天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 人教版（2012） / 七年级上册 / 第三章 一元一次方程 / 人教版七年级数学上册3.4 实际问题与一元一次方程课件
资料简介
3.4 实际问题与一元一次方程/
3.4 实际问题与一元一次方程
第一课时
第二课时
第三课时
第四课时
人教版 数学 七年级 上册
3.4 实际问题与一元一次方程/
前面我们学习了一元一次方程的解法，本节课，我们将
讨论一元一次方程的应用. 生活中，有很多需要进行配套的
问题，如课桌和凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等，大
家能举出生活中配套问题的例子吗？
导入新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
2. 分清有关数量关系，能正确找出作为列方
程依据的主要等量关系.
1. 理解配套问题、工程问题的背景.
3. 掌握用一元一次方程解决实际问题的基本
过程.
素养目标
3.4 实际问题与一元一次方程/
例1 某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个
螺母. 1个螺钉需要配 2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好
配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
想一想：本题需要我们解决的问题是什么？
题目中哪些信息能解决人员安排的问题？
螺母和螺钉的数量关系如何？
如果设x名工
人生产螺母，怎
样列方程？
知识点 1 配套问题
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
列表分析：
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺钉 x 1200
螺母 2000
× ＝ 1200 x
人数和为22人
22－x
螺母总产量是螺钉的2倍
× ＝ 2000(22－
x)
等量关系：螺母总量=螺钉总量×2
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
解：设应安排 x 名工人生产螺钉，(22－x)名工人生产螺母.
依题意，得
2000(22－x)＝2×1200x .
解方程，得 x＝10.
所以 22－x＝12.
答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.
还有别的方法吗？
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
列表分析：
产品类型 生产人数 单人产量 总产量 产品套数
螺钉 x 1200
螺母 2000
1200 x
22－x 2000(22－
x)
1200 x
解方程，得 x＝10. 所以22－x＝12.
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
生产调配问题通常从调配后各量之间的倍、分关系寻找
相等关系，建立方程.解决配套问题的思路：
1.利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程
的依据；
2.利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据.
探究新知
归纳总结
3.4 实际问题与一元一次方程/
1. 如图，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑
皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，求白皮，黑
皮各多少块？
分析：由图可得，一块白皮（六边形）中，有
三边与黑皮（五边形）相连，因此白皮边数是
黑皮边数的2倍．
数量 边数
黑皮 x 5x
白皮 32-x 6(32-x)
等量关系：
白皮边数=黑皮边数×2
巩固练习
3.4 实际问题与一元一次方程/
解：设足球上黑皮有x块，则白皮为(32-x)块，
五边形的边数共有5x条，六边形边数有6(32-x)条．
依题意,得 2×5x=6（32-x）,
解得 x=12，则32-x=20.
答：白皮20块，黑皮12块.
巩固练习
3.4 实际问题与一元一次方程/
2.一套仪器由一个 A 部件和三个 B 部件构成. 用1 立
方米钢材可做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件.现要用 6
立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做 A 部件，
多少钢材做B部件，才能恰好配成这种仪器？共配成
多少套？
分析：由题意知 B 部件的数量是 A 部件数量的 3 倍，
可根据这一等量关系式得到方程.
巩固练习
3.4 实际问题与一元一次方程/
解：设应用 x 立方米钢材做 A 部件，则应用(6－x)立方米做
B 部件.
根据题意，列方程：
3×40x = (6－x)×240.
解得 x = 4.
则 6－x = 2.
共配成仪器：4×40=160 (套).
答：应用 4 立方米钢材做 A 部件， 2 立方米钢材做 B 部
件，共配成仪器 160 套.
巩固练习
3.4 实际问题与一元一次方程/
如果把总工作量设为1，则人均效率 (一个人 1 h 完成的工作量) 为 ，
x人先做 4h 完成的工作量为 ，增加 2 人后再做 8h 完成的工作
量为 ， 这两个工作量之和等于 .
工程问题
例2 整理一批图书，由一个人做要 40 h 完成. 现计划由一部分
人先做 4 h，然后增加 2人与他们一起做8 h，完成这项工作.
