A
?
4.
根据下列表格的对应值
:
判断方程
ax
2
+bx+c=0 (a≠0,a,b,c
为常数
)
一个解
x
的范围是
( )
A.3< X < 3.23 B.3.23 < X < 3.24 C.3.24
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