资料简介
教学课件
数学 八年级下册 青岛版
平行四边形的定义：
注意：表示一般按照一定的方向（顺时针或逆时针）依
次写出各顶点的字母
∴
∵
活动探究
猜想：
1、平行四边形的对边有什么性质？
2、平行四边形的对角有什么性质？
3 、平行四边形的对角线有什么性质？
证明：
1、平行四边形的对边相等；
2、平行四边形的对角相等；
转化思想
, .
ABCD
A C B D
如图，四边形 是平行四边形
(1)AB=CD,AD=BC.
(2)
已知：
求证：
归纳总结
性质1：平行四边形的对边相等.
性质2：平行四边形的对角相等.
性质3：平行四边形的对角线互相平分.
∵四边形ABCD是平行四边形
性质1：平行四边形对边相等.
性质2：平行四边形对角相等.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D
课堂小结
本节课你学到了什么？有哪些收获？
(1)平行四边形的定义
(2)平行四边形的性质
(3)两条平行直线间的平行线段相等。
(4)两条平行线间的距离处处相等
转化思想
6.2 平行四边形的判定
第1课时
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫
做平行四边形．
平行四边形的性质：对边相等，对角相等，对角线
互相平分．
？判定性质
定义D
A B
C
判定性质
定义
D
A B
C
问题 如何寻找平行四边形的判定方法？
直角三角
形的性质
直角三角
形的判定
勾股定理
勾股定理
的逆定理
在过去的学习中，类似的情况还有吗？请举例说明．
这些经验可以给我们怎样的启示？
1．经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体
会类比思想及探究图形判定的一般思路；
2．掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵
活选取适当的判定定理进行推理．
两组对边分别相等的
四边形是平行四边形
平行四边形的性质 猜想
对边相等
对角相等
对角线互相平分
两组对角分别相等的
四边形是平行四边形
对角线互相平分的四
边形是平行四边形
思考：这些猜想正确吗？
探究点一 平行四边形的判定定理
证明：连接BD．
∵AB =CD，AD =BC，
BD是公共边，
∴△ABD≌ △CDB．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 判定定理1
猜想1
D
A B
C
1
2
3
4
证明：∵ 多边形ABCD是四边形，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A+∠B=180°，
∠B+∠C =180°．
∴AD∥BC，AB∥DC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C，∠B=∠D．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 判定定理2
猜想2
D
A B
C
如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且
OA=OC，OB=OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
对角线互相平分的四边形是平行四边形． 判定定理3
D
A B
C
O
猜想3
证明：∵ OA=OC，OB=OD，
∠AOD=∠COB，
∴ △AOD≌ △COB．
∴ ∠OAD=∠OCB．
∴ AD∥BC．
同理 AB∥DC．
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
现在，我们一共有哪些判定平行四边形的方法呢？
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
判定定理：
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
证明：∵AB =DC，AD =BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥DC．
又∵DG=EF，DE=GF，
∴四边形DGFE也是平行四边形．
∴DC∥EF．
∴AB∥EF．
探究点二 平行四边形判定定理的运用
例1 如图，AB =DC ，AD =BC，DE =GF．
求证：AB∥EF．
A
B C
D
E
F G
例2 如图，在 ABCD中，E，F分别是对角线AC
上的两点，并且 AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四
边形． A
B C
D E
F O
还有其他证明方法吗？
你更喜欢哪一种证法．
启示：
条件 对角线 简便的证明方法
边，角
A
B C
D
E
F
变式练习
O
在上题中，若点E，F 分别在AC 两侧的延长线上，
如图，其他条件不变，结论还成立吗？请证明你的结论．
知识的角度：
平行四边形的判定定理：
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
过程与方法的角度：
研究图形的一般思路．
解题策略的角度：
证明平行四边形有多种方法，应根据条件灵活运用．
性质
定义
判定
逆向猜想
1、如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，
（1）若AD=8cm，AB=4cm，则当BC =___ cm，
CD=___ cm时，四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AC=10cm，BD=8cm，则当AO =__ _cm，
DO=__ _cm时，四边形ABCD为平行四边形．
（1）
8
4
5
4
2、如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、
F分别是OA，OC的中点.求证：BE=DF.