假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
分析：在工程问题中：工作量=人均效率×人数×时间；
工作总量=各部分工作量之和.
总工作量
知识点 2
探究新知
如果设先安排 x人
做4 h，你能列出方
程吗？
3.4 实际问题与一元一次方程/
人均效率 人数 时间 工作量
前一部
分工作 x 4
后一部
分工作 x＋2 8
× × ＝
工作量之和等
于总工作量1
× ＝×
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
解：设先安排 x 人做4 h，根据题意得等量关系：
可列方程
解方程，得
4x＋8(x＋2)＝40，
4x＋8x＋16＝40，
12x＝24，
x＝2.
答：应先安排 2人做4 小时.
前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
3. 加工某种工件，甲单独做要20天完成，乙只要10天就
能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务．问乙需
工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？
效率 时间 工作量
甲
乙 x
12-x
巩固练习
3.4 实际问题与一元一次方程/
解：设乙需工作x天后甲再继续加工才可正好按期完成任
务，则甲做了（12-x）天.
依题意，得
解得
x=8.
答：乙需工作8天后甲再继续加工才可正好按期完成任务.
巩固练习
3.4 实际问题与一元一次方程/
4.若要求二人在8天内完成任务，乙先加工几天后，甲加
入合作加工，恰好能如期完成任务？
效率 时间 工作量
甲
乙 8
x
巩固练习
3.4 实际问题与一元一次方程/
解：设甲加工x天，两人如期完成任务，则在甲加入之前，
乙先工作了(8-x)天.
依题意，得
解得 x=4,
则 8-x=4.
答：乙需加工4天后,甲加入合作加工才可正好按期完成任务.
巩固练习
3.4 实际问题与一元一次方程/
解决工程问题的基本思路：
1. 三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.
它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.
2. 相等关系：工作总量=各部分工作量之和.
(1) 按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和；
(2) 按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和.
3. 通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作1.
巩固练习
归纳总结
3.4 实际问题与一元一次方程/
5. 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙
工程队单独铺设需要24天. 如果由这两个工程队从两端同
时施工，要多少天可以铺好这条管线？
分析：把工作量看作单位“1”，则甲的工作效率为 ，乙的工作效率
为 ，根据工作效率×工作时间=工作量，列方程.
巩固练习
解方程，得 x = 8.
答：要8天可以铺好这条管线.
解：设要 x 天可以铺好这条管线，由题意得：
3.4 实际问题与一元一次方程/
甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端
点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点
后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点…
若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后
100s内，两人相遇的次数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
连 接 中 考
B
巩固练习
3.4 实际问题与一元一次方程/
1. 某人一天能加工甲种零件 50个或加工乙种零件20个，1
个甲种零件与 2 个乙种零件配成一套，30 天制作最多的成
套产品，若设 x 天制作甲种零件，则可列方程为
. 2×50x = 20(30－x)
2. 一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果 两人合
做8天后，余下的工作再由甲独做x天完成，那么所列方程
为 .
基 础 巩 固 题
课堂检测
3.4 实际问题与一元一次方程/
3. 某家具厂生产一种方桌，1立方米的木材可做50个桌面或
300条桌腿，现有10立方米的木材，怎样分配生产桌面和桌
腿使用的木材，才能使桌面、桌腿刚好配套，共可生产多少
张方桌？(一张方桌有1个桌面，4条桌腿)
解：设用 x 立方米的木材做桌面，则用 (10－x) 立方米的木材做桌腿.
根据题意，得 4×50x = 300(10－x)，
解得 x =6， 所以 10－x = 4，
可做方桌为50×6=300(张).
答：用6立方米的木材做桌面，4立方米的木材做桌腿，可做300张方桌.
课堂检测
基 础 巩 固 题
3.4 实际问题与一元一次方程/
1. 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，
现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做. 剩下
的部分需要几小时完成？
解：设剩下的部分需要x小时完成，根据题意得：
解得 x = 6.
答：剩下的部分需要6小时完成.
