资料简介
第
9
章多边形
9.1
三角形
下面请大家仔细观察一组图片，看看它们有什么
共同特点
学习目标
认识三角形，了解三角形的定义，认识三角形的边、角、顶点，能用符号语言表示三角形。
能从不同角度对三角形进行分类。
掌握三角形三边的不等关系，并能运用三角形三边关系解决生活实际问题。
自学课本，并回答以下问题：
1
、什么样的图形叫三角形？
2
、什么是三角形的边、顶点、内角？
3
、如何用符号语言表示一个三角形
?
4
、如何将三角形分类
？
由
不在同一条直线上
的三条线段
首尾顺次相接
所组成的图形，叫做三角形。
三角形的定义
A
C
B
线段
AB
、
BC
、
CA
点
A
、
B
、
C
3.
三角形的内角（角）：
三角形ABC的三边,有时也用
a、b、c
来表示.
a
b
c
1.
三角形的边：
2.
三角形的顶点：
∠
A
、 ∠
B
、 ∠
C
三角形的表示：
A
B
C
三角形用符号“
△
”表示
记作“
△
ABC
”,
读作
“
三角形ABC”
练习:
读出图中的各个三角形.
A
D
B
E
C
按角分
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
按边分
不等边三角形
等腰三角形
三角形的分类
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
斜三角形
轻松一下
动手拼一拼
小组合作，用火柴棒拼三角形：
（
1
）
3
，
4
，
6
（
2
）
3
，
4
，
8
（
3
）
3
，
4
，
1
三角形任意两边之和大于第三边。
三角形任意两边之差小于第三边。
A
B
C
a
b
c
三角形的三边关系
某花店老板想做一个三角形支架，已经有了两根长为
30
厘米和
50
厘米的木棒，那么第三根木棒的长应该在什么范围内？
我能行
我还行
1
、三条线段的长度分别为：
（
1
）
3
、
4
、
5
（
2
）
8
、
10
、
7
（
3
）
5
、
5
、
11
（
4
）
6
、
20
、
13
能组成三角形的有（ ）组。
A
、
1 B
、
2 C
、
3 D
、
4
2
、用一根长为
18
厘米的细铁丝围成一个等腰三角形。
（
1
）如果腰长是底边的
2
倍，那么各边的长是多少？
（
2
）能围成有一边的长为
4
厘米的等腰三角形吗？为什么？
我还行
你能一步迈出
2.5
米吗？
1.2
米
谈谈你这节课的收获！
第
9
章多边形
9.2
多边形内角和与外角和
在平面内，由
三条
不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做
三角形
.
在平面内，由
若干条
不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做
多边形
.
在平面内，由
五条
不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做
五边形
.
在平面内，由
四条
不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做
四边形
.
自主学习
顶点
内角
边
对角线
(
连接不相邻两个顶点的线段
)
多边形的相关元素
外角
表示：五边形
ABCDE
A
C
B
D
E
如图
1
是凸多边形； 图
2
不是凸多边形，今后如果不作说明，我们讲的多边形都是凸多边形
.
图
2
如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形
.
图
1
A
C
B
D
A
C
B
D
相关概念
在多边形的顶点处
一边与另一边的延长线
所组成的角叫做这个多边形的外角.
在每个顶点处取
这个多边形的一个外角
，它们的和叫做这个多边形的外角和.
如何求出任意五边形的内角和？你能想出几种办法？
合作探究
活动1：探究
多边形的内角和
多边形的边数
4
5
6
…
n
分成三角形的个数
…
多边形的内角和
…
2
3
4
n
-
2
360°
540°
720°
(
n
-2)×180°
从多边形的一个顶点出发，引出所有的对角线，从而把多边形分割为多个三角形
.
定理：
n
边形的内角和等于
(
n
－
2)·180
（
n
为不小于
3
的整数）
说明：多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关
.
已知一个多边形，它的内角和等于
900°
,求这个多边形的边数
.
解： 设多边形的边数为
n
，因为它的内角和等于
(
n
-2)
•180°
，
所以，
(
n
-2)
•180°= 900º
，
解得
n
=7
这个多边形的边数为
7.
有一张长方形的桌面，现在锯掉它的一个角，有几种情况？剩下的残余桌面的内角和为多少？
思考题：
三角形的外角和是多少度？你是怎样探究出来的？
A
B
C
D
E
F
1.
先把三角形的三个外角和三个
内角这六个角
的和求出来，刚好是三个平角.
2.
