资料简介
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四 直角三角形的射影定理
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四 直角三角形的射影定理 ZHISHI SHULI
知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO
重难聚焦 DIANLI TOUXI
典例透析MUBIAODAOHANG
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1.掌握正射影即射影的概念,能画出点和线段的射影.
2.理解并掌握射影定理,并能解决有关问题.
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1.射影
从一点向一条直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的
正射影.一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段,叫
做这条线段在这条直线上的正射影.点和线段的正射影简称为射影.
【做一做1】线段MN在直线l上的射影不可能是( )
A.点 B.线段
C.与MN等长的线段 D.直线
解析:当MN⊥l时,射影是一个点;当MN与l不垂直时,射影是一条线
段;特别地,当MN∥l或MN在l上时,射影与MN等长,线段MN的射影不
可能是直线.
答案:D
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2.射影定理
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名师点拨
1.勾股定理:AC2+BC2=AB2,AD2+CD2=AC2,BD2+CD2=BC2.
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【做一做2-1】如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,且
CD=4,则AD·DB等于( )
A.16 B.4
C.2 D.不确定
解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB,
∴AD·DB=CD2.
又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.
答案:A
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【做一做2-2】如图,在Rt△ABC中,AC⊥BC,点C在AB上的正射
影为点D,且AC=3,AD=2,则AB= .
解析:∵AC⊥CB,
又∵点D是点C在AB上的正射影,
∴CD⊥AB,∴AC2=AD·AB.
又∵AC=3,AD=2,
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用射影定理证明勾股定理
剖析:如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,则由射影定理
可得AC2=AD·AB,BC2=BD·BA,
则AC2+BC2=AD·AB+BD·BA=(AD+BD)·AB=AB2,即
AC2+BC2=AB2.
由此可见,利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积
割补的方法证明勾股定理的,现在我们又用射影定理证明了勾股定
理,而且这种方法简洁明快,比用面积割补的方法要方便得多.
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题型一 题型二 题型三
【例1】若CD是Rt△ACB斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试确定
DB和CD的长.
分析:先用射影定理求出AD,从而求出DB,再用
射影定理求出CD.
解:∵AC⊥CB,CD⊥AB,
∴AC2=AD·AB,CD2=AD·DB.
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题型一 题型二 题型三
反思1.本题可先用勾股定理求出BC,再用射影定理求出BD,最后
用勾股定理求出CD;此外还有其他方法.
2.运用射影定理进行直角三角形中的相关计算,有时需要与直角
三角形的其他性质相结合来解.如本题中,直角三角形中的六条线
段AC,BC,CD,AD,DB,AB,若已知其中任意两条线段的长,就可以计
算出其余线段的长.
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题型一 题型二 题型三
【变式训练1】如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高.若
AD=2 cm,DB=6 cm,求CD,AC,BC的长.
解:∵AC⊥CB,CD⊥AB,
∴CD2=AD·DB=2×6=12,
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题型一 题型二 题型三
【例2】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分
∠ABC交AC于点E,EF⊥BC于点F.求证:EF∶DF=BC∶AC.
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题型一 题型二 题型三
反思利用射影定理证明比例式成立的证明问题在本部分中比较
常见,在解题过程中,应弄清射影定理中成比例的线段,再结合比例
的基本性质加以灵活运用.
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题型一 题型二 题型三
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题型一 题型二 题型三
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题型一 题型二 题型三
易错点:射影定理记忆不牢而致错
【例3】在Rt△ACB中,∠C=90°,CD⊥AB于D,若BD∶AD=1∶9,则
tan∠BCD= .
错解:在Rt△ACB中,设BD=x,则AD=9x,
又∵CD2=AD·AB,
错因分析:本题的错因是没有准确地记住射影定理中的三组公式,
误认为CD2=AD·AB致误.
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题型一 题型二 题型三
正解:在Rt△ACB中,CD⊥AB,由射影定理得CD2=AD·BD.
又BD∶AD=1∶9,令BD=x,
则AD=9x(x>0).
∴CD2=9x2.
∴CD=3x.
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