天天资源网 / 初中数学 / 中考模拟 / 2014年江西省中考数学试卷及答案解析
资料简介
江西省 2014 年中等学校招生考试数学试卷
(江西 毛庆云）
说明：1．本卷共有六个大题，24 个小题，全卷满分 120 分，考试时间 120 分钟．
2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分．
一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，每小题只有一个正确选项）
1．下列四个数中，最小的数是（ ）．
A．－1
2
B．0 C．－2 D．2
【答案】 C.
【考点】 有理数大小比较．
【分析】 根据有理数大小比较的法则：①正数都大于 0；②负数都小于 0；③正数大于一切负数
进行比较即可．
【解答】 解：在－1
2
，0，－2，2 这四个数中，大小顺序为：﹣2＜－1
2
＜0＜2，所以最小的数
是－1
2
．故选 C．
【点评】 本题主要考查了有理数的大小的比较，解题的关键是熟练掌握有理数大小比较的 法则，
属于基础题．
2．某市６月份某周气温（单位：℃）为 23，25，28，25，28，31，28，这给数据的众数和中位数
分别是（ ）．
A．25，25 B．28，28 C．25，28 D．28，31
【答案】 B.
【考点】 众数和中位数.
【分析】 根据中位数的定义“将一组数据从小到大或从大到小排序，处于中间（数据个数为奇数
时）的数或中间两个数的平均数（数据为偶数个时）就是这组数据的中位数”；众数是指一组数据
中出现次数最多的那个数。
【解答】 这组数据中 28 出现 4 次，最多，所以众数为 28。由小到大排列为：23，25，25，28，
28，28，31，所以中位数为 28，选 B。
【点评】 本题考查的是统计初步中的基本概念——中位数和众数，要知道什么是中位数、众数．
3．下列运算正确的是是（ ）．
A．a2+a3=a5 B．(－2a2)3=－6a5 C．(2a+1)(2a-1)=2a2-1 D．(2a3-a2)÷2a=2a-1
【答案】 D.
【考点】 代数式的运算。
【分析】 本题考查了代数式的有关运算，涉及单项式的加法、除法、完全平方公式、幂的运算性
质中的同底数幂相除、积的乘方和幂的乘方等运算性质，正确掌握相关运算性质、法则是解题的前
提．根据法则直接计算．
【解答】 A 选项中 3a 与 2a 不是同类项，不能相加（合并）， 3a 与 2a 相乘才得 5a ；B 是幂的乘方，
幂的运算性质（积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，幂的乘方（底数
不变，指数相乘），结果应该-8 6a ；C 是平方差公式的应用，结果应该是 24a 1 ；D.是多项式除
以单项式，除以 2a 变成乘以它的倒数，约分后得 2a-1。故选 D。
4．直线 y=x+1 与 y=－2x+a 的交点在第一象限，则 a 的取值可以是（ ）．
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】 D.
【考点】 两条直线相交问题，一次函数图像和性质、一元一次不等式组的解法，考生的直觉判断
能力．
【分析】 解法一：一次函数 y=kx+b，当 k>0，b>0 时，直线经过一、三、二象限，截距在 y 的正
半轴上当；k>0，b0）对应的碟宽为____；抛物线 2( 2) 3( 0)y a x a= - + > 对应的碟宽____；
（2）若抛物线 2 54 ( 0)3y ax ax a= - - > 对应的碟宽为 6，且在 x 轴上，求 a 的值；
（3）将抛物线 2 ( 0)n n n n ny a x b x c a= + + > 的对应准蝶形记为 Fn（n=1,2,3，…），定义 F1，
F2，…..Fn 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比。若 Fn 与 Fn-1 的相似比为 1
2
，且 Fn 的碟顶是
Fn-1 的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为 y1，其对应的准蝶形记为 F1.
①求抛物线 y2 的表达式
② 若 F1 的碟高为 h1,F2 的碟高为 h2，…Fn 的碟高为 hn。则 hn=_______,Fn 的碟宽右端点横坐标为
_______；F1，F2，….Fn 的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出改直线的表达式；若不
是，请说明理由。
【答案】 （1）4、、2
a
、2
a
；（2）1
3
；（3）① 2
2
2 8 8
3 3 3
y x x ；② 1 1
3 3 22 2n n 、 、 5y x .
