资料简介
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
5.3 应用一元一次方程
——水箱变高了
北师大版 数学 七年级 上册
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
hr
阿基米德与皇冠的故事：阿基米德用非常
巧妙地方法测出了皇冠的体积，你知道他是
如何测量的吗？
形状改变，
体积不变
.
=
导入新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
1. 借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关
系和等量关系.
2. 能利用一元一次方程解决简单的图形问题.
素养目标
3. 利用体积不变、周长不变列方程.
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水
箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地
面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m．那么在容积
不变的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少？
知识点 图形问题
探究新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
等积问题有哪些等量关系呢？
①前后容积（体积）相等;
②前后面积相等.
探究新知
思考：
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
在这个问题中的等量关系是___________________________
设水箱的高变为 x 米，填写下表：
旧水箱 新水箱
底面半径
高
容积 =
旧水箱的容积=新水箱的容积.
列方程时关键是找出问题中的___________等量关系.
探究新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
解：设水箱的高变为 x米，
解得
答：高变成了 6.25 米.
探究新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
什么发生了变化？
什么没有发生变化？
想一想
张师傅要将一个底面直径为20厘米，高为9厘米的“矮
胖”形圆柱，锻压成底面直径为10厘米 的“瘦长”形圆柱.
假设在张师傅锻压过程中，圆柱体积保持不变，那么圆柱
的高变成了多少？
探究新知
做一做
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
锻压前 锻压后
底面半径
高
体积
p
x
p x
解：设锻压后圆柱的高为 x 厘米，填写下表：
等量关系： 锻压前的体积=锻压后的体积
探究新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
根据等量关系，列出方程：
解方程得：x=36.
因此，高变成了 厘米. 36
等体积变形
关键问题：
=× 102×9
探究新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
解：（1）设长方形的宽为x米，
则它的长为(x+1.4)米，
2 ( x+1.4 +x ) =10.
解得 x=1.8. 长为：8+1.4=3.2（米）;
答：长方形的长为3.2米，宽为1.8米,面积是5.76平方米.
等量关系：（长+宽）× 2 = 周长.
面积为： 3.2 × 1.8=5.76（米2）.
x
x+1.4
用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.
（1）使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽
各是多少米呢？面积是多少？
由题意得
探究新知
例
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
（2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各
为多少米？它所围成的长方形与（1）所围成的长方形相比，
面积有什么变化？
解：设长方形的宽为x 米，则它的长为（x+0.8）米.
由题意,得 2(x +0.8+ x) =10.
解得 x=2.1.
长为 2.1+0.8=2.9（米）;
面积为 2.9×2.1=6.09(平方米);
面积增加了：6.09-5.76=0.33（平方米）.
x
x+0.8
探究新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
（3）使得该长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此
时正方形的边长是多少米？围成的面积与（2）所围成的面
积相比，又有什么变化？
解：设正方形的边长为x米.
由题意得 4x = 10.
解，得 x=2.5.
边长为：2.5米；
面积为：2.5×2.5=6.25(平方米).
面积增加：6.25-6.09=0.16（平方米）.
探究新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
2.变形前体积 = 变形后体积.
1.列方程的关键是正确找出等量关系.
4.长方形周长不变时，当且仅当长与宽相等
时，面积最大.
3.线段长度一定时，不管围成怎样
的图形，周长不变.
探究新知
归纳小结
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小
颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方
形，如下图所示，那么，小颖所钉长方形的长和宽各为
多少厘米？ 10
10 10
106 6
？
分析：等量关系是 变形前后周长相等
,
解：设长方形的长是 x 厘米.则
解得
因此，小颖所钉长方形的长是16厘米，宽是
10厘米.
小颖所钉长方形的宽是10厘米.
巩固练习
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
（2019•天门）把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种
规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的
钢管有a根，则a的值可能有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．9种
B
连接中考
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
1．如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为6
cm的长条后，再从剩下的纸片上剪下一个宽为8 cm的
长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原正
方形的边长是( )
A．20 cm B．24 cm
C．48 cm D．144 cm
B
课堂检测
基 础 巩 固 题
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
2.从一个底面半径是10cm的凉水杯中，向一个底面半径为
5cm，高为8cm的空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉
水杯的水面将下降( )
A．8cm B．2cm C．5cm D．4cm
基 础 巩 固 题
B
课堂检测
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
3．有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成
长4厘米、宽2厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是
_________厘米．(不计损耗)
4．李红用40cm长的铁丝围成一个长方形，要使长比宽多
4cm，求围成的长方形的面积，若设长方形的宽为xcm，根
据题意列出方程是_____________，面积是__________．
8
x+(x+4)=20 96cm2
课堂检测
基 础 巩 固 题
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
5．如图，一个装有半瓶多饮料的饮料瓶中，饮料的高度为
20cm；把饮料瓶倒过来放置，饮料瓶空余部分的高度为5cm.
已知饮料瓶的容积为30cm3，则瓶内现有饮料______cm3.24
课堂检测
基 础 巩 固 题
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙都挤出1cm
长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包
装，只是将出口处直径改为6 mm，小明还是按习惯每次挤出
1cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？
解：设这一支牙膏能用x次，根据题意得
π×2.52×10×36＝π×32×10x.
解这个方程，得x＝25.
答：这一支牙膏能用25次．
课堂检测
能 力 提 升 题
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已
知正方形的边长比圆的半径长2(π－2) m，求这两根等长的
铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．
解析:比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系
列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为
正方形的周长＝圆的周长．
课堂检测
拓 广 探 索 题
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为[r＋2(π－
2)]m.根据题意，得
答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大．
因为4π×4＞4π×π，
所以16π＞4π2，所以圆的面积大．
正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m2)．
所以圆的面积是π×42＝16π(m 2)，
所以铁丝的长为2πr＝8π(m)．
2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4.
课堂检测
拓 广 探 索 题
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
一.物体锻压或液体更换容器题，体积（或容积）不变.
二.固定长度，虽然围成的图形形状及面积不同，但
是应抓住图形的总周长不变.
三.图形的拼接、割补、平移、旋转等类型题，应
抓住图形的面积、体积不变.
课堂小结
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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