能 力 提 升 题
课堂检测
3.4 实际问题与一元一次方程/
2. 一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独做24天完
成．现在甲乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程
由乙队完成，问乙队还需几天才能完成？
解：设乙队还需x天才能完成，由题意得：
解得 x = 13.
答：乙队还需13天才能完成．
课堂检测
能 力 提 升 题
3.4 实际问题与一元一次方程/
某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装2块大月饼和4块
小月饼，制作1块大月饼要用面粉0.05 kg，制作1块小月饼要用面粉
0.02 kg，现共有面粉4500 kg，制作两种月饼应各用多少面粉，才
能生产最多的盒装月饼？
解：设制作大月饼用 x kg面粉，制作小月饼用（4500 – x） kg面粉，才
能生产最多的盒装月饼.
根据题意，得
解得 x = 2500，4500 – x = 4500 – 2500 = 2000.
即制作大月饼用2500 kg面粉，制作小月饼用2000 kg面粉，才能生产最多
的盒装月饼.
拓 广 探 索 题
课堂检测
3.4 实际问题与一元一次方程/
实际问题
实际问题
的答案
一元一次方程
一元一次方程的
解（x=a）
设未知数
列方程
解方程
检验
课堂小结
3.4 实际问题与一元一次方程/导入新知
小明的妈妈在商场用180元购买一件衣服，据了解
这件衣服的进价是120元，你知道这件衣服的利润和利
润率各是多少吗？带着这个问题，
本节课我们将学习运用一元一次方
程解决销售中的盈亏问题.
3.4 实际问题与一元一次方程/
1.理解销售问题中的有关概念及相关的数量关系.
2. 会运用一元一次方程解决商品销售中的盈亏
问题.
素养目标
3.4 实际问题与一元一次方程/
生活中，我们经常可以在各种销售场合看见一些商品优惠信
息，你知道它们的意思吗？
知识点 1 盈余问题
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
3. 某商品原来每件零售价是 a 元，现在每件降价10%，降
价后每件零售价是 元.
4. 某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，则该品牌
彩电每台原价应为 元.
1. 商品原价200元，九折出售，售价是 元.
5. 某商品按定价的八折出售，售价是12.8元，则原定售价
是 元.
2. 商品进价是150元，售价是180元，则利润是 元，
利润率是_____.
180
30
20％
0.9a
1.25a
16
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
以上问题中有哪些量?
成本价(进价)
； 标价 (原价)；
销售价；
利润；盈利；亏损； 利润率.
这些量有何关系?
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
商品利润利润率=
= 商品售价－商品进价
●售价、进价、利润的关系：
商品利润
●进价、利润、利润率的关系：
商品进价 ×100%
折扣数
●标价、折扣数、商品售价的关系：
商品售价＝标价× 10
●商品售价、进价、利润率的关系：
商品进价商品售价= ×(1+利润率)
销
售
中
的
盈
亏
探究新知
归
纳
总
结
3.4 实际问题与一元一次方程/
你估计盈亏情况是怎样的？
A. 盈利
B. 亏损
C. 不盈不亏
例1 一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，
其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总
的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?
¥60 ¥60
素养考点 1 判断销售中的盈余问题
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
思考：销售的盈亏取决于什么
？
取决于总售价与总成本(两件衣服的成本之和)的关系.
总售价(120元) ＞ 总成本
总售价(120元) ＜ 总成本
总售价(120元) ＝ 总成本
盈 利
亏 损
不盈不亏
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
现在两件衣服的售价为已知条件，要知道卖这两
件衣服是盈利还是亏损，还需要知道什么？
两件衣服的成本(即进价).
如果设盈利的那件衣服的进价为x 元，
根据进价、利润率、售价之间的关系，
你能列出方程求解吗？同理，如果设另
一件衣服的进价为 y 元呢？
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
(2) 设亏损25%的衣服进价是 y元，
依题意得 y－0.25y＝60.
解得 y＝80.
(1) 设盈利25%的衣服进价是 x 元，
依题意得 x＋0.25 x＝60.
解得 x＝48.
解：
两件衣服总成本：x+y=48＋80＝128 (元).
因为120－128＝－8(元)
所以卖这两件衣服共亏损了8元.
