资料简介
第
10
章 轴对称、平移与旋转
10.1
轴对称
说一说
A
D
F
G
H
下面的字母哪些是轴对称图形？
P
国旗是国家的一个象征，观察下面的国旗，哪些是轴对称图形？试找出它们的对称轴。
加拿大
试一试
以色列
巴西
古巴
说一说
请你说一说你身边的
轴对称现象
脸谱艺术
交通标志
车标欣赏
动动手
展开你的想象力
制作轴对称图案
刚才我们研究了一个图形具有轴对称的特征，你想不想看看两个图形是否也具有这样的特征呢？
想一想
下面的每对图形有什么共同特点
?
观察
把一个图形沿着某一条直线折叠
,
如果它能够与另一个图形重合
,
那么就说这
两个图形关于这条直线对称
,
这条直线叫做
对称轴
,
折叠后重合的点是对应点
,
叫做
对称点
。
结论
下列给出的每幅图形中的两个图案是轴对称吗？如果是，试着找出它们的对称轴。
A
D
C
B
FF
F
F
试一试
比较一下面两组图形，它们有什么
区别和联系
呢
？
囍
喜 喜
试一试
结论
基本特征
轴对称图形（或成轴对称的两个图形）的
对应线段
(
对折后重合的线段
)
相等
，
对应角
（对折后重合的角）
相等
如图，这是小亮制作的风筝，为了平衡做成轴对称图形，已知是对称轴
图形
，
∠
A
=35°∠
ACO
=30°
，
AO=2,
那么
∠
BOC
=
°
BO=
。
试一试
115
2
下面选项中右边图形与左边图形成轴对称的是（ ）
巩固提升
下列平面图形中，不是轴对称图形的是（
）
B
D
在图形中标出点和关于直线的对称点
A
B
C
试一试
请你帮个忙
下图是由小正方形组成的
L
形图，请你在图中添画一个小正方形，使它成为轴对称图形。
请说说你的收获与体会
10.
2 平移
运动
1
轿车在笔直的公路上飞驰而过
探究：
如何在一张纸上画出一排大小都一样的雪人呢？
你是怎么画的？说说你的方法。
可以把一张半透明的纸盖在图上，先描出一个雪人，然后按同一方向陆续移动这张纸，再描出第二个、第三个
……
（如图）
雪人的形状、大小、位置运动前后是否发生了变化？
形状
，大小
，位置
.
不变
不变
改变
１、
雪人甲运动到雪人乙的位置时，雪人甲的鼻尖
A
是怎样运动的？它运动到了什么位置？帽顶
B
呢？纽扣
C
呢？
移动
想一想
A
A′
C
B
C′
B′
甲
乙
A
运动到
A′
B
运动到
B′
C
运动到
C′
想一想
２、连接几组对应点（
如：
A
与
A
′
，
B
与
B
′
，
C
与
C
′
）观察得到的线段，它们的位置、长短有什么关系？
A
A′
C
B
C′
B′
A
A′
C
B
C′
B′
你
想
到
了
吗
它们平行且相等
例１：如图，将
△
ABC
平移到
△
A
＇
B
＇
C
＇的位置，我们把
△
ABC
和
△
A
＇
B
＇
C
＇称为
对应三角形
A
′
A
B
′
B
C
′
C
重点
2
找对应元素：
对应点、对应线段、对应角
例２ 如图，
△
ABC
平移到
△
DEF
的位置，请写出所有对应的点、角和线段
.
如图所示的
△DEF
是由
△ABC
经过平移后得到的。指出点
A
、
B
、
C
的对应点，并指出线段
AB
、
BC
、
CA
的对应线段，
∠A
、
∠B
、
∠C
的对应角。
图形的平移不一定是水平的，
也不一定是竖直的。
特别注意：
如左图的鸟的飞行也是平移
课堂练习
下图中的变换属于平移的有哪些？
F
A
B
D
E
C
×
×
×
√
×
×
在下面的六幅图案中，（
2
）（
3
）（
4
）（
5
）（
6
）中的哪个图案可以通过平移图案（
1
）得到？
√
欣赏并说出下列各商标图案哪些是利用平移来设计的？
解：
利用平移来设计的有
(2)
、
(4)
、
(6) .
（
1
） （
2
） （
3
） （
4
） （
5
） （
6
）
在图中，你知道线段
CA
的中点
M
以及线段
BC
上的点
N
平移到什么地方去了吗？请在图上标出它们的对应点
M′
和
N′
的位置。
M′
N′
生活中有平移的例子吗？
你能举出一些吗？
电视机生产线上电视机的移动
例如
电梯上人的移动
荡秋千是平移吗？
不是
注意：
1
、平移只是图形位置改变，不改变图形的形状和大小。
２
、平移是由平移的方向和平移的距离决定
。
3
、图形中的每一个点都移动了相同的距离。
10.3
旋转
知识回顾
⑴
旋转的概念
:
在平
面
内，将一个图形绕着一个
定点
沿某个方向转动一个
角度
的运动叫做
旋转
.