【考点】 二次函数解析式与图像性质，等腰直角三角形性质，探索规律.
【分析】 （1）根据准碟形的定义易算出含具体值的抛物线 y=1
2 x2、抛物线 y=4x2 的碟宽，且都
利用第一象限端点 B 的横纵坐标的相等，类似推广至含字母的抛物线 y=ax2（a＞0）．而抛物线
y=a(x-2)2+3（a＞0）为顶点式，可看成 y=ax2 向右、向上平移得到，因而发现碟宽的规律，只与 a
有关，碟宽= 2
a
．
亦可先根据 2y ax= 画出二次函数的大致图像，根据题意并从图像分析可知，其准碟形碟宽两
端点 A、B 和抛物线的顶点 M 围成的△AMB 是等腰直角三角形，进而知道 A、B 两点的纵坐标和横坐
标绝对值相等，代入 2y ax= 即可求出二次项系数 a 与碟宽之间的关系式，而 y=a(x-2)2+3（a＞0）
为顶点式，可看成 y=ax2 平移得到，只与 a 有关。
（2）根据（1）中的结论，根据碟宽为 6，列出方程2
a
=6，求出 a 的值．
（3）①把(2)中求出的 a 代入，得出 y1 的解析式，易推出 y2．
②结合画图，易知 1 2 3h h h， ， ，…， 1hn ， hn 都在直线 x=2 上，但证明需要有一般推广，
可以考虑 nh ∥ 1nh ，且都过 Fn-1 的碟宽中点，进而可得．另外，画图时易知碟宽有规律递减，所以
推理也可得右端点的特点．对于 F1，F2，…，Fn 的碟宽右端点是否在一条直线上，如果写出所有端
点规律不可能，找规律更难，所以可以考虑基础的几个图形关系，如果相邻 3 个点构成的两条线段
不共线，则结论不成立，反正结论成立．而最后一空的求直线表达式只需考虑特殊点即可．
【解答】 解：（1）4、1
2
、2
a
、2
a .
∵a＞0，∴y=ax2 的图象大致如图 1，其必经过原点 O.
记线段 AB 为其准蝶形碟宽，AB 与 y 轴的交点为 C，连接 OA，OB．
∵△OAB 为等腰直角三角形，AB∥x 轴，
∴OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC＝1
2
∠AOB＝1
2
×90°=45°，
即△AOC=△BOC 亦为等腰直角三角形，∴AC=OC=BC．
∴ A A B Bx y x y ， ，即 A、B 两点 x 轴和 y 轴坐标绝对值相同．
代入 2y ax ，得方程 2x ax ，解得 1x a
.
∴由图像可知，A（－ 1
a
， 1
a
），B（ 1
a
， 1
a
），C（0， 1
a
），
即 AC=OC=BC＝ 1
a
，
∴AB= 1
a
·2＝ 2
a
，
即 2y ax 的碟宽为 AB＝ 2
a
.
∴①抛物线 y=1
2
x2 对应的 1a 2
，得碟宽 2
a
=4；
②抛物线 y=4x2 对应的 a=4，得碟宽 2
a
= 1
2
；
③抛物线 2y ax= (a＞0)的碟宽为 2
a
；
④抛物线 y=a（x-2）2+3（a＞0）可看成 y=ax2 向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长
度后得到的图形，
∵平移不改变形状、大小、方向，
∴抛物线 y=a（x-2）2+3（a＞0）的准碟形≌抛物线 y=ax2 的准碟，
∵抛物线 y=ax2（a＞0），碟宽为 2
a
，
∴抛物线 y=a（x-2）2+3（a＞0），碟宽为 2
a
.
（2）解法一：
∵y=ax2―4ax－5
3
＝a(x－2)2－（4a＋5
3
)
∴同（1）得其碟宽为2
a
，
∵y=ax2―4ax－5
3
的碟宽为 6，
∴2
a
=6，解得，a=1
3
.