与你猜想的一
致吗？
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
1. 某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元. 其中一
台盈利20%，另一台亏损20%.这次琴行是盈利还是亏
损，或是不盈不亏？
2. 某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一
个盈利60%，另一个亏本20%.这次交易中的盈亏情况
？
答案：这次交易盈利8元.
答案：这次琴行亏本80元.
巩固练习
3.4 实际问题与一元一次方程/
例2 某商品的零售价是900元，为适应竞争，商店按零
售价打9折 (即原价的90%)，并再让利40元销售，仍可获
利10%，求该商品的进价．
解：设该商品的进价为每件 x 元，
依题意，得 900×0.9－40＝10% x ＋x，
解得 x＝700.
答：该商品的进价为700元．
素养考点 2 销售中的价格、利润问题
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
3. 某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出
售，仍获利10%，则该商品的标价为
元.
4. 我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，
某种药品在 2015 年涨价 30% 后，2017年又降价 70% 至 a
元，则这种药品在2015 年涨价前的价格为 元.
2722.5
巩固练习
3.4 实际问题与一元一次方程/
一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其
中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商
店（ ）
A．不盈不亏
B．盈利20元
C．亏损10元
D．亏损30元
连 接 中 考
解析：设两件衣服的进价分别为x、y元，
根据题意得：120﹣x=20%x，y﹣120=20%y
，
解得：x=100，y=150，
∴120+120﹣100﹣150=﹣10（元）．
C
巩固练习
3.4 实际问题与一元一次方程/
1. 一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中
一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品
总的盈亏情况是（ ）
A．亏损20元 B．盈利30元
C．亏损50元 D．不盈不亏
A
基 础 巩 固 题
课堂检测
3.4 实际问题与一元一次方程/
2.某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折
出售，将赔25元，而按原定价的九折出售，将赚20元，则
这种商品的原价是（ ）
A．500元 B．400元 C．300元 D．200元
C
3. 某种商品的进价是400元，标价是600元，打折销售
时的利润率为5%，那么此商品是打_____折出售.七
课堂检测
基 础 巩 固 题
3.4 实际问题与一元一次方程/
某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况
不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%，
那么商店最多可打几折出售此商品？
解：设商店最多可以打x折出售此商品，
根据题意，得
解得 x = 7.
答:商店最多可以打7折出售此商品.
能 力 提 升 题
课堂检测
3.4 实际问题与一元一次方程/
现对某商品降价20%促销，为了使销售总金额不
变，销售量要比原销售量增加百分之几？
拓 广 探 索 题
解：设销售量要增加x.
则由题意可知（1-20%）（1+x）=1
解得 x = 0.25
答：销售量要比原销售量增加25%.
课堂检测
3.4 实际问题与一元一次方程/
商品利润利润率=
= 商品售价－商品进价
●售价、进价、利润的关系：
商品利润
●进价、利润、利润率的关系：
商品进价 ×100%
折扣数
●标价、折扣数、商品售价的关系：
商品售价＝标价× 10
●商品售价、进价、利润率的关系：
商品进价商品售价= ×(1+利润率)
销
售
中
的
盈
亏
课堂小结
3.4 实际问题与一元一次方程/
你喜欢看篮球比赛吗？你对篮球比赛中的积分
规则有了解吗？
导入新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
2. 通过分析图表获取信息，正确找出相等关
系，列一元一次方程解决有关问题.
1. 弄清球赛积分与胜、平、负场次之间的关系
，通过列一元一次方程解决球赛积分问题.
素养目标
3.4 实际问题与一元一次方程/
比赛积分问题
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
某次篮球联赛积分榜如下：
知识点 1
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
队名 比赛
场次
胜
场
负
场
积
分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
（1）你能从表格中了解到哪些信息
？
每队胜场总积分＋负场总积分
＝这个队的总积分；
每队的胜场数＋负场数
＝这个队比赛场次；
每队胜场总积分=
胜1场得分×胜场数……
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
（2）你能从表格中看出负一场
积多少分吗？
由钢铁队得分可知负一场积1分.