⑵
旋转的特征
:
①
旋转不改变图形
大小
和
形状
;
②
旋转图形的对应线段相等
,
对应角相等
;
③
对应点到旋转中心的距离相等
;
④
每一点都绕旋转中心按同一方向旋转同样大
小的角度
,
即对应点的连线的角相等
.
B
A
C
O
一个图形
绕着一个
定点
，按照
一定的
角度
，从一个位置旋
转到另一个位置，叫做
图形旋转
.
A
B
C
一个图形
绕着一个
定点
，
旋转一定的
角度
后能与自身重合，这样的图形称为
旋转对称图形
.
观察比较
图形的一种
变换
图形的一种
特性
O
·
一个图形绕着一个定点旋转
一定角度后，能
与自身重合
的
图形称为
旋转对称图形
.
新知
这个角度必须小于周角
3.
香港特别行政区区旗中央的紫荆花图案由
5
个相同的花瓣组成，它可以由其
中一瓣经过
4
次旋转而得到
.
它是旋转对称图形吗
?
若是
,
其旋转角是多少度
?
例
1.
试确定下列旋转图形的旋转中心和旋转角度
.
例
2.
O
A
例
3.
下列各图形是不是旋转对称图形？如果是，请找出旋中心
在何处。旋转角度至少是多少度？这些图形是轴对称图形吗？
120°
┍
90°
60°
正三角形是旋转对
称图形
,
它的旋转中
心是两条高线的交
点
,
旋转角度是
120°
它也是轴对称图形
.
正方形是旋转对称
图形
,
它的旋转中心
是两条对角线的交
点
,
旋转角度是
90°
它也是轴对称图形
.
正六边形是旋转对称
图形
,
它的旋转中心
是两条对角线的交
点
,
旋转角度是
60°
它也是轴对称图形
.
观察下图，判断它是不是旋转对称图形？如果是，请找出旋转中心在何处，旋转角度是多少？另外该图形是轴对称图形吗？
例
4.
解
:
这个图形是旋转对称图形
,
旋转中心是外框正方形对角线的交点
(
如图中的点
O
),
旋转角度是
90°,
但它不是轴对称图形
.
例
5.
试确定图形的旋转中心，并指出这一图形是由哪个基本图形旋转多少度、旋转几次生成的？
解
:
旋转中心是十字形的交点
O
,
基本图形
如图所示，分别旋转了
90°
、
180°
、
270°
三次生成的。
O
·
例
6.
请利用如图所示的图案，通过旋转变换，设计出美丽的图案。
课堂小结
⑴
绕着某一点转动一定角度后，能与自身重
合的图形称为旋转对称图形
,
其中这一点就是旋转中心，这个角度的最小值就是旋转角
.
⑵
如果一个图形既是旋转对称图形，又是轴对称图形，那么它的旋转中心就是对称轴的交点
.
⑶
正
n
边形既是旋转对称图形，又是轴对称图形，所以它的旋转中心就是对称轴的交点，并
且旋转角度就等于
360°
除于
n
所得的商
.
探索
⑴△ABC
是△
DEF
旋转得到的，你能找到它的旋转中心吗？若能请画出来
.
O
·
A
B
C
D
E
F
⑵
如图所示两个圆，其中圆
O
2
是由圆
O
1
旋转得到的，请问你能否找到它的旋转中心？有多少个？
探索
⑶
如图，以△
ABC
的三边为边在
BC
的同侧分别作三个等边三角形即△
ABD
、△
BCE
、△
ACF,
请找出经过△
ABC
旋转能够得到的三角形
.
探索
⑷
如图，画△
ABC
关于直线
a,b
连续两次对称的图形
,
并观察与原图形的关系
.
a
b
O
A
B
C
10.4
中心对称
什么是轴对称图形？
什么是轴对称？
什么是旋转？
什么是旋转对称图形？
新课导入
1.
观察下图，它们是什么图形？
推进新课
【归纳结论】
把一个图形绕着某一个点旋转
180°
，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心
.
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点
.
2.
如图，
△
ABC
与
△
A
1
B
1
C
1
关于点
O
成中心对称，图中有哪些线段相等？
由图形及旋转的性质可以得到：
AO=A
1
O
BO=B
1
O,
CO=C
1
O.
【归纳结论】
关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；反过来，如果两个图形的所有对应点连线都经过某一点，并且被这点平分，那么这两个图形关于这一点对称
.
3.
中心对称与轴对称的联系与区别
4.
如图，已知
△ABC
和点
O
，画出
△DEF
，使
△DEF
和
△ABC
关于点
O
成中心对称
.
分析：
中心对称就是旋转
180°
，关于点
O
成中心对称就是绕点
O
旋转
180°
，因此，我们连
AO
、
BO
、
CO
并延长，取与它们相等的线段即可得到
.