∴y＝1
3
(x-2)2-3．
解法二：
∵ 2 54 ( 0)3y ax ax a= - - > 可得， 2 5( 2) 4 3y a x a= - - - ，
又已知碟宽在 x 轴上，
∴碟高＝ 54 3a- - ＝6
2
=3，解得 a＝±1
3
，
又∵a＞0，a＝－ 1
3
不合题意舍去，∴a1＝1
3
.
(3) ①解法一：
∵F1 的碟宽︰F2 的碟宽=2：1，
∴
1 2
2 2 2:1a a
:
∵ 1
1a ,3
∴ 2
2a .3
∵ 2
1
1y x 2 33
（ ） 的碟宽 AB 在 x 轴上（A 在 B 左边），
∴A（-1，0），B（5，0），
∴F2 的碟顶坐标为（2，0），
∴ 2
2
2y x 23
（ ）
解法二：
∵ 2
1
5( 2) 4 3y a x a= - - - ，a＝1
3
，
∴ 2
1
1 ( 2) 33y x= - - ，
即碟顶 1M 的坐标为（2，－3）.
∵ 2F 的碟顶是的碟宽的中点，且 1F 的碟宽线段在 x 轴上，
∴ 2F 的碟顶 2M 的坐标为（2,0），设 2
2 2 ( 2)y a x ，
∵ 2F 与 1F 的相似比为 1
2
， 1F 的碟宽为 6，
∴ 2F 的碟宽为 6× 1
2
＝3，即
2
2
a
＝3， 2a ＝ 2
3
.
∴ 2 2 2 2
2 2
2 2 2 8 8( 2) ( 2) ( 4 4)3 3 3 3 3y a x x x x x x .
②∵ nF 的准碟形为等腰直角三角形，
∴ nF 的碟宽为 2 nh ，
∵ n
n 1
2h 1
2h 2
∴ 2 3 1
n n 1 n 2 n 3 1
1 1 1 1h h ( ) h ( ) h ... ( ) h2 2 2 2
n
.
∵ 1h =3，
∴ n 1
n
1h 2
（ ） ·3.
∵ nh ∥ n 1h ，且都过 n 1F 的碟宽中点，
∴ 1 2 3 n 1 nh h h h h， ， ， ， ， 都在同一条直线上，
∵ 1h 在直线 x=2 上，
∴ 1 2 3 n 1 nh h h h h， ， ， ， ， 都在直线 x=2 上，
∴ nF 的碟宽右端点横坐标为 2+ n 11
2
（ ） ·3.
F1，F2，…，Fn 的的碟宽右端点在一条直线上，直线为 y=-x+5．
理由：
考虑 Fn-2，Fn-1，Fn 情形，关系如图 2，
Fn-2，Fn-1，Fn 的碟宽分别为 AB，DE，GH；
且 C，F，I 分别为其碟宽的中点，都在直线 x=2 上，
连接右端点，BE，EH．
∵AB∥x 轴，DE∥x 轴，GH∥x 轴，
∴AB∥DE∥GH，
∴GH 平行相等于 FE，DE 平行相等于 CB，
∴四边形 GFEH、四边形 DCBE 都是平行四边形，
∴HE∥GF，EB∥DC，
∵∠GFI=1
2
•∠GFH= 1
2
•∠DCE=∠DCF，
∴GF∥DC，
∴HE∥EB，
∵HE，EB 都过 E 点，
∴HE，EB 在一条直线上，
∴ n 2 n 1 nF F F ， ， 的碟宽的右端点是在一条直线，
∴ 1 2 nF F F， ， ， 的碟宽的右端点是在一条直线．
根据②中得出的碟高和右边端点公式，可知
2
1
1= x 2 33
y （ ） 准碟形右端点坐标为（5，0），
2
2
2= x 23
y （ ）准碟形右端点坐标为 2 1 2 11 12 ( ) 3,( ) 32 2
，即(3.5，1.5)
∴待定系数可得过两点的直线为 y=－x+5，
∴F1，F2，…，Fn 的碟宽的右端点是在直线 y=-x+5 上．
【点评】 本题考查学生对新定义和新知识的学习、模仿和应用能力．题目中主要涉及特殊直角三
角形，二次函数解析式与图象性质，多点共线证明等知识，综合难度较高，学生对题意要清晰的理
解比较困难。
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