资料简介
第二十章 函数
20.1 常量和变量
1.圆的面积公式为 , 取 的一些不同的值, 算出
相应的 的值:
2S r r
S
2_____S cm___r cm
2_____S cm___r cm
2_____S cm___r cm
3
2
___r cm 2_____S cm
3
2
5
9
4
9
4
在计算半径不同的圆的面积的过程中,哪些量在改变,哪
些量是不变的?
5
2.小胡在勤工俭学活动中去当钟点工, 工资标准为6元/时,
设他工作时数为t时,应得工资额为 m元, 则 m=6t.
t =_____时 m =______元
m =______元
m =______元
t =_____时
t =_____时
取一些不同的t的值,求出相应的m的值:
在根据不同的工作时数计算小明应得工资额的过程
中,哪些量在改变,哪些量不变?
305
3
2
18
12
1.在一个变化过程中,数值保持不变的量称为常量.
指出上述两题中哪些是常量?
2.在一个变化过程中,可以取不同的数值的量称为变量.
指出上述两题中哪些是变量?
2S r m=6t
（1）汽车以50千米/时的速度行驶，用t时表示行驶的时间，
s千米表示行驶路程，其中常量是 ，变量
是 .
50千米/时
t时， s千米
s
V，t
结论：常量和变量是对某一变化过程来说，不是绝对的
是相对的.常量不一定是具体的数，也有用字母表示的.
若V一定呢？
（2）在行程问题中，s=vt，s一定时，常量是 ，变量
是 .
E
D CB
A
1. 如图,在△ ABC中,点E是高线AD上的一个动点,
连结BE、CE,点E 在AD上移动的过程中, 哪些量
是常量?哪些量是变量?
2.某水果店橘子的单价为 2.5元/千克,记买 k 千克橘子的总
价为 y 元.请说出其中的变量和常量.
3.某市居民用电的单价是0. 53元/千瓦时.居民生活用电 x
(千瓦时)与应付电费y(元)之间有关系式 y= 0.53 x .请说出
其中的常量和变量.
4.三角形的一边长为7cm,它的面积为S(cm2),这边上高为
h(cm)的关系式是 ，其中常量是_____,变量是
______.
7
2S h
S, h
7
2
5.圆的周长C与半径 r 的关系式是______,常量是
______,变量是______.
2C r
2 ,C r
6. 体育课上,在 400m跑步测试中,同学所花的时间 t (秒)
与平均速度v(米/秒)的关系式中,常量是______,变量是
____________________ .
400m
时间 t (秒), 平均速v(米/秒)
第二十章 函数
20.2 函数
学 习 新 知问题思考
高速行驶的列车的行驶里程随着行驶时间而变化.
气象站自动温度记录仪描述的某一天的温度曲线,气温
随时间的变化而变化.
函数就是研究一些量之间确定
性依赖关系的数学模型.
活动1 整体感知——“观察与思考”
思考并解决下列问题:
(1)下表是欣欣报亭上半年的纯收入情况:
根据这个表格你能说出1~6月,每个月的纯收入吗?
(2)如图是某市冬季某天的气温变化图.
观察这个气温变化图,你能找到凌晨3时、上午9时和下
午16时对应的温度吗?你能得到这天24小时内任意时刻
对应的温度吗?
(3)我们曾做过“对折纸”的游戏:取一张纸,第1次对
折,1页纸折为2层;第2次对折,2层纸折为4层;第3次对
折,4层纸折为8层……用n表示对折的次数,p表示对折
后的层数,请写出用n表示p的表达式.根据写出的表达
式,是否可以得出任意次对折后的层数?
【思考】
(1)在问题(1)中有几个变量?随着月份T的变化,纯
收入S怎样变化?
(2)在问题(2)中有几个变量?有怎样的变化规律?
(3)在问题(3)中有几个变量?当n每取一个值时,p是
否都有唯一的值?
(1)有两个变量,月份对应一个值,纯收入也有一个值和它
对应;(2)有两个变量,温度随时间的变化而变化;(3)有两
个变量,n每取一个值时,p都有唯一的值与之对应.
