资料简介
第24章
24.1圆、、垂径定理、圆心角、圆周角（1）
24.1.4 圆周角
• 1.理解圆周角定义，了解圆周角与圆心角的关系，会在具
体情景中辨别圆周角。
• 2.掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的
计算和证明。
• 3.经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动
过程，体验圆周角定理的探究过程，培养合情推理能力、
逻辑思维能力、推理论证能力和用几何语言表达的能力。
学习目标：
复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
能仿照圆心角的定义，给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角
叫做圆周角．
P
P
P P
不是 是 不是 不是
顶点不在
圆上。
顶点在圆上，两
边和圆相交。 两边不和圆相
交。
有一边和圆不相
交。
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
有没有圆周角？
有没有圆心角？
它们有什么共同的特点？
它们都对着同一条弧
⌒
⌒
画一个圆,再任意画一个圆周角,看一下圆心在什么位置?
圆心在一边上 圆心在角内 圆心在角外
• 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关
系?
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
圆周角和圆心角的关系
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
●O
A
B
C第二种情况：如果圆心不在圆周角的一边上,结果会
怎样?
2.当圆心O在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC
与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
●O
∴ ∠ABC = ∠AOC.
A
B
C
D
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
●O
A
B
C
第三种情况：如果圆心不在圆周角的一边上,结果
会怎样?
3.当圆心O在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角
∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否也转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
●O
∴ ∠ABC = ∠AOC.
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
D
∠ABD = ∠AOD,∠CBD =
∠COD,
A
B
C
巩固练习：
如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个
内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
A
B C
D
1
2
3 4 5
6
78
圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系
在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
在同圆或等圆中，
·A B
C1
O
C2
C3
归纳：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这
条弧所对的圆心角的一半．
定理
半圆（或直径）所对的圆周角是直角;
90°的圆周角所对的弦是直径．
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等
推论
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=__________。
O
A B
CBA
O.
70° x
1.求圆中角X的度数
A
O.
X
120°
A
O.
X
120°
C
C
D
B
练习：
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对
弧一定相等吗？为什么？
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相
等，它们所对的弧一定相等．
B
A C
D
E
E
●O
B
D
C
A
规律：都相等，都等于圆心角∠AOC的一半
AC所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的
大小有什么关系？
⌒
结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
•当球员在B,D,E处射门时,他所处
的位置对球门AC分别形成三个张
角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角
的大小有什么关系?.
A
B
C
D
在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等.
则 ∠ D=∠A
∴AB∥CD
如图, 若 AC = BD
⌒ ⌒
问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问：
∠C1、∠C2、∠C3的度数是 。
A BO
C1
C2 C3
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直90°
的圆周角所对的弦是直径。
问题2： 若∠C1、∠C2、∠C3是直角，那么
∠AOB是 。
90°
180°
探究与思考：
• 1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等
于（ ）
• A、50°； B、80°； C、90°； D、
100°
A
C
B O
D
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧
AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等于（ ）
A、30°； B、60°；C、90°； D、45°
C
A B
P
B
练一练
• 3、如图，∠A=50°， ∠AOC=60 °
• BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ ）
• A、70°；
• B、110°；
• C、90°；
• D、120°
B
A
CB
O
DE
练一练
• 3、如图，∠A=50°， ∠AOC=60 °
• BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ ）
• A、70°； B、110°；
• C、90°； D、120°
B
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 。
A
CB
O
DE
C
A
B
O
解：连接OA、OB
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
2
3.已知⊙O中弦AB的等于半径，
求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
O
A B
圆心角为60度
圆周角为 30 度
或 150 度。
在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
2、如图，在⊙O中，AB为直径，CB = CF,
弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E
求证：BE=EC
⌒⌒
例: 如图，AB是⊙O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,∠ACB的
平分线交⊙O于点D . 求 BC, AD ,BD 的长.
10
6
练习:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若
∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
A BO
C
D
40°
5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法
？与同学交流一下．
D
A B
C
O
O
O
·
方法一
方法二
方法三
方法四
A
B
例2 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进
攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图2)．此时甲是自己
直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？
分析 在真正的足球比赛中情况会很复杂，这里仅用数学方法从
两点的静止状态加以考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，
要确定较好的射门位置，关键看这两个点分别对球门MN的张
角大小，当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截.怎样比较
A、B两点对MN张角的大小呢？
例2 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN
进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图2)．此时甲是
自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？
分析 在真正的足球比赛中情况会很复杂，这里仅
用数学方法从两点的静止状态加以考虑，如果两
个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门
位置，关键看这两个点分别对球门MN的张角大
小，当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截.
怎样比较A、B两点对MN张角的大小呢？
解 考虑过M、N以及A、B中的任一点作一
圆，这里不妨作出⊙BMN，显然，A点在
⊙BMN外，设MA交圆于C，则
∠MAN＜∠MCN，而∠MCN=∠MBN，
所以∠MAN＜∠MBN．
因此，甲应将球回传给乙，让乙射门.
A
B
E
C
O
D
如图所示，已知⊿ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊿ABC的高，
AE是⊙O的直径.
求证：∠BAE＝∠CAD
• 回顾：圆周角定理及推论？
• 思考：判断正误：
1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ ）
2.相等的圆周角所对的弧相等（ ）
3.90°角所对的弦是直径（ ）
4.直径所对的角等于90°（ ）
5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ）
第二课时 应用
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交
⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
解：∵AB是直径， ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD.
例题
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是
直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
·A B
C
O
求证： △ABC 为直角三角形.
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， 且CO= AB
·A B
C
O
证明：
CO= AB,
以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，
∴AO=BO=CO.
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
∴∠ACB= ×180°= 90°.
∴ △ABC 为直角三角形.
• 1.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC
，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？
•2.如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，且
∠BCD=100°，求∠BOD（ 所对的圆心角）
和∠BAD的大小。
课堂练习
• 3、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C
，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合。
• （1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
• （2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，
并说明理由。 A
CB D
F·O
探究
A
CB D
F·O
∴△ABC是锐角三角形
解：（1）AB=AC。
证明：连接AD
又∵DC=BD，∴AB=AC。
（2）△ABC是锐角三角形。
由（1）知，∠B=∠C＜90 °
连接BF，则∠AFB=90 °，∴∠A＜90 °
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
1.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB
，如果∠ADB=35° ，
求∠BOC的度数。
⌒ ⌒2、如图，在⊙O中， BC=2DE， ∠BOC=84°，
求∠ A的度数。
∠BOC =140°
∠A=21°
4、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°
和(5x-30)°，则x=_ _；
3. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D
为半圆上的两点，∠COD=50°，则
∠CAD=______；
20°
50°
如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上的点。
（1）求证∠P＜ ∠AQB
（2）如果点P在⊙O内， ∠P与∠AQB有怎样的关系？为什么
？
拓展练习
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