解：
（
1
）连结
AO
并延长
AO
到点
D
，使
OD=OA
，于是得到点
A
的对称点
D
，如图所示
.
（
2
）同样画出点
B
和点
C
的对称点
E
和
F.
（
3
）顺次连结
DE
、
EF
、
FD.
则
△DEF
即为所求的三角形
.
1.
下列图形中，是中心对称图形的是
( )
随堂演练
A
2.
下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A.
平行四边形
B.
矩形
C.
菱形
D.
正方形
A
3.
按下列要求正确画出图形：
（
1
）已知
△ABC
和直线
MN
，画出
△ABC
关于直线
MN
对称的图形；
（
2
）已知四边形
ABCD
和点
O
，画出四边形
ABCD
关于点
O
成中心对称的四边形
.
解：
（
1
）过点
A
作
AA′⊥MN
且使
MN
垂直平分
AA′
，过点
B
作
BB′⊥MN
且使
MN
垂直平分
BB′
，过点
C
作
CC′⊥MN
且使
MN
垂直平分
CC′
，然后顺次连接即可；
△A′B′C′
如图所示；
（
2
）连接
AO
并延长至
A′
，使
A′O=AO
，连接
BO
并延长至
B′
，使
B′O=BO
，连接
CO
并延长至
C′
，使
C′O=CO
，连接
DO
并延长至
D′
，使
D′O=DO
，然后顺次连接即可
.
四边形
A′B′C′D′
如图所示
.
读和写是学生最必要的两种学习方法，也是通向周围世界的两扇窗口。
——
苏霍姆林斯基
10.5.图形的全等
下列各组图形有什么特点？
（
1
）
（
2
）
（
3
）
（
4
）
新知引入
平移、翻折、旋转
图形的基本变换有哪些？
A
B
C
D
E
F
(1)
将△
ABC
向
右平移
4
个方格，
得△
DEF
△ABC
与△
DEF
能重合吗？
___________
完全重合
A
B
C
D
E
F
(2)
作△
ABC
关于
直线
l
的对称图形，
得△
DEF
△ABC
与△
DEF
能重合吗？
___________
完全重合
直线
l
A
O
B
C
A
’
B
’
C
’
△ABC
与△
A
’
B
’
C
’
能重合吗？
___________
(3)
将△
ABC
以
点
O
为中心逆时
针旋转
90°
，
得△
A’B’C’
完全重合
以上都是由一个图形通过平移、翻折、旋转得到的新图形能与原图完全重合，
我们把这种
能完全重合的两个图形，叫做全等图形
学习新知
全等图形
能够完全
重合
的图形称为
全等图形
定义
:
两个全等的图形经过
平移、翻折、旋转等变换后一定能够互相重合
.
一个图形经过平移、翻折、旋转等变换所得到的新图形与原图形一定全等
.
全等多边形的对应边、对应角分别相等．
对应边
都相等
、对应角都相等
的多边形是全等多边形
全等
多边
形
1.
什么是全等多边形？
2.
全等多边形有哪些性质？
能
够完合重合的多边形叫做全等多边形
思 考
3.
怎样判定多边形全等？
两个全等三角形的位置变化了，对应边、对应角的大小有变化吗？由此你能得到什么结论？
A
B
C
D
E
F
寻找对应元素的规律
（
1
）有公共边的，
公共边
是对应边；
（
2
）有公共角的，
公共角
是对应角；
（
3
）有对顶角的，
对顶角
是对应角；
（
4
）两个全等三角形最长的边是对应边，最短的边是对应边；
（
5
）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角；
A
B
C
D
E
F
1.
全等三角形有哪些性质
:
全等三角形的对应边相等．
全等三角形的对应边相等．
2.
全等三角形有哪些判定
:
对应边
都相等
、对应角都相等
的
三角
形是全等
三角形
结论
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
∵
△ABC
≌
△DFE
∴
AB=DF, BC=FE, AC=DE
（ ）
∴ ∠
A=
∠
D,
∠
B=
∠
F ,
∠ C= ∠ E
（ ）
全等三角形的性质
应用
全等三角形的对应边相等
全等三角形的对应角相等
如图
,
△
ABC
绕
AC
翻折得
△
AEC,
∠
B=30
°
,
∠
ACB=85
°
,
求出
△
AEC
各角的度数。
因此
△
AEC
的内角度数分别为
65
°﹑
30
°﹑
85°
。
B
C
E
A
解：在△
ABC
中∠
ACB=85
°
，∠
B=30
°
，
所以∠
BAC=65°
又因为
△
AEC
由
△
ABC
翻折得到
所以
△
ABC≌△AEC
，
即有∠
EAC=∠BAC=65
°
，
∠
E=∠B=30
°
，
∠
ACE=∠ACB=85°
理解运用
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