思考：在上述三个问题中,分别指出其中的变量,并说明
在同一个问题中,当其中一个量变化时,另一个量是否也
在相应地变化,当其中一个量取定一个值时,另一个量是
否也相应地取定一个值.
三个实例中的两个变量之间分别具有相互依赖关系,当
其中一个变量变化时,另一个变量也相应地变化,并且当
其中一个变量取定一个值时,另一个变量也相应地取定
一个值.
说明:一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和y.如果
给定x的一个值,就能相应地确定y的一个值,那么,我们
就说y是x的函数.其中,x叫做自变量.
(1)“自变量”是指在它的取值范围内可以随心所欲地、
自由自在地取它想取的值.
(2)“函数”中的“函”是相关的意思,是指这两个变量
间有相关的关系.每一个自变量的函数值是唯一被确定
的.
[知识拓展] (1)函数不是数,函数的本质是对应,函数关系就
是变量之间的对应关系,且是一种特殊的对应关系,必须是
“对于x的每一个值,y都有唯一确定的值和它对应”.例如，
“一个数与它的绝对值”,若一个数用x表示,它的绝对值用
y表示,其中x可以取任意实数,即自变量的取值范围是全体
实数,对应关系是一个数与它的绝对值对应,一个数的绝对
值是这个数的函数.又如式子y=x2中,变量x每取一个值,y都
有唯一的值与之对应,所以y是x的函数；式子y2=x中,尽管x
与y之间有一种关系,但由于变量x在x>0的范围内每取一个
值,y都有两个确定的值与之对应,所以说y不是x的函数.
(2)自变量与函数用什么字母表示无关紧要,自变量可以
用x表示,也可以用t,u,p,…中的任何一个表示,函数可以用
y表示,也可以用t,u,p,…中的任何一个表示.
(3)在我们所研究的范围内,如果两个变量之间虽有一定的
关系,但它们之间存在“不唯一确定”的对应关系,也就是
说,这种关系不是“唯一确定”的关系,那么这两个变量之
间就不存在函数关系.
(4)函数的定义中指出“对于x的每一个值,y都有唯一确定
的值与之对应”,但对于自变量x的每一个不同的值,y不一
定都是不同的值与之对应.
活动2 知识深化——“大家谈谈”
请你谈谈:
1.如果y是x的函数，那么哪个量是自变量,哪个量是
自变量的函数?
2.在上面的“观察与思考”中，我们认识了用“数值
表、图像、表达式”三种方式分别表示的函数，请
你再用这三种方式各举一个表示函数关系的例子.
1.函数的定义:
一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和y.如果给定x
的一个值,就能相应地确定y的一个值,那么我们就说y是
x的函数.其中, x叫做自变量.
2.对于函数的理解:
(1)在某一个变化过程中有两个变量；
(2)一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发
生变化；
(3)自变量的每一个确定的值,函数有且只有一个值与之
对应,即单对应.
课堂小结
第二十章 函数
20.3 函数的表示
上节课我们学习了函数的概念，你能说出什么
叫做函数吗？
一般地， 在某个变化过程中，有两个变量x和y，
如果给定x的一个 值， 就能相应的确定y的一个值，
那么称y是x的函数．
新课导入
用平面直角坐标系中的
一个图象来表示的．
1.下图是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天
的温度曲线，气温T是不是时间t 的函数？
新课推进
像这样， 建立平面直角坐标系， 以自变量取的每一个值
为横坐标， 以相应的函数值（即因变量的对应值）为纵
坐标， 描出每一个点， 由所有这些点组成的图形称为这
个函数的图象,这种表示函数关系的方法称为图象法．
这里是怎样表示气温T与时间t之间的函数关系的？
是
2.正方形的面积S与边长x的取值如下表，S是不是x的函数？
这里是怎样表示正方形的面积S与边长x之间的函数关系的？
列表来表示的．
1 4 9 16 25 36 49
这样， 列一张表，第一行表示自变量取的各个值， 第
二行表示相应的函数值（即因变量的对应值），这种表
示函数关系的方法称为列表法．
是
3.某城市居民用的天然气，１m3收费2.88元，使用x（m3）
天然气应缴纳的费用y（元）为y = 2.88x． y是不是x 的
函数？
这里是怎样表示缴纳的天然气费y与所用天然气的体
积x的函数关系的？
用一个式子y＝2.88x来表示．
像这样，用式子表示函数关系的方法称为解析式法，
这样的式子称为函数的表达式．
是
函数的三种表示法：
y = 2.88x
图象法、列表法、解析式法．
1 4 9 16 25 36 49
用图象法、列表法、解析式法表示函数关系时各有什
么优点?