队名 比赛
场次
胜
场
负
场
积
分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
（3）你能进一步算出胜一场积多少
分吗？
解：设胜一场积 x 分， 依题意，得
10x＋1×4＝24.
解得 x＝2.
经检验，x＝2符合题意.
所以，胜一场积2分.
队名 比赛
场次
胜
场
负
场
积
分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
分析：设胜一场积 x 分，根据表中其他
任何一行可以列方程求解，这里以第一
行为例.
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
（4）怎样用式子表示总积分与胜、负场数之间的关系？
解：若一个队胜 m场，则负 (14－m) 场，胜场积分为
2m，负场积分为14－m，总积分为：
2m + (14－m) = m +14.
即胜m场的总积分为 (m +14) 分.
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
（5）某队胜场总积分能等于它负场总积分吗
？ 解：设一个队胜 x 场，则负 (14－x) 场，
依题意得 2x＝14－－x.
解得 x＝ .
解决实际问题时，要考虑得到的结果是不是符合
实际.
x 表示什么量
？它可以是
分数吗？
x 表示所胜的场数，必须是整数，所以x＝ 不符合实际.
由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分.
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
例 某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下：
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
A 18 14 4 32
B 18 11 7 29
C 18 9 9 27
根据表格提供的信息，你能求出胜一场、负一场各
积多少分吗?
分析：关键信息是由C队的积分得出等量关系：
胜场积分+负场积分=3.
素养考点 1 比赛中的积分问题
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
解：由C队的得分可知，胜场积分+负场积分=27÷9=3.
设胜一场积x分，则负一场积(3-x)分.
根据A队得分，可列方程为
14x+4(3-x)=32，
解得x=2，则3-x=1.
答：胜一场积2分，则负一场积1分.
想一想：某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
能.
胜6场、负12场时，胜场总积分等于它的负场总积分.
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
1.某赛季篮球甲A 联赛部分球队积分榜如下：
(1) 列式表示积分与胜、负场数之间的数量关系；
(2) 某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
为什么？
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
八一双鹿 22 18 4 40
北京首钢 22 14 8 36
浙江万马 22 7 15 29
沈部雄狮 22 0 22 22
巩固练习
3.4 实际问题与一元一次方程/
解：观察积分榜，从最下面一行可知负一场积1分.
设胜一场积x分，从表中其他任何一行可以列方程，求
出x的值. 例如，从第一行得出方程：
18x＋1×4＝40．
由此得出 x＝2.
所以，负一场积1分，胜一场积2分.
(1) 如果一个队胜 m场，则负 (22－m) 场，胜场积分
为2m，负场积分为22－m，总积分为：
2m＋(22－m)＝m＋22.
巩固练习
3.4 实际问题与一元一次方程/
(2) 设一个队胜了x场，则负了(22－x)场，如果这个队的
胜场总积分等于负场总积分，则有方程：
2x=22－－x.
解得
其中，x(胜场)的值必须是整数，所以 不符合
实际.由此可以判定没有哪个队伍的胜场总积分等于负场总
积分.
巩固练习
3.4 实际问题与一元一次方程/
篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分，某篮
球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是（
）
A．2 B．3 C．4 D．5
连 接 中 考
解析：设该队获胜x场，则负了（6﹣x）场，
根据题意得： 3x+（6﹣x）=12，
解得：x=3．
答：该队获胜3场．
B
巩固练习
3.4 实际问题与一元一次方程/
1. 某球队参加比赛，开局 9 场保持不败，积 21 分， 比赛
规则：胜一场得 3 分，平一场得 1分，则该队共胜 （ ）
A. 4场 B. 5场 C. 6场
D. 7场
C
2. 中国男篮CBA职业联赛的积分办法是：胜一场积 2 分，
负一场积 1 分，某支球队参加了12 场比赛， 总积分恰是所
胜场数的 4 倍，则该球队共胜____ 场.4
基 础 巩 固 题
课堂检测
3.4 实际问题与一元一次方程/
某次知识竞赛共20道题，每答对一题得8分，答错或不答
要扣3分. 某选手在这次竞赛中共得 116 分，那么他答对几道
题？
解：设答对了 x 道题，则有 (20－x) 道题答错或不答，
由题意得：
8x－(20－x)×3＝116.
