资料简介
2.4.1 平面向量的数量积的
物理背景及其含义
目标导学：
1、能运用数量积表示两个向量的夹角，
计算向量的长度；
2、会用数量积判断两个平面向量的垂
直关系。向量的夹角：
已知两个非零向量 和 ，作 ， ，
则∠AOB= θ(0º≤θ≤180º)叫做向量 与 的夹角.
θ
O A
B
当θ= 0º时， 与 同向；
当θ= 180º时， 与 反向；
当θ= 90º时， 与 垂直，记作 。问题
θ
s
F 一个物体在力F 的作用下产生的位移
s，那么力F 所做的功应当怎样计算？
其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量.平面向量的数量积：
已知非零向量 与 ，我们把数量 叫作 与 的
数量积（或内积），记作 ，即规定
其中θ是 与 的夹角， 叫做向量 在
方向上（ 在 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量
的数量积为零，即 。
θ
B
B1
O A3．“投影”的概念：
定义：|b|cos叫做向量
b在向量a方向上的投影
注意：投影也是一个数量，不是向量；
4．向量的数量积的几何意义：数量积ab
等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的
乘积.5、数量积的性质：
B1
B
AO例1.已知 ， 的夹角θ=120º，
求 。
解：数量积的运算规律：如图可知：思考：等式 是否成立？
数量积的运算规律：
不成立1、两个向量的数量积是一个实数，不是向
量，符号由cosθ的符号确定；
2、两个向量的数量积称为内积，写成a·b;与
代数中的数a·b不同，书写时要严格区分；
3、在实数中，若a≠0，且a·b=0,则b=0；但在
数量积中，若a≠0，且a·b=0,不能推出b=0。
因为其中cosθ有可能为0
4、已知实数a、b、c（b≠0)，则有ab=bc
得a=c.但是有a·b=b·c不能得a=c
5、在实数中（a·b)c=a(b·c),
但（a·b)c ≠ a(b·c),
要注意的是：例2.我们知道，对任意 ，恒有
对任意向量 是否也有下面类似的结论？例3.已知 ， 的夹角60º，
求 。
例4.已知 ，且 与 不共线，k为何值时，
向量 与 互相垂直。小结
向量数量积计算时,
一要算准向量的模,
二要找准两个向量的夹角。
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