用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量
如何随着自变量而变化的；
用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变
量取的值与因变量的对应值；
用解析式法表示函数关系，可以方便地计算函数值．
S=x2这个函数可以用函数表达式的形式表示.
1 4 9 16 25 36 49
正方形的面积S与边长x的取值如下表，可知S是x的函数．
是不是所有的函数都
可以用函数表达式的
形式表示出来呢?
这些函数不能用函数表达式的形式表示
学号x 1 2 3 4 5 6 7 8
身高y 150 152 165 178 159 163 138 166
是不是所有的函数都
可以用函数表达式的
形式表示出来呢?
学号x 1 2 3 4 5 6 7 8
身高y 150 152 165 178 159 163 138 166
1.某班8名学生的身高y（单位：厘米）与学号x的函数
关系如下表：如下表：
2.一支铅笔2元，买x支铅笔所需的费用为y元，则y与x
的函数关系可表示为y=2x(x为正整数）.
典例解析
这里采用的是列表法
这里采用的是解析式法
3.下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气
质量指数y是日期x的函数.
这里采用的是图像法
4.用边长为１的等边三角形拼成如图的图形，用y 表示拼
成的图形的周长，用n表示其中等边三角形的数目，显然
拼成的图形的周长y是n的函数．
3 4 5 6 7 8 9 10
y=n+2(n为正整数)
.
.
.
.
.
. .
.
图象法
第二十章 函数
20.4 函数的初步应用
一、复习：
函数的表示方法有哪些？
表达式法、列表法、图像法
某中学的校办工厂现在年产值是150万元，计划今
后每年增加20万元，年产值y(万元)与年数x的函数表达
式是 ，10年后，产值将会达到 万元.
利用表达式解决实际问题
y=20x+150 350
例1.一个游泳池内有水300 m3，现打开排水管以每
小时25 m3的排出量排水.
（1）写出游泳池内剩余水量Q m3与排水时间th间的函
数关系式；
（2）写出自变量t的取值范围.
解：排水后的剩余水量Q m3是排水时间t的函数，
有Q=-25 t +300.
解：池中共有300 m3水，每小时排水25 m3，故
全部排完只需 300÷25=12（h），故自变量 t的
取值范围是0≤t≤12.
典例
精析
（3）开始排水后的第5h末，游泳池中还有多少水？
（4）当游泳池中还剩150 m3水时，已经排水多长时间？
解：当t=5，代入上式，得Q=-5×25+300=175（m3），
即第5h末池中还有水175 m3
解：当Q=150m3时，由150=-25 t +300，得t =6h，
即第6 h末池中有水150m3.
利用表格求函数关系式解决问题
情境引入
常用的温度计量标准有两种，一种
是摄氏温度(℃)，另一种是华氏温度(℉ ).
华氏温度与摄氏温度具有函数关系.
讲授新课 确定实际问题中的函数关系式一
已知摄氏温度值和华氏温度值有下表所示的对应关系：
摄氏温度/ºC 0 10 20 30 40 50
华氏温度/ºF 32 50 68 86 104 122
(1)当摄氏温度为30时，华氏温度为多少？
(2)当摄氏温度为36时，由数值表能直接看出华氏温度吗？
试写出这两种温度计量之间关系的函数表达式，并求摄氏
温度为36时的华氏温度；
(3)当华氏温度为140时，摄氏温度为多少？
合作探究
【分析】摄氏温度每升高10C,华氏温度升高18F，
摄氏温度每升高1C,华氏温度升高1.8F.