A B
CD
E FO
第2课时
如图，在下列各题中，再添上一个条件使结论成立：
（1）∵AB∥CD， ，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵AB=CD， ，
∴四边形ABCD是平行四边形．
如果只考虑一组对边，它们满足
什么条件时，这个四边形能成为平行四边
形？
AD∥BC
AD=BC
A
B C
D
1．掌握平行四边形的第四个判定定理，会综合运用
平行四边形的性质和判定进行推理和计算；
2．经历平行四边形判定定理的发现与证明过程，进
一步加深对平行四边形的认识．
3．理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定
理的内容；
探究点一 平行四边形的判定
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
这个猜想正确吗？如何证明它？
定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
现在你有多少种判定一个四边形是平行四边形的方法？
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
A B
C D
E
F
在上题中，将“E，F分别是AB，CD的中点”改为
“E，F分别是AB，CD上的点，且AE=CF”，结论是否
仍然成立？请说明理由．
练 习
例1 如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的
中点．求证：四边形EBFD是平行四边形．
如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC 的中点，
连接DE. 像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做
三角形的中位线．
看一看，量一量，猜一猜：
DE与BC之间有什么位置关系和数量关系？
探究点二 三角形的中位线定理
我们在研究平行四边形时，经常采用把平行四边
形转化为三角形的问题，能否用平行四边形研究三角形呢？
A
B C
D E
A
B C
D E
你能对照图形写出已知、求证吗？
怎样分析证明思路？
请分别试一试，这些方案是否都可行．如可行，
说出辅助线的画法；如不可行，请说明原因．
请用适当的方法证明猜想．
请用自己的语言说出得到的结论，并比较证明方法
的异同．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形
的第三边，并且等于第三边的一半．
在△ABC中，
∵ D，E分别是边AB，AC的中点，
∴ DE∥BC，且DE= BC .1
2
证明猜想
A
B C
D E
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，CB=6，D，
E，F分别是BC，AC，AB的中点，则四边形AEDF的周
长为________；Rt△ABC的中位线分别是___________；
斜边上的中线是_______，其长为______.
18 DE，DF
CF 5
基础训练
A
B C D
E F
1、判断题：
⑴相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形. ( )
⑵两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ( )
⑶一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边
形 .( )
⑷一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ( )
⑸对角线相等的四边形是平行四边形. ( )
⑹对角线互相平分的四边形是平行四边形 . ( )
√
√
×
√
×
√
2、已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，
且AB=ED=BC， 找出图中的平行四边形，
并说明理由 ．
解：图中的平行四边形有 EDBA和 EDCB.理由是:
同理可证四边形EDCB是平行四边形
∵ AC∥ED ( )
∴ ED ∥ ______
又∵ED = ______ ( )
∴四边形EDBA是平行四边形
( )
已知
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
AB
AB 已知
3 如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
A
B C
D
E F
4 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB
向外作等边△ACD、等边△ABE．且∠BAC=30°，EF
⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
A
B C
D
E
F
5 在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，
BC，CD，DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
A
B C
D
E
F
H
G
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
从角考虑 两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
从对角线考虑 对角线互相平分的四边形是平行四边形．
从边
考虑
判定一个四边形是平行四边形可从哪些角度思考？
具体有哪些方法？
6.3 特殊的平行四边形
第一课时 矩形
A
B C
D
两组对边分
别平行的四
边形叫做平
行四边形 .
O
如图，□ABCD是一个活动框架，改变这个平行四边形
的形状，你会发现什么?
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的定义：
矩形是特殊的平行四边形
具备平行四边形所有的性质
A
B C
D
O
角
边
对角线
对边平行且相等
对角相等 ,邻角互补
对角线互相平分
矩形的一般性质：
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
B
A D
C
自主探索
对称性:矩形是轴对称图形,也是中心对称形．
A
B C
D
探索矩形的对称性:
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四
边形的所有性质外，还有具有哪些特殊的性质呢？
矩形是轴对称图形
平行四边形是
轴对称图形吗?
已知：如图，四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
A
B C
D
证明： ∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=90°.
∵矩形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC， ∠A=∠C，∠B=∠D.
∵ ∠A +∠B =180°,
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
说明：矩形的四个角都是直角
已知：如图,四边形ABCD是矩形，
求证：AC = BD.
A
B C
D证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC = ∠DCB = 90°，
AB = DC .
又∵BC = CB，
∴△ABC≌ △DCB，
∴AC = BD. 说明：矩形的对角线相等
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩
形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样
的队形对每个人公平吗?为什么？
O
A
B C
D
公平,因为OA=OC=OB=OD
例: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形的对角线的长？
D
CB
A
o
60
°
方法小结: 如果矩形的两条对角 线的夹角是60°或120°,
那么其中必有等边三角形.
D
CB
A
o
60°
×
√
×
√
√
练习1 现在你能帮小明解决问题了吗？小明判定
相框为矩形的下列方法，哪些正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ）
（2）四个角都相等的四边形是矩形；（ ）
（3）对角线相等的四边形是矩形；（ ）
（4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ）
（5）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩
形．（ ）
练习2 在“？”号处填上恰当的条件：
四边形 平行四边形
矩形 ？ ？
？
练习3.已知:四边形ABCD是矩形
(1).若AB=8㎝，AD=6㎝，则AC＝_______ ㎝ ，
OB=_______ ㎝.