解得 x＝16.
答：他答对16道题．
能 力 提 升 题
课堂检测
3.4 实际问题与一元一次方程/
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁
把互动探究中积分榜的最后一行删去(如下表)
，如何求出胜一场积几分，负一场积几分.
拓 广 探 索 题
课堂检测
3.4 实际问题与一元一次方程/
解：可以求出.
从雄鹰队或远大队的积分可以看出胜一场与负一场共得
21÷7 = 3 (分)，设每队胜一场积 x 分，
则负一场积 (3－x) 分，根据前进队的信息可列方程为：
10x + 4(3－x) = 24.
解得 x = 2.
所以 3－x =1.
答：胜一场积 2 分，负一场积 1 分.
你还有其
他的方法吗？
课堂检测
3.4 实际问题与一元一次方程/
表 格 中 的
数 量 关 系
解决有关表格的问题时，首先要根据表格中给
出的相关信息，找出数量间的关系，然后再运
用数学知识解决问题.
比
赛
中
的
积
分
问
题
用方程解决实际问题时，要注意检验方程的
解是否正确，且符合问题的实际意义． 注 意
课堂小结
3.4 实际问题与一元一次方程/
现在手机非常普及，你有手机吗？
你的手机是如何收费的？
你家里有几台手机？
你知道手机的收费标准吗？
导入新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
2. 体会分类思想和方程思想，增强应用意识和应
用能力.
1. 会从电话计费方式中寻找数量关系，列出方
程.
素养目标
3.4 实际问题与一元一次方程/
知识点 1 计费问题
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
下表中有两种移动电话计费方式：
免费0.1935088方式二
免费0.2515058方式一
被叫主叫超时
费/(元/分)
主叫限定
时间/分
月使用
费/元
探究新知
想一想 你觉得哪种计费方式更省钱？
3.4 实际问题与一元一次方程/
填填下面的表格，你有什么发现？
主叫时间(分) 100 150 250 300 350 450
方式一计费(元)
方式二计费(元)
58 58 83 95.5 108 133
88 88 88 88 88 107
计费方式一 0 加超时费0.19元/分基本费88元
基本费58元 加超时费0.25元/分
150分
350分
计费方式二
哪种计费方式更省钱与“主叫时间有关”.
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
考虑 t 的取值时，两个主叫限定时间 150 min和 350 min是
不同时间范围的划分点.
计费时首先要看主叫是否超过限定时间，主叫不超过限定时间，
月使用费一定；
主叫超过限定时间，超时部分加收超时费.
（1）设一个月内移动电话主叫为 t min (t是正整数)，列表
说明：当 t 在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二
如何计费.
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
当 t 在不同时间范围内取值时，方式一和方式二的计费如下表：
主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元
t 小于150
t 等于150
t 大于150且小于 350
t 等于350
t 大于350
58 88
58 88
58+0.25(t－150) 88
88108
58+0.25(t－150) 88＋0.19(t－350)
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元
t 小于150 58 88
t 等于150 58 88
t 大于150且小于 350 58+0.25(t－150) 88
t 等于350 108 88
t 大于350 58+0.25(t－150) 88＋0.19(t－
350)
（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择
省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法.
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元
t 小于150 58 88
t 等于150 58 88
当t ≤150时，方式一计费少(58元)；
(1) 比较下列表格的第2、3行，你能得出什么结论
？
< < 探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元
t 等于150 58 88
t 大于150且小于 350 58+0.25(t－150) 88
t 等于350 108 88
(2) 比较下列表格的第2、4行，你能得出什么结论？
>
< 当t 大于150且小于 350时，存在某一个值，使得两种方式计费相等. 依题意 ，得58＋0.25(t－150) = 88， 解得 t =270. 探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元
t 大于350 58＋0.25(t－
150)
88+0.19(t－
350)
解析：当t＞350分时，方式一的计费其实就是在108元的基础
上，加上超过350分部分的超时费[0.25(t－350)].