当摄氏温度为t时，比0C上升tC,华氏温度升高1.8t,摄氏
温度为0C的时候，华氏温度为32F
若设摄氏温度为t ºC，华氏温度为f ºF，则f =1.8t+32.
实际问题中的函数图象
例2.某天7时，小明从家骑自行车上学，途中因自行车发
生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学
校. 下图反映了他骑车的整个过程，结合图象，回答下列
问题：
（1）自行车发生故障是在什么时间？此时
离家有多远？
（2）修车花了多长时间？修好车后又花了
多长时间到达学校？
（3）小明从家到学校的平均速度是多少？
（1）自行车发生故障是在什么时间？此时离家有多远？
（1） 解：从横坐标可以看出，自行车发生故障的时间
是7:05； 从纵坐标可以看出，此时离家1000m.
（2）解：从横坐标可以看出，小明修车花了15 min；
小明修好车后又花了10 min到达学校.
（2）修车花了多长时间？修好车后又花了多长时间到
达学校？
（3）解：从纵坐标看出，小明家离学校2100 m；
从横坐标看出， 他在路上共花了30 min，
因此， 他从家到学校的平均速度是
2100 ÷ 30 = 70 （m/min）.
（3）小明从家到学校的平均速度是多少？
例3.如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关
系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根
据图意填空：
（1）当销售量为2吨时，销售收入＝ 元，
销售成本＝ 元；
2000
3000
x/ 吨
y/元
O 1 2 3 4 5 6
1000
4000
5000
2000
3000
6000 l1
l2
销售收入
销售成本
（2）当销售成本为5000元时，销量是 ，销售收
入＝ 元，利润是 .
6吨
6000
（3）当销售量为 时，销售收入等于销售成本；4吨
x/ 吨
y/元
O 1 2 3 4 5 6
1000
4000
5000
2000
3000
6000 l1 l2
销售收入
销售成本
1000元
x/ 吨
y/元
O 1 2 3 4 5 6
1000
4000
5000
2000
3000
6000 l1 l2
（4）当销售量 时，该公司赢利（收入大于成本）；
当销售量 时，该公司亏损（收入小于成本）.
大于4吨
小于4吨
销售收入
销售成本
2.分析已知（看已知的是自变量的值还是函数值），
通过做x轴或y轴的垂线，在图象上找到对应的点，由
点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值.
1.理解横、纵坐标分别表示的实际意义.
3.利用数形结合的思想：
将“数”转化为“形” ，由“形”定“数”.
思考：如何解答实际情景函数图象的信息？
1.甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（米）与赛跑时
间t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是（
）
A．甲、乙两人的速度相同
B．甲先到达终点
C．乙用的时间短
D．乙比甲跑的路程多
当堂练习
B
2.某人从甲地出发，骑摩托车去乙地，共用2小时.已知摩
托车行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（时）的关系
如下图所示.假设这辆摩托车每行驶100千米的耗油量为2
升，根据图中提供的信息，这辆摩托车从甲地到乙地共
耗油_______升，请你用语言简单描述这辆摩托车行驶的
过程.
0.9
解：先以30千米/时速度行驶1小 时，
再休息半小时，又以同样速度行驶
半小时到达乙地.
4.某批发部对经销的一种电子元件调查后发现，一天的
盈利y（元）与这天的销售量x（个）之间的函数关系的
图象如图所示.请观察图象并回答：
（1）一天售出这种电子元件多少个时盈利最多，最多盈
利是多少？
（2）这种电子元件一天卖出多少时不赔不赚？
o
-200 100 200 300
y/元
x/个
400
200
3.某人以4km/h的速度步行锻炼身体.请写出他的步行路
程s（km）和步行时间t（h）之间的函数关系式，指出
自变量的取值范围，并画出函数图象.
课堂小结
函数的初步应用
确定实际问题中函数关系式
{描实际问题中的函数图像
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