(2).若 ∠DOC=120°，AC＝8㎝，则AD= _____cm，
AB= _____cm.
O
D C
BA
5
10
4
4 3
4 3
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
矩形是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的两
条对称轴．
矩形
矩形的对边平行且相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且互相平分．
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
第二课时
n 学习目标：
1．理解菱形的概念，会用菱形的性质解决简单的问题；
2．经历类比矩形探究菱形性质的过程，通过观察、类比、
猜想、证明等活动，体会几何图形研究的一般步骤和
方法．
n 学习重点：
菱形性质的探索、证明和运用．
2000多年前……
一把埋藏在地下的古剑，出土时依然寒
气逼人，毫无锈蚀，锋利无比，稍一用力，
便可将多层白纸划破，剑身上整齐排列着黑
色菱形暗纹——越王勾践剑
小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，
然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理
吗？从这个图形中你有什么发现？
如何利用折纸、剪切的方法，能够既快
又准确地剪出一个菱形的纸片？
1、菱形是___ _的平行四边形，它具有
的所有性质.
2、菱形的特殊性质.
（1）边：菱形的四条边都 ；
（2）对角线：菱形的两条对角线 ，
并且每一条对角线 _______ ；
（3）对称性：菱形是 对称图形， 它的对称轴
就是对角线所在的直线.
特殊 平行四边形
相等
互相垂直平分
平分一组对角
轴
3、如下图，根据菱形的性质，在菱形ABCD中，
(1)AB= = = ；
(2)AC⊥ ,且AO= ,BO= ；
∠ABO= ，∠BCO= ，
∠CDO= ，∠DAO= .
O思考 ： 如何证明菱形的性质？说一说
你的证明思路.
BC CD DA
BD CO DO
∠CBO ∠DCO
∠ADO ∠BAO
已知:如图，四边形ABCD是菱形.
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴DA=AB(菱形的定义)，
OD=OB （平行四边形的
对角线互相平分），
∴ AC ⊥ DB ，
AC平分∠DAB（三线合一）.
同理： AC平分∠DCB ；
DB平分∠ADC和∠ABC.
AC⊥BD,
AC平分∠DAB和∠DCB,
BD平分∠ADC和∠ABC.
求证:
例：四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于
点O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的长.
O
解:∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC，OB=OD, AC⊥BD.
∵在Rt△AOB中,OB2+OA2=AB2,
AB=5cm，AO=4cm,
∴OB=3cm.
∴BD=2OB=6cm, AC=2OA=8cm.
1、菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
(A)对角线互相平分
(B)对角线相等
(C)对角线互相垂直且相等
(D)对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
2、已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是________.
D
3cm
3 、如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC=60°，
沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路
的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留
小数点后一位）．
A
B
C
D
O
第三课时
矩形 菱形
性
质
1.四个角都________ 1.四条边都_______
2.对角线__________
2.对角线互相_________
且平分每组________
判
定
1.有一个角是______的
___________
1.有一组邻边______的
__________
2.有三个角是_____的
_________
2.对角线互相______的
________
3.对角线________的
__________
3.四条边_______的
________
相等
直角
相等
相等
平行四边形
直角
对角
互相平分
相等
垂直
平行四边形
相等
平行四边形
垂直
四边形 平行四边形
四边形
有一个角为直角 有一组邻边相等
有一组邻边
相等
有一个角是
直角
问题提出
1.有一组邻边相等的矩形是一个什么样的图形？
2.有一个角是直角的菱形是一个什么样的图形？
1、四条边_______，四个角都是_______的四边
形叫做正方形.
2、正方形既是_____形，又是_____形.即
（1）有一组________相等的矩形是正方形.
（2）有一个角是________的菱形是正方形.
相等 直角
矩菱
直角
邻边
归纳：
1.正方形的定义：四个角都是直角，且四条边都相等的
四边形是正方形.
3.正方形既是矩形，也是菱形，同时也是特殊的平行四
边形.
思考 正方形有什么样的性质，以及如何去判定
一个正方形呢？
2.有一组邻边相等的矩形是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形.
例1 （1）把一张长方形纸片按如图的方式折一下，就
可以裁出正方形纸片.为什么？
（2）如何从一块长方形木板中裁出一块最大的正方形
木板呢？
解：由已知，对折后，所得的四边形有三个
直角，且一组邻边相等，所以可以裁出正方
形纸片.
解：在长方形最长的两边，截取长度等于“长方形的短
边的长度”，这样就可以截出面积最大的正方形.