(3) 当t >350分时，两种计费方式哪种更合算呢？
当t >350时，
方式一： 58＋0.25(t－150)= 108＋0.25(t－350)，
方式二： 88＋0.19(t－350)，
所以，当t ＞350分时，方式二计费少.
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
加超时费0.19元/分基本费88元
加超时费0.25元/分 基本费58元
3500 150
计费方式一
计费方式二
108
88
58
88
（ t 是正整数）
t /分
88
88
270
综合以上的分析，可以发现：
时，选择方式一省钱；
时，选择方式二省钱；
时，方式一、方式二均可．
t 小于 270
t 大于 270
t 等于 270
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
(1)回顾问题的解决过程，谈谈你的收获.
(2)解决本题的过程中你觉得最难突破的步骤是哪些？
本题中运用了哪些方法突破这些难点？
(3)电话计费问题的解决过程中运用一元一次方程解决
了什么问题？
想一想
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
列表分析
借助数轴
审
题
分类讨论
更
优
惠
费
用
相
同
列
方
程
用
未
知
数
表
示
费
用
设
未
知
数
如何比较两个
代数式的大小
要找不等关系
先找等量关系
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
例 小明和小强为了买同一种火车模型，决定从春节开始攒钱，
小明原有200元，以后每月存50元；小强原有150元，以后月
存60元，每人攒钱的月数为x（个）（x为整数）．
（1）根据题意，填写下表：
攒钱的月数/
个 3 6 … x
小明攒钱的总
数/元 350 …
小强攒钱的总
数/元 510 …330
500 200+50x
150+60x
素养考点 生活中的计费问题
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
（2）在几个月后小明与小强攒钱的总数相同？此时他们各
有多少钱？
解：根据题意，得200+50x=150+60x，
解得 x=5．
所以 150+60x=450．
答：在5个月后小明与小强攒钱的总数相同，此时每
人有450元钱．
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
（3）若这种火车模型的价格为780元，他们谁能够先买到
该模型？
解：根据题意，由200+50x=780，
解得 x=11.6，
故小明在12个月后攒钱的总数超过780元.
由150+60x=780，解得x=10.5，
故小强在11个月后攒钱的总数超过780元.
所以小强能够先买到该模型．
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
方法总结：解决此类问题的关键是能够根据
已知条件找到合适的分段点，然后建立方程
模型分类讨论，从而得出整体选择方案.
探究新知
3.4 实际问题与一元一次方程/
移动公司推出两种智能手机上网流量包：
月使用费
(元)
含上网流量
(M)
流量超出部分
(元/M)
A种 30 320 0.2
B种 50 550 0.1
如何选择流量包更划算？
巩固练习
3.4 实际问题与一元一次方程/
解：设一个月内使用的流量为 x M，根据题意，当x在不同范围
内取值时，两种流量包计费如下表：
使用流量 x(M) A种计费(元) B种计费(元)
x小于等于320 30 50
x大于320且小于550 30+0.2(x－320) 50
x等于550 76 50
x大于550 30+0.2(x－320) 50+0.1(x－550)
(1) 当 x ≤ 320 时，流量包A计费少(30元)；
(2) 当 320＜x＜420 时，流量包A 计费少(＜50元)
；
(3) 当 x = 420时，两种流量包计费相等，都是50元；
巩固练习
3.4 实际问题与一元一次方程/
(4) 当 420＜x＜550 时，流量包B 计费少(50元)；
(5) 当 x = 550 时，流量包B 计费少(50元)；
(6) 当 x＞550 时，流量包B 计费少.
综上所述，
当月使用流量小于 420 M 时，选择流量包A 划算；
当月使用流量等于 420 M 时，两种流量包费用一样；
当月使用流量大于 420 M 时，选择流量包B 划算.