再用这六个角的和减去三个内角的和，剩下
的就是三角形的外角和了！
3×180
0
-(3-2) ×180
0
=360
0
活动2：探究
多边形的外角和
那么你能研究出四边形的外角和吗？
整体思路：
1.
先求
4
个
外角
+4
个内角的和；
2.
再减去
4
个内角的和
容易看出，
4
个外角
+4
个内角
=4
个平角，而
4
个
内角的和是（
4-2
）
× 180 °
，那么
四边形的
外角和
就是
4× 180°-
（
4-2
）
× 180
°=
360°
类比推理
五边形的外角和是多少度？
六边形的外角和是多少度？
n
边形的外角和是多少度？
… …
5×180
0
-(5-2) ×180
0
=360
0
6×180
0
-(6-2) ×180
0
=360
0
n
×180
0
-(
n
-2) ×180
0
=
360
0
n
边形的外角和等于
360
ْ
理论证明：
所以
n
个外角与
n
个内角的和是
:
n
×180
0
，
所以
n
边形外角和是
:
n
×180
0
-(
n
-2) ×180
0
=360
0
.
而
n
边形的内角和是
:
（
n
-2
）
×180
0
因为
n
边形的每个外角与它相邻的内角互补
(
n
≥3
）
知识要点
变式：你能反过来由多边形外角和公式来推导多边形的内角和公式吗？
n
•
180
0
- 360
º
=
n
•
180
0
-2×180
0
=
（
n
-2
）
•
180
0
分析：
n
×180
0
-(n-2) ×180
0
例 一个多边形的内角和等于它的外角和的
3
倍，它是几边形？
解： 设这个多边形的边数为
n
，则它的内角和等于
(
n
-2)•180°
，
因为外角和等于
360º
，所以
(
n
-2)•180°= 3×360º
n
= 8
这个多边形的边数为
8.
三角形如果三条
边
都相等，三个
角
也都相等，那么这样的三角形就叫做
正
三角形.
如果多边形的各
边
都相等，各个
角
也都相等，那么这样的多边形就叫做
正多边形
.如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等 .
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
(
或正三边形
)
(
或正四边形
)
活动3：探究
正多边形
下列图形是不是正多边形？
（
1
）各条边都相等的多边形是正多边形；
（
2
）各个角都相等的多边形是正多边形.
由上面的结论判定下列说法正确吗？
强调：
2.
各个角都相等；
1.
各个边都相等；
缺一不可：
菱形
长方形
课堂小结
在平面内，由
若干条
不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做
多边形
.
n
边形的内角和等于
(
n
－
2)·180
（
n
为不小于
3
的整数）
说明：多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关
.
n
边形的外角和等于
360
ْ
(
n
≥3
）
9.3 用正多边形拼地板
问题情境
:
问题
1
：
在上述的图案中，你看到了哪些
正多边形的图案？
问题
2
：
还有哪一种正多边形可用来拼地板
？
让我们一起去实践
60°
60°
60°
60°
60°
60°
正三角形瓷砖
90°
90°
90°
90°
正方形瓷砖
120°
120°
120°
正六边形瓷砖
108°
108°
108°
正五边形瓷砖
３２４
°
正八边形瓷砖
135
。
135
。
135
。
４０５
°
围绕某一顶点铺满地面
当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和加在一起恰好组成一个
周角
时，就能拼成一个平面图形。
一个正多边形能不能铺满平面，关键是看周角
360
度能不能被一个内角度数整除。
我们刚才所研究的都是用同种正多边形
所拼的地板，那么两种正多边形组合是否
也可以拼成地板呢？
让我们一起去实践
得出两种多边形拼成地板要满足的条件
：
正多边形
1
个数
×
正多边形
1
内角度数
+
正多边形
2
个数
×
正多边形
2
内角度数
=360º
60°
120°
60°
120°
2
×60°+2×120°
＝
360 °
其它
用正五边形、正十边形这两正多
边形组合能否铺满
平面呢？
让我们一起去实践
图形
1
．只用下列正多边形，能铺满地面的是（ ）
A.
正五边形
B.
正八边形
C.
正六边形
D.
正十边形
2
．只用下列正多边形，不能铺满地面的是（ ）
A.
正方形
B.
等边三角形
C.
正十一边形
D.
正六边形
3
．某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是（ ）
A
．正方形
B.
正六边形
C.
正八边形
D.
正十二边形
C
C
C
60
90
60
60
90
150
150
135
135
返回
用正五边形、正十边形这两正多
边形组合能否铺满
平面呢？
让我们一起去实践
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剪出一些形状、大小都一样的四边形，拼拼看，能否如下图那样铺满地面。
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