例2、 根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”
平行四边
形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等
四条边都相等
四个角都是直角
对角线互相平分 √
对角线互相垂直
对角线相等
√ √ √ √
√ √
√
√
√
√
√ √
√
√
√
作比较
请比较一般四边形，平行四边形，矩形，菱形，正方
形的对角线的性质.
对边平行
且相等
四边形 平行四边形
矩
形
菱
形
对角线平分且相等
对角线平分且
垂直
正方形
对角线互
相平分 对角线相等对
角
线
互
相
垂
直
对角线相等且
垂直平分
对角线平分，相等且垂直（对角线法）
1、如图，ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在AB边上
取定了一点E，测量知，EC=30m，EB=10m.则这块场地的
面积和对角线分别是多少？
解：根据勾股定理，得
BC2=EC2-EB2
=302-102
=800.
∴BC= .
∴这块场地的面积为 =800 （ ）.
∴ 对角线 为40m.
800 20 2
800 800 2m
2、满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形；
（2）对角线互相垂直的矩形；
（3）对角线相等的菱形；
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.
解：(1)根据正方形的性质可知，该平行四边形是正方形.
(2)根据正方形的性质可知，该矩形是正方形.
(3)根据正方形的性质可知，该菱形是正方形.
(4)根据正方形的性质可知，该四边形是正方形.
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD平分
∠ACB，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边
形CFDE是正方形．
解：∵∠ACB=90°，DE⊥BC于点E，
DF⊥AC于点F.
∴四边形CEDF有三个直角，它是矩形.
又∵CD平分∠ACB，根据角平分线上的点到两边的
距离都相等可知，DE=DF，
∴矩形CEDF有一组邻边相等.
根据正方形的判定方法知，四边形CEDF是正方形.
现在，你对正方形有哪些新的认识？
正方形既是矩形又是菱形．
一个角是直角
一组邻边相等
平行四边
形
矩形
菱形
一
组
邻
边
相
等
一个角是直角
正方形
6.4 三角形的中位线定理
三角形的中位线和三角形的中线不同CB
A
F
ED
定义：连接三角形两
边中点的线段
叫做三角形的中位线.
注意
AF是△ABC的中线 我们把DE叫△ ABC 的中位线
三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段.
三角形的中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段
区分三角形的中位线和中线：
理解三角形的中位线定义的两层含义:
② ∵ DE为△ABC的中位线
① ∵D、E分别为AB、AC的中点
∴DE为△ABC的中位线
∴ D、E分别为AB、AC的中点
一个三角形共有三条中位线。
A
B C
D。 。E
。
F
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 一半
B
A
C
D
E
已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线求证：DE
∥ BC，且DE=1/2BC 。
E ADE
° CEF D E F
DE=EF ADE CFE.
ADE F A CF
AB//CF.
BCFD
DF//BC DE=BC
DE/ /BC DE 1/ 2BC.
D
证明：以点 为旋转中心，把 绕点E,按顺
时针方向旋转180 ，得 ，则 ， ， 在同
一直线上， ，且
， ，
又 四边形 是平行四边形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
， ，
，
E
其他证法：如图，过E作AB的平行线交BC于F自A作BC
的平行线交FE于点G
A
B C
ED
F
G
∵AG∥BC， AB∥GF
∴四边形ABFG是平行四边形
∴BF=AG，AB=GF
又∵AG∥BC
∴∠EAG=∠ECF，∠G=∠EFC
又∵AE=CE，∴△AEG≌ △CEF
∴AG=FC=BF，GE=EF=1/2FG
∵D为AB中点，∴DB=AD=1/2AB
∴BD=EF且BD∥EF
∴四边形DBFE是平行四边形
∴DE∥BF，即DE∥BC，即DE=1/2BC
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
几何语言：
∵DE是△ABC的中位线（或
AD=BD,AE=CE)
C
ED
B
A
BC2
1//DE
用 途 ① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2
学以致用
已知：如图 ，在ΔABC中，D、E、F分别是 AB、AC、
BC的中点 .
（1）指出图中有几个平行四边形？
（2）图中与ΔDEF全等的三角形有哪几个？
（3）若ΔABC的周长为6cm,面积为12cm2,则ΔDEF的周
长是 _____cm,面积是_____cm2 ；
你还能得到什么
结论吗？
试一试你们的眼力，比一比你们的猜想，看下面一段文
字：
（1）请每一个同学任意画一个四边形
ABCD，取各边中点E，F， G，H，
再连接EF，FG，GH，HE，试判断四
边形的形状。
（2）同组伙伴的猜想与你的一致吗？
C
B A
D
H
G
F
E
例 已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H 分别
是AB、BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
A
B C
D
E
F
G
H
本题的证明和推出的结
论你有何感想？
本节课你学到什么？
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