巩固练习
3.4 实际问题与一元一次方程/
1. 小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超
过5吨，每吨水费x元；超过5吨，超过部分每吨加收2元，小
明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关
于x的方程正确的是（ ）
A．5x+4（x+2）=44 B．5x+4（x-2）=44
C．9（x+2）=44 D．9（x+2）-4×2=44
A
基 础 巩 固 题
课堂检测
3.4 实际问题与一元一次方程/
2. 某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方
式收取水费：若每户每月用水不超过 7m3，则按 2 元/m3
收费；若每户每月用水超过 7 m3，则超过的部分按 3元/m3
收费. 如果某居民户去年12月缴纳了 53 元水费，那么这户
居民去年12月 的用水量为_______m3.20
课堂检测
基 础 巩 固 题
3.4 实际问题与一元一次方程/
3. 某市生活拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一.
A计时制：0.05 元/分钟；B包月制：60 元/月(限一部个人住
宅电话上网). 此外，两种上网方式都得加收通信费 0.02
元/分钟．
(1) 某用户某月上网时间为x小时，请分别写出两种收费方
式下该用户应该支付的费用；
(2) 你认为采用哪种方式比较合算？
课堂检测
基 础 巩 固 题
3.4 实际问题与一元一次方程/
(2) 由 4.2x ＝ 60＋1.2x，得 x＝20. 又由题意可知，
上网时间越长，采用包月制越合算．
所以，当 0 < x < 20 时，采用计时制合算； 当 x＝20 时，两种方式费用相同； 当 x > 20 时，采用包月制合算．
解：(1) 采用计时制：(0.05＋0.02)×60x＝4.2x，
采用包月制：60＋0.02×60x＝60＋1.2x；
课堂检测
3.4 实际问题与一元一次方程/
用A4纸在某复印社复印文件，复印页数不超过20时每
页收费0.12元；复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09
元.在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收
费0.1元.
问：如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较
便宜？ (复印的页数不为零)
能 力 提 升 题
课堂检测
3.4 实际问题与一元一次方程/
复印页数x 复印社复印费用/
元 图书馆复印费用/元
x 小于20 0.12x 0.1x
x 等于20 0.12×20＝2.4 0.1×20＝2
x 大于20 2.4＋0.09(x－20) 0.1x
解：设复印页数为x，依题意，列表得：
(1)当 x ＜20 时，0.12x 大于 0.1x 恒成立，图书馆价
格便宜；
(2) 当 x = 20 时，图书馆价格便宜；
课堂检测
3.4 实际问题与一元一次方程/
(3) 当 x 大于20时，依题意得
2.4+0.09(x－20) ＝ 0.1x.
解得 x ＝ 60
所以，当x大于20且小于60时，图书馆价格便宜；
当x等于60时，两者价格相同；
当x大于60时，复印社价格便宜.
综上所述：当 x 小于60页时，图书馆价格便宜；
当 x 等于60时，两者价格相同；
当 x 大于60时，复印社价格便宜.
课堂检测
3.4 实际问题与一元一次方程/
小王到超市购物,售货员告诉他,如果花20元钱办理“会员
卡”,将享受八折优惠.请问:
(1)在这次购物中小王买标价为多少元商品的情况下办会员卡
与不办会员卡花钱一样多?
(2)当小王买标价为200元的商品时,怎么做合算?能省多少钱?
(3)当小王买标价为60元的商品时,怎么做合算?能省多少钱?
拓 广 探 索 题
课堂检测
3.4 实际问题与一元一次方程/
解：(1)设买标价x元的商品办会员卡与不办会员卡花钱一样多.根据
题意，得x=20+0.8x，解得x=100.
答：买标价100元的商品办会员卡与不办会员卡花钱一样多.
(2)不办会员卡花200元，办会员卡时花20+200×0.8= 180(元)，所以买
标价为200元的商品时,办会员卡合算，能省20元.
(3)不办会员卡花60元，办会员卡花20+60×0.8=68(元)，所以买标价
为60元的商品时,不办会员卡合算，能省8元.
课堂检测
3.4 实际问题与一元一次方程/
方 法 解决电话计费问题需要明确“哪种计费方
式更省钱”与“主叫时间”有关.
关 键
此类问题的关键是能够根据已知条件找到
合适的分段点，然后建立方程模型分类讨
论，从而得出整体选择方案.
计费
问题
课堂小结
3.4 实际问题与一元一次方程/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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